高量3 矢量空間的直積和直和

①定義：設(shè)A是一個(gè)方陣，則A的跡定義為其對(duì)角元之和，用trA表示§4.3若干矩陣運(yùn)算②跡的主要性質(zhì)：一、矩陣的跡和行列式1.矩陣的跡（trace）①定義：A的行列式是將矩陣A的各元看成是一個(gè)行列式的相應(yīng)各元時(shí)這個(gè)行列式的值，用detA表示。2.行列式1N是矩陣的階。式中的定義為若abc…n是123…N的偶置換若abc…n是123…N的奇置換其它情況12﹟根據(jù)這個(gè)定義可知，取N個(gè)屬于不同行和列元素乘在一起并冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)，將所有可能的這種乘積加起來(lái)就是行列式的值。②行列式最重要的性質(zhì)：將按照從小到大的次序置換排列，有3二、矩陣的相似變換1.定義：方陣A用幺正矩陣U所作的如下變換稱為相似變換。有兩矩陣A,B，若有U存在，使得則稱A,B相似。算符的表象變換就是相似變換。2.相似變換的性質(zhì)：若A,B二矩陣相似，則4由于算符的表象變換是相似變換，我們定義：一個(gè)算符A的跡和行列式為A在任何表象中的矩陣的跡和行列式。3.關(guān)于相似變換的一個(gè)定理定理：任何厄米矩陣都可以通過(guò)相似變換（實(shí)際上是幺正變換）成為對(duì)角矩陣。[證]設(shè)在n維空間中取定一個(gè)確定的表象后，厄米矩陣A便成為某一厄米算符A的表示矩陣，而算符A肯定有n個(gè)互相正交的歸一化本征矢量即5現(xiàn)在用這些來(lái)構(gòu)造一個(gè)幺正矩陣U。取，即這個(gè)幺正矩陣U就可以把厄米算符A對(duì)角化。6首先證明U是幺正矩陣。由于彼此正交，即所以有從而證明了同理可證明所以U是幺正的，即7證明變換后的矩陣是一對(duì)角矩陣，其對(duì)角元即是A的本征值。若本征值是m重簡(jiǎn)并的，則在對(duì)角元中出現(xiàn)m次。其次證明厄米矩陣A經(jīng)過(guò)U的變換后確是對(duì)角矩陣實(shí)際上，在證明中所給的幺正矩陣U，正是由原來(lái)的表象變換到A表象的表象變換矩陣，而厄米算符在自身表象中的表示就是對(duì)角矩陣。﹟8§4.4連續(xù)本征值的情況一、完備性關(guān)系和矢量的表示而對(duì)于表象基矢為連續(xù)分布的情況，只能作一些形式上的推廣。設(shè)在無(wú)窮維空間中取K表象，而厄米算符（或完備組）K具有在某一區(qū)間內(nèi)的連續(xù)本征值譜，即在這種情況下，仍取全部本征矢量的完全性關(guān)系對(duì)于無(wú)窮維空間，若表象基矢是離散的，只要把上面討論的公式中的取和上限推到無(wú)窮大就可以了。以上對(duì)有限維空間的情況作了分析。9式中仍稱為矢量在基矢上的分量。這時(shí)它們是k的連續(xù)復(fù)函數(shù)，稱為在k表象中的函數(shù)形式。函數(shù)形式與矢量本身是等價(jià)的。例如，此二矢量的內(nèi)積可以用函數(shù)形式表示出：此時(shí)，對(duì)空間任意矢量和，有10二、算符的表示算符A作用于上得出在K表象中，我們希望找到與算符A對(duì)應(yīng)的，把直接變?yōu)榈霓k法。用左矢與上述兩邊作內(nèi)積，并利用完備性關(guān)系，有即可見(jiàn)，算符A在K表象中是變量和的雙變量函數(shù)，同離散的表象比較很類似。11三、連續(xù)表象下矢量和算符的記法連續(xù)表象下函數(shù)可理解為下標(biāo)連續(xù)改變的列矩陣,而可看成下標(biāo)連續(xù)改變的方陣,即12這樣就把離散表象和連續(xù)表象的記法做到了完全的一一對(duì)應(yīng)。今后為書(shū)寫(xiě)方便，約定和兩種寫(xiě)法是完全無(wú)區(qū)別而任意使用。這樣當(dāng)討論表象變換，且K和L中的一方或雙方是連續(xù)表象時(shí)，討論同樣適用。﹟而所有的運(yùn)算都是矩陣的乘法。對(duì)于連續(xù)表象，原來(lái)對(duì)i的取和改為對(duì)k的積分。13§5.1空間的直和一、定義現(xiàn)在由此構(gòu)造直和空間設(shè)矢量空間R1中的矢量是,算符是矢量空間R2中的矢量是,算符是§5矢量空間的直和與直積空間的直和有時(shí)需要由兩個(gè)已知的矢量空間和構(gòu)造一個(gè)更大的矢量空間R。這里我們討論兩種構(gòu)造方法：空間的直積141.

