幾何 -魅力及其應(yīng)用 丘成桐

幾何:魅力及應(yīng)用丘成桐美國(guó)哈佛大學(xué)

科學(xué)的興起與個(gè)人修養(yǎng)、團(tuán)體文化有直接的關(guān)系。假如一個(gè)人的一生目標(biāo)以逐利當(dāng)官為大前提，做學(xué)問(wèn)頂多是一個(gè)過(guò)渡手腕，即使小有成就，也難以持久。推動(dòng)科研的熱情和好奇心很快就會(huì)冷淡。傳世之學(xué)，更無(wú)足論了。

即使我的學(xué)生中間也有很多年少得志的，不但有名聞全國(guó)，也有屢得獎(jiǎng)于海外的。但往往沾沾自喜，以為學(xué)有成就，就爭(zhēng)名逐利、自夸自大。往往急功近利，導(dǎo)致文章錯(cuò)誤百出。又為了做院士，花了很多時(shí)間去巴結(jié)權(quán)貴。在這樣的背景下，何以做高雅的學(xué)問(wèn)，更遑論傳世之學(xué)了。

做大學(xué)問(wèn)的學(xué)者，必需有崇高的志向。而立志不易，必需有深厚的文化環(huán)境和朋友老師的激勵(lì)才能形成這個(gè)先決的條件。

在西方，為了培養(yǎng)研究人員的素質(zhì)，特別講究通

才教育。其實(shí)中國(guó)深厚的文化提供了做學(xué)問(wèn)最好的背

景，中國(guó)詩(shī)詞歌賦意境高超，能夠純化個(gè)人的心志。

屈原天問(wèn)篇一連問(wèn)這么多問(wèn)題，值得我們學(xué)習(xí)。孟子

知言養(yǎng)氣，是培養(yǎng)氣質(zhì)和做學(xué)問(wèn)的很好的方法。

我年少時(shí)家貧，父親卻勉我以學(xué)問(wèn)，不以

富貴為志。父親寫了一本西洋哲學(xué)史，引文心

雕龍一小段，使我記憶尤深。

文心雕龍：

嗟呼，身與時(shí)舛，志共道申，

標(biāo)心于萬(wàn)古之上，而送懷與千

載之下。崇基學(xué)院門前對(duì)聯(lián)

崇高惟博愛(ài)本天地立心無(wú)間東西溝通學(xué)術(shù)

基礎(chǔ)在育才當(dāng)海山勝境有懷抱與陶鑄人群

丘鎮(zhèn)英

父親很注重我有崇高的志向，所以很早教導(dǎo)我的古文中就有左傳論三不朽的文章。

左傳

叔孫豹論三不朽

太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此之謂不朽。

立德立功之道，必以謙讓質(zhì)樸為主﹁會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小﹂輕妄浮誇之言也。

從中國(guó)古文中，可以看到做科學(xué)的方法，例如：

王國(guó)維論做大學(xué)問(wèn)三個(gè)過(guò)程

晏殊昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)，獨(dú)上高樓，望盡天涯路。

柳永……衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。

辛棄疾……眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。其實(shí)我想加一首詞：

宋徽宗……天遙地遠(yuǎn)，萬(wàn)水千山，知他故宮何處，怎不思量，除夢(mèng)里有時(shí)曾去。

除了中國(guó)古代文學(xué)對(duì)我的影響外，我也看翻譯的西方文學(xué)

作品，其中一首詩(shī)使我十分感動(dòng)的是：

英國(guó)大詩(shī)人拜倫

“希臘?。∧惚臼瞧胶蜁r(shí)代的愛(ài)嬌，你本是戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)代的天

驕。撒芷波，歌聲高，女詩(shī)人，熱情好。更有那德羅士、菲波

士榮光常照。此地是藝文舊壘，技術(shù)中潮，如今在否？算除卻

太陽(yáng)光線，萬(wàn)般沒(méi)了?！?/p>

“馬拉頓前啊！山容縹緲。馬拉頓后啊！海門環(huán)繞。如此好山河，也應(yīng)有自由回照。我向那波斯軍墓門憑眺。難道我為奴為隸，今生便了？不信我為奴為隸，今生便了。”

