高量3 矢量空間的直積和直和

①定義：設A是一個方陣，則A的跡定義為其對角元之和，用trA表示§4.3若干矩陣運算②跡的主要性質：一、矩陣的跡和行列式1.矩陣的跡（trace）①定義：A的行列式是將矩陣A的各元看成是一個行列式的相應各元時這個行列式的值，用detA表示。2.行列式1N是矩陣的階。式中的定義為若abc…n是123…N的偶置換若abc…n是123…N的奇置換其它情況12﹟根據(jù)這個定義可知，取N個屬于不同行和列元素乘在一起并冠以適當?shù)恼撎?，將所有可能的這種乘積加起來就是行列式的值。②行列式最重要的性質：將按照從小到大的次序置換排列，有3二、矩陣的相似變換1.定義：方陣A用幺正矩陣U所作的如下變換稱為相似變換。有兩矩陣A,B，若有U存在，使得則稱A,B相似。算符的表象變換就是相似變換。2.相似變換的性質：若A,B二矩陣相似，則4由于算符的表象變換是相似變換，我們定義：一個算符A的跡和行列式為A在任何表象中的矩陣的跡和行列式。3.關于相似變換的一個定理定理：任何厄米矩陣都可以通過相似變換（實際上是幺正變換）成為對角矩陣。[證]設在n維空間中取定一個確定的表象后，厄米矩陣A便成為某一厄米算符A的表示矩陣，而算符A肯定有n個互相正交的歸一化本征矢量即5現(xiàn)在用這些來構造一個幺正矩陣U。取，即這個幺正矩陣U就可以把厄米算符A對角化。6首先證明U是幺正矩陣。由于彼此正交，即所以有從而證明了同理可證明所以U是幺正的，即7證明變換后的矩陣是一對角矩陣，其對角元即是A的本征值。若本征值是m重簡并的，則在對角元中出現(xiàn)m次。其次證明厄米矩陣A經(jīng)過U的變換后確是對角矩陣實際上，在證明中所給的幺正矩陣U，正是由原來的表象變換到A表象的表象變換矩陣，而厄米算符在自身表象中的表示就是對角矩陣。﹟8§4.4連續(xù)本征值的情況一、完備性關系和矢量的表示而對于表象基矢為連續(xù)分布的情況，只能作一些形式上的推廣。設在無窮維空間中取K表象，而厄米算符（或完備組）K具有在某一區(qū)間內的連續(xù)本征值譜，即在這種情況下，仍取全部本征矢量的完全性關系對于無窮維空間，若表象基矢是離散的，只要把上面討論的公式中的取和上限推到無窮大就可以了。以上對有限維空間的情況作了分析。9式中仍稱為矢量在基矢上的分量。這時它們是k的連續(xù)復函數(shù)，稱為在k表象中的函數(shù)形式。函數(shù)形式與矢量本身是等價的。例如，此二矢量的內積可以用函數(shù)形式表示出：此時，對空間任意矢量和，有10二、算符的表示算符A作用于上得出在K表象中，我們希望找到與算符A對應的，把直接變?yōu)榈霓k法。用左矢與上述兩邊作內積，并利用完備性關系，有即可見，算符A在K表象中是變量和的雙變量函數(shù)，同離散的表象比較很類似。11三、連續(xù)表象下矢量和算符的記法連續(xù)表象下函數(shù)可理解為下標連續(xù)改變的列矩陣,而可看成下標連續(xù)改變的方陣,即12這樣就把離散表象和連續(xù)表象的記法做到了完全的一一對應。今后為書寫方便，約定和兩種寫法是完全無區(qū)別而任意使用。這樣當討論表象變換，且K和L中的一方或雙方是連續(xù)表象時，討論同樣適用。﹟而所有的運算都是矩陣的乘法。對于連續(xù)表象，原來對i的取和改為對k的積分。13§5.1空間的直和一、定義現(xiàn)在由此構造直和空間設矢量空間R1中的矢量是,算符是矢量空間R2中的矢量是,算符是§5矢量空間的直和與直積空間的直和有時需要由兩個已知的矢量空間和構造一個更大的矢量空間R。這里我們討論兩種構造方法：空間的直積141.

矢量的直和考慮一種“雙矢量”作為數(shù)學對象，即取空間中的一個矢量與空間中一個矢量放在一起，記作分別稱為矢量的直和或的直和。這一類矢量及其疊加可以構成一個新的矢量空間。2.直和空間定義這個空間中的三種運算1）加法15在直和空間中加法單位元（0矢量）為2）數(shù)乘3）內積如果認定不同空間中矢量的內積為0，則上述定義說明內積可按分配律來展開。很容易證明上述定義滿足矢量空間的12個條件。于是構造出來了一個新的矢量空間R，并稱之為和的直和空間，表為163.