矢量的直和考慮一種“雙矢量”作為數(shù)學(xué)對(duì)象，即取空間中的一個(gè)矢量與空間中一個(gè)矢量放在一起，記作分別稱為矢量的直和或的直和。這一類矢量及其疊加可以構(gòu)成一個(gè)新的矢量空間。2.直和空間定義這個(gè)空間中的三種運(yùn)算1）加法15在直和空間中加法單位元（0矢量）為2）數(shù)乘3）內(nèi)積如果認(rèn)定不同空間中矢量的內(nèi)積為0，則上述定義說(shuō)明內(nèi)積可按分配律來(lái)展開(kāi)。很容易證明上述定義滿足矢量空間的12個(gè)條件。于是構(gòu)造出來(lái)了一個(gè)新的矢量空間R，并稱之為和的直和空間，表為163.

算符的直和用中的算符A,B,…和中的算符L,M,…去構(gòu)造直和空間中的算符，稱為A,L兩算符的直和。其作用為如果認(rèn)定一個(gè)空間的算符作用到另一個(gè)空間的矢量時(shí)得0矢量，則上式可按分配律來(lái)展開(kāi)。算符的加法和乘法可以按照上述定義得出。證明第二式。17將其從左邊作用于直和空間中任一矢量上﹟一個(gè)空間的算符作用到另一個(gè)空間的矢量時(shí)得0矢量18二、直和空間的維數(shù)設(shè)為維，為維?，F(xiàn)在，在中取一組基矢，K表象在中取一組基矢，P表象那么直和空間中的任意矢量都可寫(xiě)成根據(jù)直和空間加法的定義，直和空間中任意兩個(gè)雙矢量形式的矢量的疊加仍可寫(xiě)成雙矢量的形式。19注意：不能寫(xiě)為的形式，否則沒(méi)法表示只有一個(gè)空間基矢的情況。若取直和空間的基矢為則任意矢量都可以寫(xiě)成上述個(gè)基矢的疊加，于是得出，直和空間的維數(shù)是兩個(gè)空間維數(shù)之和，即20取為3維，基矢為若取為2維，基矢為這時(shí)直和空間為5維，其基矢為這里省去了零矢量的空間編號(hào)。在直和空間中，以上述基矢組為基矢的表象可以稱為KP表象或表象。因?yàn)樗鼈兪撬惴谋菊魇噶?。容易證明其正交歸一性。﹟21如雙態(tài)模型中波函數(shù)的表示：不同電子態(tài)的波函數(shù)所取格點(diǎn)基矢的維數(shù)不一樣二、矢量和算符的矩陣表示

1.設(shè)在和空間中，和的矩陣為（分別為K和P表象）式中而在直和空間中，矢量的KP表象的矩陣形式為222.算符的矩陣形式也可以同樣討論。在中，算符A,L的矩陣形式分別為在直和空間中，算符的矩陣形式成為上式中，23有時(shí)在直和空間中說(shuō)算符A，實(shí)際上是指若R1,R2是大空間的兩子空間，則只有當(dāng)R1,R2除外不含公共矢量時(shí)才可以談二者的直和.這是因?yàn)榇罂臻g的加法適用于所有矢量。從R1,R2中各取一矢量構(gòu)成的雙矢量與二者之和是等價(jià)的，“”可以寫(xiě)成“+”。直和空間不只包含R1,R2中所有矢量，比如3D空間中，若R1是xy平面矢量，R2是沿z軸矢量，則包含3D空間中的全部矢量。由于算符在整個(gè)大空間都有定義，所以一切算符在R1,R2中是通用的。這時(shí)沒(méi)有算符直和這一概念。﹟24§5.2空間的直積一、直積空間的概念1.直積：是由兩個(gè)已知空間構(gòu)造一個(gè)較大空間的另一種方法。的直積可以寫(xiě)成“”在很多情況下可以省略。252.直積空間：直積空間中的數(shù)學(xué)對(duì)象也是雙矢量及其疊加。雙矢量也是從中各取一個(gè)矢量不計(jì)次序放在一起。與直和空間的區(qū)別在于三種運(yùn)算規(guī)則不同。直積空間中運(yùn)算規(guī)則如下1）加法：是一個(gè)新矢量，一般不能表為雙矢量的形式。這與直和空間的加法不同。加法的單位元是直和空間中任意兩個(gè)雙矢量形式的矢量的疊加仍可寫(xiě)成雙矢量的形式。26另有直積分配律2）數(shù)乘：3）內(nèi)積：上式坐標(biāo)的“+”是中的加法，右邊的“+”是直積空間的加法。這與就構(gòu)成了新的矢量空間,稱為的直積空間。27二、直積空間中的算符1.定義：設(shè)中的算符為A,B,…，2.運(yùn)算規(guī)則：上式第二式中兩個(gè)“()”沒(méi)有寫(xiě)符號(hào)，是因?yàn)橹狈e空間內(nèi)部的算符乘法。中的算符為L(zhǎng),M,…，那么直積空間的算符為其定義為