梁?jiǎn)⒊g

歐幾里得(公元前350年)《原本》●歐幾里得幾何公設(shè)■任意兩點(diǎn)間可作唯一的直線■任何線段可以無(wú)限延長(zhǎng)■以任一點(diǎn)為中心和任一距離為半徑可作一圓■所有直角彼此相等■對(duì)于一直線L和該直線外的一點(diǎn)P，存在唯一通過(guò)P，并和L不相交的直線?！瓗缀喂O(shè)僅是一些定義。—龐加萊畢達(dá)哥拉斯●給出一個(gè)直角三角形●該定理是幾何學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)●三元數(shù)組(3,4,5)在古代文明中是非常著名的。我們稱

(a,b,c)

為畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組。畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組●

希臘人意識(shí)到，當(dāng)時(shí)，c

不是有理數(shù)，也就是說(shuō)，c不是兩個(gè)整數(shù)的商?！窨梢杂孟旅娴墓秸业秸麛?shù)的畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組這里

都是正整數(shù)。

（畢達(dá)哥拉斯，歐幾里得，丟番圖……）畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組一個(gè)困難問(wèn)題：分類所有的有理數(shù)畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組，使其對(duì)應(yīng)的直角三角形的面積為整數(shù)。這樣的整數(shù)叫同余數(shù)。同余數(shù)：例如，1，2，3，4不是；5，6，7是。面積為5同余數(shù)1983年，Tunnell用Birch-Swinnerton-Dyer猜想證明了：如果n

是一個(gè)奇的非平方整數(shù)，

n

是同余數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足方程的三元數(shù)組(x,y,z)

的個(gè)數(shù)是滿足方程

的三元數(shù)組(x,y,z)

的個(gè)數(shù)的兩倍。橢圓曲線如果同余數(shù)n

是由三元數(shù)組(x,y,z)構(gòu)成的直角三角形的面積，這里x,y,z均是有理數(shù)，設(shè)

我們發(fā)現(xiàn)

滿足該方程的曲線叫橢圓曲線，它們構(gòu)成一個(gè)群。

橢圓曲線如果和

是一曲線的兩點(diǎn)，是直線和該曲線的交點(diǎn)，那么稍后我們將看到橢圓曲線在現(xiàn)代幾何和在弦理論中起著非常重要的作用。橢圓曲線–同余數(shù)n

是同余數(shù)

橢圓曲線有無(wú)限多個(gè)有理數(shù)解。某些相伴的函數(shù)在處為零。Theta函數(shù)的某些積的系數(shù)為零。柏拉圖多面體正多面體是凸體，每個(gè)面是相同的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)相連著同樣數(shù)目的面。僅有五種：正四面體，立方體，正八面體，正十二面體，正二十面體。柏拉圖多面體這些多面體和復(fù)奇點(diǎn)的現(xiàn)代理論有關(guān)，也和弦理論中非緊致卡拉比—丘成桐流形有關(guān)。各多面體間的對(duì)偶面頂點(diǎn)邊正四面體446立方體6812正八面體8612正十二面體122030正二十面體201230歐拉數(shù)對(duì)于柏拉圖多面體:歐拉注意到如果一個(gè)閉曲面能連續(xù)地形變到一個(gè)閉的多面體。分別記V,E,F,為該多面體的頂點(diǎn)數(shù),邊數(shù)和面數(shù)，那么

這里h是環(huán)柄個(gè)數(shù)對(duì)于球面,h=0,2(1-h)稱為歐拉數(shù)歐拉數(shù)環(huán)柄數(shù)分別為1,2,3對(duì)稱性—正多面形正多面體、磚瓦面、幾何圖案給出對(duì)稱性概念，支配著幾何學(xué)的發(fā)展。晶體按照對(duì)稱群分類高斯—博涅公式對(duì)多面體我們可以指定與某個(gè)頂點(diǎn)v相連的面的曲率為-與v相連的面的內(nèi)夾角所有頂點(diǎn)處曲率之和為高斯-博涅-魏依-艾倫多夫和陳省身推廣了上述公式高斯—博涅公式這類聯(lián)系幾何信息和拓?fù)淞康墓皆诂F(xiàn)代幾何學(xué)和現(xiàn)代物理學(xué)中有著顯著的重要性。（在物理語(yǔ)言中，這類公式聯(lián)系著拓?fù)浜?，拓?fù)淙毕?。）這類理論建立在陳類基礎(chǔ)上。1960年阿蒂亞-辛格作出了光輝的推廣。分析和幾何產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系。天文測(cè)量希臘天文學(xué)家將幾何學(xué)應(yīng)用于天文測(cè)量。例如，地球的直徑（在賽伊尼的埃拉斯特尼(公元前275年-195年))。對(duì)天文測(cè)量的愿望反過(guò)來(lái)又影響著幾何學(xué)和三角學(xué)的發(fā)展。…相信我，如果我可以重新開(kāi)始學(xué)習(xí)，我將聽(tīng)從柏拉圖的建議，從數(shù)學(xué)開(kāi)始。

