山西省大同市石家田聯(lián)校石家田中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山西省大同市石家田聯(lián)校石家田中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）參考答案：D【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；R1：不等式．【分析】先根據(jù)f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可確定'＞0，進(jìn)而可得到f（x）g（x）在（﹣∞，0）上遞增，結(jié)合函數(shù)f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，最后根據(jù)g（3）=0可求得答案．【解答】解：因f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即'＞0故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上遞增，又∵f（x），g（x）分別是定義R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴f（x）g（x）為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．∵f（3）g（3）=0，∴f（﹣3）g（﹣3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集為：x＜﹣3或0＜x＜3故選D．2.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P﹣ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱錐P﹣ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．8π B．12π C．20π D．24π參考答案：C【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】由題意，PC為球O的直徑，求出PC，可得球O的半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：由題意，PC為球O的直徑，PC==2，∴球O的半徑為，∴球O的表面積為4π?5=20π，故選C．3.已知數(shù)列{an}是逐項(xiàng)遞減的等比數(shù)列，其首項(xiàng)a1<0，則其公比q的取值范圍是（

）A．（－，－1） B．（－1，0）

C．（0，1）

D．（1，+）參考答案：D略4.如圖，三點(diǎn)在地面同一直線上，100米，從兩點(diǎn)測得點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則點(diǎn)離地面的高度等于(

)A．米

B．米C．50米 D．100米

參考答案：A5.觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在內(nèi)的頻率為（）A．0.001 B．0.1 C．0.2 D．0.3參考答案：D【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【分析】由頻率分布直方圖，能求出新生嬰兒體重在內(nèi)的頻率．【解答】解：由頻率分布直方圖，得：新生嬰兒體重在內(nèi)的頻率為0.001×300=0.3．故選：D．6.下列命題是真命題的是

（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略7.已知{an}是等差數(shù)列，且a2+a5+a8+a11=48，則a6+a7=(

)A．12

B．16

C．20

D．24參考答案：D8.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)，則下列不等式正確的是A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)圖象和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷．【詳解】由圖象可知，函數(shù)的增長越來越快，故函數(shù)在該點(diǎn)的斜率越來越大，∵a，∴f′（1）＜a＜f′（2），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的變化率，屬于基礎(chǔ)題．9.在下列結(jié)論中，正確的是（

）

①為真是為真的充分不必要條件；②為假是為真的充分不必要條件；③為真是為假的必要不充分條件；④為真是為假的必要不充分條件A.①②

B.①③

C.②④

D.③④參考答案：B10.一個等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為48，前2n項(xiàng)和為60，則前3n項(xiàng)和為（

）A、63

B、108

C、75

D、83參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.棱長為的正方體的外接球的表面積是________；參考答案：12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三角形頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則

．參考答案：由正弦定理和橢圓的定義可知13.已知長方體從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長分別為、、，則這個長方體的外接球的表面積為

.參考答案：因長方體對角線長為，所以其外接球的表面積14.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為__________．參考答案：由圖得，此圖形是由一個長為，寬為，高為的長方體和一個底面半徑，高為的圓錐組成，所以，．∴體積為．15.若實(shí)數(shù)x滿足不等式|x﹣3|≥1，則x的取值范圍為．參考答案：x≥4或x≤2【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法．【分析】利用絕對值的意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出x的取值范圍．【解答】解：∵|x﹣3|≥1，∴x﹣3≥1或x﹣3≤﹣1，∴x≥4或x≤2．故答案為：x≥4或x≤2．16.若雙曲線的離心率為，則兩條漸近線的方程為____參考答案：略17.某一智力游戲玩一次所得的積分是一個隨機(jī)變量X，其概率分布如表，數(shù)學(xué)期望.則__________.X036Pab

參考答案：【分析】通過概率和為1建立方程，再通過得到方程，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意可得方程組：，解得，從而.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列與期望相關(guān)概念，難度不大.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn).（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）點(diǎn)M在線段PC上，PM=tPC，試確定實(shí)數(shù)t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.

參考答案：證明：（Ⅰ）連接BD.因?yàn)锳D=AB，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形.因?yàn)镼為AD的中點(diǎn)，所以AD⊥BQ.因?yàn)镻A=PD，Q為AD中點(diǎn)，所以AD⊥PQ.又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB.因?yàn)?，所以平面PQB⊥平面PAD.

4分（Ⅱ）連接AC，交BQ于點(diǎn)N.由AQ∥BC，可得△ANQ∽△CNB，所以.因?yàn)镻A∥平面MQB，，平面PAC∩平面MQB=MN，所以PA∥MN.所以，即，所以.

8分（Ⅲ）由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點(diǎn)，則PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，，Q(0,0,0)，.，.設(shè)平面MQB的法向量為n=(x,y,z)，可得因?yàn)镻A∥MN，所以即令z=1，則，y=0.于是.取平面ABCD的法向量m=(0,0,l)，所以.故二面角M-BQ-C的大小為60°.

12分19.如圖所示，在四棱錐中，四邊形為菱形，△為等邊三角形，平面平面，且∠=60°,，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使∥平面？并說明理由．參考答案：（Ⅰ）證明：連結(jié)EB，在△AEB中，AE=1，AB=2，∠=60°，＝1+4－2＝3.∵，∴AD⊥EB．

∵△為等邊三角形，為的中點(diǎn)，AD⊥PE．又EB∩PE=E，∴平面PEB，∴．………4分（Ⅱ）平面平面，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EB．以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，D(-1,0,0)，．設(shè)平面PCD的一個法向量為，則，即，∴令z＝－1，則x＝，y＝1，故．平面PAD的一個法向量為，∴．又二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．

（Ⅲ）假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使∥平面，設(shè)F(0,m,n)，，則：=，∴，∴．∵∥平面，∴，即．∴，．故當(dāng)點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)時，∥平面．

略20.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E是CC1上的中點(diǎn)，且BC=1，BB1=2．（Ⅰ）證明：B1E⊥平面ABE（Ⅱ）若三棱錐A﹣BEA1的體積是，求異面直線AB和A1C1所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連接BE，只需證明BE⊥B1E，且AB⊥B1E=B，即可得到B1E⊥平面ABE；（Ⅱ）由V=V=V==，得AB=，異面直線AB和A1C1所成角為∠CAB，即可求解．【解答】證明：（Ⅰ）連接BE，∵BC=1

BB1=2，E是CC1上的中點(diǎn)△BCE，△B1C1E為等腰直角三角形，即，∴，即BE⊥B1E∵AB⊥面BB1C1C．B1E?面ABC，∴B1E⊥AB，且AB∩BE=B，∴B1E⊥平面ABE；解：（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴A1、B1到面ABE的距離相等，由（Ⅰ）得BE=B1E=故V=V=V==解得AB=∵AC∥A1C1，∴異面直線AB和A1C1所成角為∠CAB，在Rt△ABC中，tan，∴∠CAB=30°∴異面直線AB和A1C1所成角的大小30°．21.（本小題滿分12分）某民營企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1；產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2（注：利潤與投資單位是萬元）．（Ⅰ）分別將兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元．（精確到1萬元）．

參考答案：解：（1）投資為萬元，A產(chǎn)品的利潤為萬元，B產(chǎn)品的利潤為萬元，由題設(shè)=，=，．

…………2分由圖知，又