算符的直和用中的算符A,B,…和中的算符L,M,…去構造直和空間中的算符，稱為A,L兩算符的直和。其作用為如果認定一個空間的算符作用到另一個空間的矢量時得0矢量，則上式可按分配律來展開。算符的加法和乘法可以按照上述定義得出。證明第二式。17將其從左邊作用于直和空間中任一矢量上﹟一個空間的算符作用到另一個空間的矢量時得0矢量18二、直和空間的維數(shù)設為維，為維?，F(xiàn)在，在中取一組基矢，K表象在中取一組基矢，P表象那么直和空間中的任意矢量都可寫成根據(jù)直和空間加法的定義，直和空間中任意兩個雙矢量形式的矢量的疊加仍可寫成雙矢量的形式。19注意：不能寫為的形式，否則沒法表示只有一個空間基矢的情況。若取直和空間的基矢為則任意矢量都可以寫成上述個基矢的疊加，于是得出，直和空間的維數(shù)是兩個空間維數(shù)之和，即20取為3維，基矢為若取為2維，基矢為這時直和空間為5維，其基矢為這里省去了零矢量的空間編號。在直和空間中，以上述基矢組為基矢的表象可以稱為KP表象或表象。因為它們是算符的本征矢量。容易證明其正交歸一性。﹟21如雙態(tài)模型中波函數(shù)的表示：不同電子態(tài)的波函數(shù)所取格點基矢的維數(shù)不一樣二、矢量和算符的矩陣表示

1.設在和空間中，和的矩陣為（分別為K和P表象）式中而在直和空間中，矢量的KP表象的矩陣形式為222.算符的矩陣形式也可以同樣討論。在中，算符A,L的矩陣形式分別為在直和空間中，算符的矩陣形式成為上式中，23有時在直和空間中說算符A，實際上是指若R1,R2是大空間的兩子空間，則只有當R1,R2除外不含公共矢量時才可以談二者的直和.這是因為大空間的加法適用于所有矢量。從R1,R2中各取一矢量構成的雙矢量與二者之和是等價的，“”可以寫成“+”。直和空間不只包含R1,R2中所有矢量，比如3D空間中，若R1是xy平面矢量，R2是沿z軸矢量，則包含3D空間中的全部矢量。由于算符在整個大空間都有定義，所以一切算符在R1,R2中是通用的。這時沒有算符直和這一概念。﹟24§5.2空間的直積一、直積空間的概念1.直積：是由兩個已知空間構造一個較大空間的另一種方法。的直積可以寫成“”在很多情況下可以省略。252.直積空間：直積空間中的數(shù)學對象也是雙矢量及其疊加。雙矢量也是從中各取一個矢量不計次序放在一起。與直和空間的區(qū)別在于三種運算規(guī)則不同。直積空間中運算規(guī)則如下1）加法：是一個新矢量，一般不能表為雙矢量的形式。這與直和空間的加法不同。加法的單位元是直和空間中任意兩個雙矢量形式的矢量的疊加仍可寫成雙矢量的形式。26另有直積分配律2）數(shù)乘：3）內積：上式坐標的“+”是中的加法，右邊的“+”是直積空間的加法。這與就構成了新的矢量空間,稱為的直積空間。27二、直積空間中的算符1.定義：設中的算符為A,B,…，2.運算規(guī)則：上式第二式中兩個“()”沒有寫符號，是因為直積空間內部的算符乘法。中的算符為L,M,…，那么直積空間的算符為其定義為

28且有時在直積空間中也說算符A或L，這時并不是指或中的算符。此時上式左方的“+”仍是直積空間的“+”，因為A(中)和L(中)是沒有加法的。﹟29三、直積空間中的表象—KP表象1.定義：在中取K表象，基矢是，在中取P表象，基矢為,則中的任意矢量和中的任意矢量可以寫成這時30可見，若在直積空間中取全部形如的矢量為基矢，則可以疊加出所有的矢量。這些基矢是用兩個下標i和m編號的：若空間是維的，空間是維的，則共有個。注意正是直積算符的本征矢量，所以為基矢的表象是表象或簡稱KP表象。31比如同時處理振動和平動的波函數(shù)取n1=2,n2=3,則KP表象中的矩陣形式為2.KP表象中矢量和算符直積的矩陣形式1）