——伽利略文藝復(fù)興時(shí)期笛卡兒(1596-1650)解析幾何：笛卡兒坐標(biāo)系德薩格(1591-1661)射影幾何費(fèi)馬(1601-1665)變分原理：測(cè)地線牛頓(1642-1727)微積分

萊布尼茨(1646-1716)微積分源于少數(shù)原理，…卻結(jié)出累累碩果，這就是幾何的驕傲。——牛頓拓?fù)浜蛶缀蔚默F(xiàn)代發(fā)展歐拉(1707-1783)多面體的歐拉公式，組合幾何，變分分析，幾何與力學(xué)，極小曲面。高斯(1777-1855)雙曲幾何(和羅巴切夫斯基(1792-1856),波爾約(1802-1829)一起)，高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)定義。)曲率的內(nèi)蘊(yùn)定義一張紙的曲率為零。可以將紙彎成一個(gè)圓柱面。兩個(gè)曲面是相同的：不拖長(zhǎng)或撕裂曲面。兩曲面的形狀不同。兩類幾何：內(nèi)蘊(yùn)度量給出高斯曲率外蘊(yùn)形狀給出主曲率懸鏈面–螺旋面(等距形變)。demo高斯(1817)我越來(lái)越確信幾何的必然性無(wú)法被驗(yàn)證，至少現(xiàn)在無(wú)法被人類或?yàn)榱巳祟惗?yàn)證。我們或許能在未來(lái)領(lǐng)悟到那無(wú)法知曉的空間的本質(zhì)。我們無(wú)法把幾何和純粹是先驗(yàn)的算術(shù)歸為一類。幾何和力學(xué)卻不可分割。黎曼(1826-1866)在抽象定義的空間上引入黎曼度量在無(wú)窮小近似下就是歐氏幾何。然而只在一階近似下是等同的。二階近似由度量的曲率張量來(lái)衡量。導(dǎo)致了幾何學(xué)的革命。克里斯托費(fèi)爾，列維-齊維塔，比安基……，發(fā)展了這類抽象空間上的微積分。黎曼面后來(lái)人們意識(shí)到對(duì)二維空間，每個(gè)黎曼度量都可以寫成如果引入復(fù)數(shù)度量可寫成黎曼面這樣的復(fù)坐標(biāo)在相差一個(gè)全純變換的意義下是唯一的。具有這樣復(fù)坐標(biāo)的抽象二維空間稱為黎曼面。此概念應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。黎曼面●曲面間的全純變換demo高斯曲率黎曼面的高斯曲率為黎曼面給出稱為復(fù)流形的首個(gè)例子。問(wèn)題：如何重新發(fā)現(xiàn)度量？有一個(gè)黎曼面，即給出一個(gè)復(fù)坐標(biāo)z。有一個(gè)定義在黎曼面上的曲率函數(shù)K。高斯曲率

黎曼度量的曲率在高維情形，黎曼度量的曲率遠(yuǎn)不是一個(gè)數(shù)量函數(shù)，它依賴于空間在某個(gè)截面上是如何彎曲的，稱為曲率張量?？梢詫?duì)全部曲率張量縮并，得到一個(gè)小的張量，稱為里奇張量。記為。里奇張量是一個(gè)對(duì)稱張量，其跡稱為數(shù)量曲率。記為。愛(ài)因斯坦方程黎曼幾何被愛(ài)因斯坦(在格羅斯曼、希爾伯特幫助下)用來(lái)描述廣義相對(duì)論。廣義相對(duì)論融合了狹義相對(duì)論和引力。愛(ài)因斯坦方程這里是物質(zhì)張量（引力由度量的全部的曲率張量來(lái)描述）。愛(ài)因斯坦方程對(duì)幾何學(xué)家們啟發(fā)深刻。這是一個(gè)高度非線性理論。（是引力位勢(shì)，是未知量）。時(shí)空