28且有時(shí)在直積空間中也說(shuō)算符A或L，這時(shí)并不是指或中的算符。此時(shí)上式左方的“+”仍是直積空間的“+”，因?yàn)锳(中)和L(中)是沒(méi)有加法的。﹟29三、直積空間中的表象—KP表象1.定義：在中取K表象，基矢是，在中取P表象，基矢為,則中的任意矢量和中的任意矢量可以寫(xiě)成這時(shí)30可見(jiàn)，若在直積空間中取全部形如的矢量為基矢，則可以疊加出所有的矢量。這些基矢是用兩個(gè)下標(biāo)i和m編號(hào)的：若空間是維的，空間是維的，則共有個(gè)。注意正是直積算符的本征矢量，所以為基矢的表象是表象或簡(jiǎn)稱KP表象。31比如同時(shí)處理振動(dòng)和平動(dòng)的波函數(shù)取n1=2,n2=3,則KP表象中的矩陣形式為2.KP表象中矢量和算符直積的矩陣形式1）

矢量的直積32比如直積算符矩陣的第1.3行第2.1列的元是，寫(xiě)成矩陣是2）

算符的直積在KP表象中的矩陣形式是33或?qū)懗梢环N便于記憶的方式同樣，矢量的直積也可寫(xiě)成在矩陣?yán)碚撝?，上面的矩陣公式稱為矩陣的直積。以上對(duì)兩個(gè)矢量空間的直積作了一些討論，當(dāng)然也可以用同樣方法討論兩個(gè)以上空間的直積。﹟34§6量子力學(xué)的基本原理§6.1引言量子力學(xué)：是研究微觀粒子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)。兩種解釋狹義的量子力學(xué)：研究對(duì)象是低能的，無(wú)衰變(即長(zhǎng)壽命)的粒子以及這樣的粒子所構(gòu)成的系統(tǒng),理論是非相對(duì)論的。第二章量子力學(xué)的理論結(jié)構(gòu)但是由于目前相關(guān)實(shí)驗(yàn)手段極為精細(xì),測(cè)量十分準(zhǔn)確,理論在不少情況下需要考慮相對(duì)論的微小影響。35廣義的量子力學(xué)：能量可以很高，粒子可以產(chǎn)生、湮滅和互相轉(zhuǎn)化。系統(tǒng)的粒子數(shù)可以不守恒。這時(shí)研究對(duì)象是無(wú)窮多自由度的場(chǎng)。這一領(lǐng)域常稱為量子場(chǎng)論。本課程只討論狹義的量子力學(xué)，并采用公理化的理論體系，將量子力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)歸納為五個(gè)基本原理。在此基礎(chǔ)上建立量子力學(xué)的理論體系。36§6.2基本原理一、原理1：描寫(xiě)微觀系統(tǒng)的狀態(tài)的數(shù)學(xué)量是Hilbert空間中的矢量。相差復(fù)數(shù)因子的兩個(gè)矢量描寫(xiě)同一狀態(tài)。我們用歸一化的右矢或左矢描寫(xiě)系統(tǒng)的狀態(tài),稱此態(tài)為狀態(tài)，而矢量或稱為態(tài)矢量。與此相應(yīng)，這個(gè)Hilbert空間稱為態(tài)空間。二、原理2：（1）描寫(xiě)微觀系統(tǒng)的狀態(tài)的物理量是Hilbert空間中的算符；37（2）物理量所能取的值是相應(yīng)算符的本征值；（3）物理量A在狀態(tài)中取各值的概率，與態(tài)矢量按A的歸一化本征矢量的展開(kāi)式中的系數(shù)的復(fù)平方成正比，即與下式中的復(fù)平方成正比：如果本征值有簡(jiǎn)并，即有幾個(gè)相互正交的本征矢量與之對(duì)應(yīng)，則物理量A取值的概率與這幾個(gè)本征矢量的系數(shù)的復(fù)平方和成正比。38原理2表明，量子力學(xué)所掌握的關(guān)于微觀系統(tǒng)的規(guī)律是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。它只能告訴我們，在某一時(shí)刻，一個(gè)微觀系統(tǒng)的各物理量取不同值的概率.至于為何不能取確定值，一般有兩種解釋：（1）本來(lái)有確定值，但還沒(méi)有掌握方法；由原來(lái)1、2所給出的結(jié)論：（1）一個(gè)厄米算符A的本征矢量所描寫(xiě)的狀態(tài)稱為這一算符的本征態(tài)。在一個(gè)物理量A的本征態(tài)中，A取值的概率為1，取其它值的概率為0.（2）根本就沒(méi)有確定值，按統(tǒng)計(jì)規(guī)律取值是微觀系統(tǒng)的根本特點(diǎn)。39所以一個(gè)物理量在自己本征態(tài)中的取值是確定的，即相應(yīng)的本征值。（2）既然在一個(gè)狀態(tài)中，物理量A取各值有確定的概率，那么就可以求出A在這一態(tài)中的平均值，用或表示，有時(shí)也叫期望值：注意：如無(wú)特別說(shuō)明，所有矢量都是歸一化的，即40其中△:表示測(cè)量漲落三、原理3：而不同粒子間的所有算符均相互對(duì)易。微觀系統(tǒng)中每個(gè)粒子的直角坐標(biāo)下的位置算符與相應(yīng)的正則動(dòng)量算符有下列對(duì)易關(guān)系物理量所對(duì)應(yīng)的算符，兩兩之間有些是不可對(duì)易的，這一點(diǎn)是量子力學(xué)的特點(diǎn)。對(duì)易關(guān)系中普朗克常量的出現(xiàn)導(dǎo)致某些物理量，如軌道角動(dòng)量及束縛態(tài)哈密頓的對(duì)角化，即只能取某些離散的數(shù)值。41中，當(dāng)正則坐標(biāo)取直角坐標(biāo)x,y,z