矢量的直積32比如直積算符矩陣的第1.3行第2.1列的元是，寫成矩陣是2）

算符的直積在KP表象中的矩陣形式是33或寫成一種便于記憶的方式同樣，矢量的直積也可寫成在矩陣理論中，上面的矩陣公式稱為矩陣的直積。以上對兩個矢量空間的直積作了一些討論，當然也可以用同樣方法討論兩個以上空間的直積。﹟34§6量子力學的基本原理§6.1引言量子力學：是研究微觀粒子系統(tǒng)運動規(guī)律的科學。兩種解釋狹義的量子力學：研究對象是低能的，無衰變(即長壽命)的粒子以及這樣的粒子所構成的系統(tǒng),理論是非相對論的。第二章量子力學的理論結構但是由于目前相關實驗手段極為精細,測量十分準確,理論在不少情況下需要考慮相對論的微小影響。35廣義的量子力學：能量可以很高，粒子可以產(chǎn)生、湮滅和互相轉化。系統(tǒng)的粒子數(shù)可以不守恒。這時研究對象是無窮多自由度的場。這一領域常稱為量子場論。本課程只討論狹義的量子力學，并采用公理化的理論體系，將量子力學的出發(fā)點歸納為五個基本原理。在此基礎上建立量子力學的理論體系。36§6.2基本原理一、原理1：描寫微觀系統(tǒng)的狀態(tài)的數(shù)學量是Hilbert空間中的矢量。相差復數(shù)因子的兩個矢量描寫同一狀態(tài)。我們用歸一化的右矢或左矢描寫系統(tǒng)的狀態(tài),稱此態(tài)為狀態(tài)，而矢量或稱為態(tài)矢量。與此相應，這個Hilbert空間稱為態(tài)空間。二、原理2：（1）描寫微觀系統(tǒng)的狀態(tài)的物理量是Hilbert空間中的算符；37（2）物理量所能取的值是相應算符的本征值；（3）物理量A在狀態(tài)中取各值的概率，與態(tài)矢量按A的歸一化本征矢量的展開式中的系數(shù)的復平方成正比，即與下式中的復平方成正比：如果本征值有簡并，即有幾個相互正交的本征矢量與之對應，則物理量A取值的概率與這幾個本征矢量的系數(shù)的復平方和成正比。38原理2表明，量子力學所掌握的關于微觀系統(tǒng)的規(guī)律是一種統(tǒng)計規(guī)律。它只能告訴我們，在某一時刻，一個微觀系統(tǒng)的各物理量取不同值的概率.至于為何不能取確定值，一般有兩種解釋：（1）本來有確定值，但還沒有掌握方法；由原來1、2所給出的結論：（1）一個厄米算符A的本征矢量所描寫的狀態(tài)稱為這一算符的本征態(tài)。在一個物理量A的本征態(tài)中，A取值的概率為1，取其它值的概率為0.（2）根本就沒有確定值，按統(tǒng)計規(guī)律取值是微觀系統(tǒng)的根本特點。39所以一個物理量在自己本征態(tài)中的取值是確定的，即相應的本征值。（2）既然在一個狀態(tài)中，物理量A取各值有確定的概率，那么就可以求出A在這一態(tài)中的平均值，用或表示，有時也叫期望值：注意：如無特別說明，所有矢量都是歸一化的，即40其中△:表示測量漲落三、原理3：而不同粒子間的所有算符均相互對易。微觀系統(tǒng)中每個粒子的直角坐標下的位置算符與相應的正則動量算符有下列對易關系物理量所對應的算符，兩兩之間有些是不可對易的，這一點是量子力學的特點。對易關系中普朗克常量的出現(xiàn)導致某些物理量，如軌道角動量及束縛態(tài)哈密頓的對角化，即只能取某些離散的數(shù)值。41中，當正則坐標取直角坐標x,y,z