一般地，我們不能期望由愛(ài)因斯坦方程定義的時(shí)空有很多的對(duì)稱性。因而，很多經(jīng)典力學(xué)中的守恒量在廣義相對(duì)論無(wú)法直接定義。這里包括質(zhì)量、動(dòng)量、角動(dòng)量等。對(duì)于廣義相對(duì)論中的孤立物理系統(tǒng)，時(shí)空在無(wú)窮遠(yuǎn)處基本上是平坦地，因而具漸進(jìn)對(duì)稱性。這給出了總質(zhì)量、總動(dòng)量和總角動(dòng)量的定義。正質(zhì)量一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題是在某些合理的條件下,證明總質(zhì)量是正的。這對(duì)應(yīng)著幾何中，在某些數(shù)量曲率的限制下，研究三維流形的幾何。蕭恩和丘成桐用經(jīng)典的變分方法證明了正質(zhì)量猜想：研究空間中的極小曲面。后來(lái)威騰用狄拉克方程和超引力重新證明了正質(zhì)量猜想。求解愛(ài)因斯坦方程廣義相對(duì)論中困難的問(wèn)題是如何求解愛(ài)因斯坦方程。物質(zhì)張量為零的情形。黎曼幾何中一個(gè)非常有趣的問(wèn)題：能否找到一個(gè)閉空間，沒(méi)有物質(zhì)卻有引力？當(dāng)空間具超對(duì)稱性時(shí)，該問(wèn)題較容易。求解愛(ài)因斯坦方程例如,當(dāng)空間具復(fù)坐標(biāo)黎曼度量并可寫成這種情況下，有一個(gè)重要的量有拓?fù)湟饬x。由陳省身引入，刻畫著空間的整體拓?fù)?，稱為第一陳類?？臻g容許真空解要求第一陳類為零?？ɡ?丘成桐空間第一陳類為零可以在代數(shù)意義下驗(yàn)證。丘成桐證明了第一陳類為零的復(fù)曲面上存在具超對(duì)稱的真空愛(ài)因斯坦方程的解。這是卡拉比猜想的一部分。這類空間稱為卡拉比-丘成桐空間。橢圓曲線也是一個(gè)卡拉比-丘成桐空間。柏拉圖多面體和某些卡拉比-丘成桐空間有著緊密地聯(lián)系。卡拉比-丘成桐空間記X為一五次卡拉比-丘成桐空間，其由射影空間中的下述齊次多項(xiàng)式定義:

簡(jiǎn)單地說(shuō)，X上d次有理曲線是一個(gè)d次多項(xiàng)式解

記是X上d次有理曲線的個(gè)數(shù)。如何計(jì)算一百多年來(lái)一直困擾著數(shù)學(xué)家們。物理學(xué)中的鏡像對(duì)稱預(yù)言可用經(jīng)典超幾何函數(shù)來(lái)計(jì)算所有的。1998年，連文豪-劉克峰-丘成桐首次給出完整的論證，使問(wèn)題得以最終解決?？ɡ炔孪氲慕鉀Q卡拉比猜想的解決也給出了具負(fù)宇宙常數(shù)的度量。這類度量實(shí)際上是龐加萊在曲面上構(gòu)造的度量的推廣。最顯著的斷言是一個(gè)由復(fù)代數(shù)多項(xiàng)式定義的空間如果能形變到一個(gè)復(fù)線性空間，那么這個(gè)空間也是復(fù)線性的?？勺C明一個(gè)基本的不等式（米姚卡-丘成桐）：對(duì)于代數(shù)曲面S,

是曲面的歐拉數(shù)，和曲面的拓?fù)渲笜?biāo)有關(guān)。該不等式顯示，對(duì)代數(shù)曲面，存在一些非平凡的拓?fù)湎拗?。全?-形式受到流體力學(xué)和麥克斯韋方程的啟發(fā)，嘉當(dāng)，德·拉姆，霍奇，小平邦彥發(fā)展了流形上的調(diào)和形式理論，將流形上的分析與整體拓?fù)渎?lián)系起來(lái)。例子，在閉曲面上，每個(gè)環(huán)柄給出一個(gè)全純1-形式。其給出了在曲面上構(gòu)造正交網(wǎng)的一種方法。性質(zhì)：三角剖分和分解