時(shí),與經(jīng)典正則動(dòng)量相對(duì)應(yīng)的算符。在經(jīng)典力學(xué)中，是最基本的量，其余物理量都是它們的函數(shù)。原理3中所說(shuō)在直角坐標(biāo)下的正則動(dòng)量算符，是指在粒子的經(jīng)典哈密頓正則方程42在量子力學(xué)中也是這樣。位置和（正則）動(dòng)量是最基本的算符。其余有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的物理量，其算符也是表為和的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系與經(jīng)典關(guān)系相同。而這些物理量之間的對(duì)易關(guān)系，都可以從間的基本對(duì)易關(guān)系式推出。四、原理4：微觀系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律是薛定諤方程式中是系統(tǒng)的哈密頓算符。43系統(tǒng)的哈密頓算符是X、P的函數(shù)，有時(shí)還是t的函數(shù)，其函數(shù)形式與經(jīng)典哈密頓相同，即取決于系統(tǒng)本身的情況和系統(tǒng)所處外部環(huán)境的情況。本身情況：系統(tǒng)中的粒子數(shù)、各粒子的質(zhì)量、電荷以及粒子之間的相互作用；外部環(huán)境：粒子所在的外部電磁場(chǎng)等；若電磁場(chǎng)是隨時(shí)間變化的，則哈密頓明顯地包含時(shí)間。一般地說(shuō)，如果我們所研究的系統(tǒng)只是一個(gè)更大的系統(tǒng)的一部分，在這個(gè)系統(tǒng)和更大系統(tǒng)的其余部分之間存在著能量交換，則所研究的這個(gè)系統(tǒng)的哈密頓將明顯含時(shí)。44原理4規(guī)定了在給定外界環(huán)境的情況下，微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.由于薛定諤方程是時(shí)間的一階微分方程,只知道某一時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)（初態(tài)），就可以得出以后（及以前）所有時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)。這時(shí)薛定諤方程可以將時(shí)間因子分離出來(lái)。令，代入薛定諤方程有上式左右兩邊各有兩種完全不同的量：矢量，時(shí)間的函數(shù)。此式成立需要滿足下列關(guān)系：45式中E是分離變量常數(shù)。本來(lái)分離變量常數(shù)可以取任意值,但現(xiàn)在E又是H的本征值,應(yīng)由H的形式來(lái)決定。若H具有離散的本征值，用表示相應(yīng)的本征矢量，則上面第一式稱為H的本征值方程這時(shí)可解出為于是薛定諤方程的一個(gè)特解為這是系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)的一個(gè)狀態(tài)，稱為定態(tài)。它是能量取確定值的狀態(tài)。46與此相應(yīng)，方程此時(shí)方程稱為定態(tài)薛定諤方程。式中，是疊加系數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。給定某一時(shí)刻的狀態(tài)，即可把定下來(lái)，從而定出系統(tǒng)的狀態(tài)。例如，已知t=0時(shí)系統(tǒng)的初態(tài)為，則上式成為如何由上式確定？稱為含時(shí)薛定諤方程，其解的一般形式可以寫(xiě)成所有定態(tài)解的疊加47方程兩邊與作內(nèi)積，有所以從而有這就是描寫(xiě)系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的態(tài)矢量。48在常見(jiàn)情況下哈密頓是不含時(shí)的，這時(shí)含時(shí)薛定諤方程的解形如由于系統(tǒng)的狀態(tài)由態(tài)矢量描寫(xiě)，而態(tài)矢量要滿足含時(shí)薛定諤方程，所以系統(tǒng)的狀態(tài)都是含時(shí)的。所以討論定態(tài)時(shí)往往看不到時(shí)間因子，其實(shí)定態(tài)也是含時(shí)態(tài)。其中的時(shí)間因子在討論概率和平均值時(shí)都不起作用，常常略去不寫(xiě)。49五、原理5：描寫(xiě)全同粒子系統(tǒng)的態(tài)矢量，對(duì)于任意一對(duì)粒子的對(duì)調(diào)是對(duì)稱的（對(duì)調(diào)前后完全相同）或反對(duì)稱的（對(duì)調(diào)前后差一個(gè)負(fù)號(hào)），服從前者的粒子稱為玻色子，服從后者的粒子稱為費(fèi)米子。全同粒子系統(tǒng)是由同一種粒子（質(zhì)量、電荷等內(nèi)稟屬性相同）組成的系統(tǒng)。原理5反映了全同粒子的不可分辨性。原理5指出，對(duì)于全同粒子系統(tǒng)，在其薛定諤方程的全部數(shù)學(xué)解中，只有滿足對(duì)稱性或反對(duì)稱性的解才能描寫(xiě)系統(tǒng)的狀態(tài)，而其余的解是沒(méi)有物理意義的。50§6.4算符的構(gòu)成一、位置算符、動(dòng)量算符和哈密頓算符1.位置算符用表示一個(gè)例子直角坐標(biāo)下的位置算符。對(duì)單粒子來(lái)說(shuō)，有3個(gè)自由度，這三者是相互對(duì)易的厄米算符完備組。以后約定，用單一字母X表示位置算符，用表示其矢量性。注意矢量的兩種含義：2）三維位形空間中的矢量，用箭頭標(biāo)出，如、（小寫(xiě)表本征值）1）Hilbert空間中的矢量，如等512.動(dòng)量算符