時,與經(jīng)典正則動量相對應的算符。在經(jīng)典力學中，是最基本的量，其余物理量都是它們的函數(shù)。原理3中所說在直角坐標下的正則動量算符，是指在粒子的經(jīng)典哈密頓正則方程42在量子力學中也是這樣。位置和（正則）動量是最基本的算符。其余有經(jīng)典對應的物理量，其算符也是表為和的函數(shù)，其函數(shù)關系與經(jīng)典關系相同。而這些物理量之間的對易關系，都可以從間的基本對易關系式推出。四、原理4：微觀系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律是薛定諤方程式中是系統(tǒng)的哈密頓算符。43系統(tǒng)的哈密頓算符是X、P的函數(shù)，有時還是t的函數(shù)，其函數(shù)形式與經(jīng)典哈密頓相同，即取決于系統(tǒng)本身的情況和系統(tǒng)所處外部環(huán)境的情況。本身情況：系統(tǒng)中的粒子數(shù)、各粒子的質量、電荷以及粒子之間的相互作用；外部環(huán)境：粒子所在的外部電磁場等；若電磁場是隨時間變化的，則哈密頓明顯地包含時間。一般地說，如果我們所研究的系統(tǒng)只是一個更大的系統(tǒng)的一部分，在這個系統(tǒng)和更大系統(tǒng)的其余部分之間存在著能量交換，則所研究的這個系統(tǒng)的哈密頓將明顯含時。44原理4規(guī)定了在給定外界環(huán)境的情況下，微觀系統(tǒng)的運動規(guī)律.由于薛定諤方程是時間的一階微分方程,只知道某一時刻系統(tǒng)的狀態(tài)（初態(tài)），就可以得出以后（及以前）所有時刻系統(tǒng)的狀態(tài)。這時薛定諤方程可以將時間因子分離出來。令，代入薛定諤方程有上式左右兩邊各有兩種完全不同的量：矢量，時間的函數(shù)。此式成立需要滿足下列關系：45式中E是分離變量常數(shù)。本來分離變量常數(shù)可以取任意值,但現(xiàn)在E又是H的本征值,應由H的形式來決定。若H具有離散的本征值，用表示相應的本征矢量，則上面第一式稱為H的本征值方程這時可解出為于是薛定諤方程的一個特解為這是系統(tǒng)能夠實現(xiàn)的一個狀態(tài)，稱為定態(tài)。它是能量取確定值的狀態(tài)。46與此相應，方程此時方程稱為定態(tài)薛定諤方程。式中，是疊加系數(shù)，與時間無關。給定某一時刻的狀態(tài)，即可把定下來，從而定出系統(tǒng)的狀態(tài)。例如，已知t=0時系統(tǒng)的初態(tài)為，則上式成為如何由上式確定？稱為含時薛定諤方程，其解的一般形式可以寫成所有定態(tài)解的疊加47方程兩邊與作內積，有所以從而有這就是描寫系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的態(tài)矢量。48在常見情況下哈密頓是不含時的，這時含時薛定諤方程的解形如由于系統(tǒng)的狀態(tài)由態(tài)矢量描寫，而態(tài)矢量要滿足含時薛定諤方程，所以系統(tǒng)的狀態(tài)都是含時的。所以討論定態(tài)時往往看不到時間因子，其實定態(tài)也是含時態(tài)。其中的時間因子在討論概率和平均值時都不起作用，常常略去不寫。49五、原理5：描寫全同粒子系統(tǒng)的態(tài)矢量，對于任意一對粒子的對調是對稱的（對調前后完全相同）或反對稱的（對調前后差一個負號），服從前者的粒子稱為玻色子，服從后者的粒子稱為費米子。全同粒子系統(tǒng)是由同一種粒子（質量、電荷等內稟屬性相同）組成的系統(tǒng)。原理5反映了全同粒子的不可分辨性。原理5指出，對于全同粒子系統(tǒng)，在其薛定諤方程的全部數(shù)學解中，只有滿足對稱性或反對稱性的解才能描寫系統(tǒng)的狀態(tài)，而其余的解是沒有物理意義的。50§6.4算符的構成一、位置算符、動量算符和哈密頓算符1.位置算符用表示一個例子直角坐標下的位置算符。對單粒子來說，有3個自由度，這三者是相互對易的厄米算符完備組。以后約定，用單一字母X表示位置算符，用表示其矢量性。注意矢量的兩種含義：2）三維位形空間中的矢量，用箭頭標出，如、（小寫表本征值）1）Hilbert空間中的矢量，如等512.動量算符

用P表示。動量算符的三個分量與經(jīng)典分析力學中直角坐標下的正則動量對應。動量算符就與經(jīng)典的相對應。無電磁場存在時，正則動量與機械動量一致，

正確的對應方法是先就所討論的系統(tǒng)寫出經(jīng)典的拉格朗日函數(shù)體系處在保守力場V中，T為動能），其中用直角坐標，此時正則動量的定義是當粒子在電磁場中運動時，523.哈密頓算符

對單粒子，H算符的形式與經(jīng)典分析力學中的哈密頓函數(shù)相對應，寫為二、軌道角動量算符1.分量形式軌道角動量算符是與經(jīng)典力學中的角動量相對應的算符53此規(guī)律要記??！的三個分量可以寫成一個緊湊的形式而可以寫成稱為Levi-Civita符號，其定義是正序123，231，312亂序132，321，213其它（包括重復如221）54容易驗證服從下列關系以第一式的證明為例：等式左邊=對第一個求和55即同理有此三式相加，得﹟56記住！2.軌道角動量各分量間的對易關系（1）[證]57（然后利用