相互獨(dú)立大范圍分析的發(fā)展霍奇理論的發(fā)展在代數(shù)幾何中引入了基本的分析工具。黎曼-洛赫公式和阿蒂亞-辛格指標(biāo)公式被用來(lái)解決代數(shù)幾何以及量子場(chǎng)論中的基本問(wèn)題，影響深遠(yuǎn)。在過(guò)去的三十年中，量子理論和量子場(chǎng)論對(duì)幾何學(xué)也有著重要的啟發(fā)。楊振寧-米爾斯理論楊振寧-米爾斯理論也將非線性理論帶入幾何學(xué)。唐納森理論給出四維流形拓?fù)溲芯康闹匾饬x。對(duì)埃米特型楊-米爾斯聯(lián)絡(luò)的唐納森-烏倫貝克-丘成桐定理給出代數(shù)幾何的一個(gè)新工具。許多重要的非線性微分方程在現(xiàn)代幾何學(xué)中變得非常基本平均曲率流調(diào)和映照里奇流(哈密爾頓方程)這些方程的超對(duì)性形式正變得重要非線性理論非常依賴于對(duì)線性理論的深刻理解。雙曲方程的線性理論還沒(méi)有被很好的理解。弦理論這些方法已經(jīng)大量應(yīng)用于現(xiàn)代弦理論。幾何對(duì)量子場(chǎng)論的研究卓有成效、神奇非凡。微分方程在代數(shù)和代數(shù)幾何中也導(dǎo)致深刻的結(jié)果

有著同樣的神奇性。數(shù)學(xué)和大部分物理可以認(rèn)為是幾何的一部分。討論我們能直覺(jué)地感覺(jué)到幾何概念或許讓幾何成為宇宙構(gòu)成的最好語(yǔ)言。在21世紀(jì)，我們將無(wú)法區(qū)別下面的學(xué)科：物理學(xué)：量子力學(xué)，廣義相對(duì)論，弦理論。幾何學(xué)：示性類，指標(biāo)公式。算子理論。非線性橢圓、拋物方程、雙曲系統(tǒng)、混合型方程。拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、數(shù)論。

物理和幾何基本物理牛頓力學(xué)量子物理廣義相對(duì)論高能物理現(xiàn)象的解釋、幾何概念的豐富新工具的引入物理實(shí)驗(yàn),觀察自洽性，由數(shù)學(xué)（幾何）驗(yàn)證基本物理的概念性突破幾何中的分析及方程基本原理通過(guò)數(shù)學(xué)上的復(fù)雜的計(jì)算，基本原理應(yīng)用于應(yīng)用學(xué)科。幾何現(xiàn)象，統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象，非線性方程，非線性離散現(xiàn)象，等等。從應(yīng)用學(xué)科中抽象出普適方法，演化成數(shù)學(xué)學(xué)科。基本原理。我毫不猶豫地說(shuō)，數(shù)學(xué)家值得為自己的天空去耕耘，值得為了那些在物理學(xué)中沒(méi)有應(yīng)用的理論去研究?！嫾尤R

數(shù)學(xué)家就象法蘭西人，無(wú)論你對(duì)他們說(shuō)什么，他們總是翻譯成變得完全不同的，自己的語(yǔ)言?！璧?/p>

數(shù)學(xué)研究介乎物理、文學(xué)與工程之間。

物理所以見(jiàn)其真也，

文學(xué)所以見(jiàn)其美也，

工程所以見(jiàn)其用也。

而三者相通。

以下引文心雕龍論文學(xué)之道：

體性

夫有天資，學(xué)慎始習(xí)，斫梓染絲，功在初化，

器成彩定，難可翻移。故童子雕琢，必先雅制，沿

根討葉，思轉(zhuǎn)自圓。八體雖殊，會(huì)通合數(shù)，得其環(huán)

中，則輻輳相成。故宜摹體以定習(xí)，因性以練才，

文之司南，用此道也。

人之秉才，遲速異分，文之制體，大小殊功。相

如含筆而腐毫，楊雄輟翰而驚夢(mèng)。桓譚疾感于苦思，

王充