用P表示。動(dòng)量算符的三個(gè)分量與經(jīng)典分析力學(xué)中直角坐標(biāo)下的正則動(dòng)量對(duì)應(yīng)。動(dòng)量算符就與經(jīng)典的相對(duì)應(yīng)。無(wú)電磁場(chǎng)存在時(shí)，正則動(dòng)量與機(jī)械動(dòng)量一致，

正確的對(duì)應(yīng)方法是先就所討論的系統(tǒng)寫(xiě)出經(jīng)典的拉格朗日函數(shù)體系處在保守力場(chǎng)V中，T為動(dòng)能），其中用直角坐標(biāo)，此時(shí)正則動(dòng)量的定義是當(dāng)粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，523.哈密頓算符

對(duì)單粒子，H算符的形式與經(jīng)典分析力學(xué)中的哈密頓函數(shù)相對(duì)應(yīng)，寫(xiě)為二、軌道角動(dòng)量算符1.分量形式軌道角動(dòng)量算符是與經(jīng)典力學(xué)中的角動(dòng)量相對(duì)應(yīng)的算符53此規(guī)律要記??！的三個(gè)分量可以寫(xiě)成一個(gè)緊湊的形式而可以寫(xiě)成稱為L(zhǎng)evi-Civita符號(hào)，其定義是正序123，231，312亂序132，321，213其它（包括重復(fù)如221）54容易驗(yàn)證服從下列關(guān)系以第一式的證明為例：等式左邊=對(duì)第一個(gè)求和55即同理有此三式相加，得﹟56記??！2.軌道角動(dòng)量各分量間的對(duì)易關(guān)系（1）[證]57（然后利用