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山西省忻州市南莊聯(lián)校2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.在等比數(shù)列{an}中,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=(
)A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1參考答案:B【考點】等比數(shù)列的性質(zhì).【專題】計算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】由已知條件,求出a4﹣a3=2a3,由此能求出公比.【解答】解:等比數(shù)列{an}中,∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,∴a4﹣a3=2S3+1﹣(2S2+1)=2(S3﹣S2)=2a3,∴a4=3a3,∴q=3.故選:B.【點評】本題考查等比數(shù)列折公比的求法,是中檔題,解題時要熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式.2.將“”改寫成全稱命題,下列說法正確的是(
)A.都有
B.都有C.都有
D.都有參考答案:A3.定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù):①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)=;④f(x)=ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為().A.①②
B.③④
C.①③
D.②④參考答案:C4.為了在運行下面的程序之后得到輸出y=16,鍵盤輸入x應(yīng)該是(
)A.或
B.
C.或
D.或參考答案:C無5.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(,0),直線y=x﹣1與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標(biāo)為﹣,則此雙曲線的方程是()A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1參考答案:D【考點】KB:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】先設(shè)出雙曲線的方程,然后與直線方程聯(lián)立方程組,經(jīng)消元得二元一次方程,再根據(jù)韋達(dá)定理及MN中點的橫坐標(biāo)可得a、b的一個方程,又雙曲線中有c2=a2+b2,則另得a、b的一個方程,最后解a、b的方程組即得雙曲線方程.【解答】解:設(shè)雙曲線方程為﹣=1.將y=x﹣1代入﹣=1,整理得(b2﹣a2)x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=,則==﹣.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以雙曲線的方程是.故選D.6.直線4x+3y﹣5=0與圓(x﹣1)2+(y﹣2)2=9相交于A、B兩點,則AB的長度等于()A.1 B. C.2 D.4參考答案:D【考點】直線與圓相交的性質(zhì).【分析】根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進(jìn)行求解即可.【解答】解:圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑R=3,圓心到直線的距離d==,則|AB|=2=2==4,故選:D【點評】本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用,利用弦長公式是解決本題的關(guān)鍵.7.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a,2b,c成等比數(shù)列,則cosB的最小值為()A. B. C. D.參考答案:D【考點】等比數(shù)列的通項公式.【分析】由a,2b,c成等比數(shù)列,知4b2=ac,由此利用余弦定理和基本不等式能求出cosB的最小值.【解答】解:∵a,2b,c成等比數(shù)列,∴4b2=ac,∴cosB==﹣≥1﹣=.當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,取等號,∴cosB的最小值為.故選:D.8.如圖,為正方體,下面結(jié)論錯誤的是(
)
A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.參考答案:D9.已知數(shù)列—1,a1,a2,—4成等差數(shù)列,—1,b1,b2,b3,—4成等比數(shù)列,則的值為(
)
A、
B、—
C、或—
D、參考答案:A略10.已知分別是橢圓的左、右焦點,若橢圓上存在點,使得線段的垂直平分線恰好過焦點,則橢圓的離心率的取值范圍是(
)A.
B.[,]
C.
D.參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)△ABC的頂點分別為,點是線段OA上一點(異于端點),均為非零實數(shù).直線BP、CP分別交AC、AB于點E,F(xiàn).一同學(xué)已正確地求出直線的方程為,請你完成直線的方程:
.
參考答案:(1/c-1/b)12.空間直角坐標(biāo)系中兩點A(0,0,1),B(0,1,0),則線段AB的長度為.參考答案:【考點】空間兩點間的距離公式.【專題】計算題;空間位置關(guān)系與距離.【分析】根據(jù)空間兩點之間的距離公式,將A、B兩點坐標(biāo)直接代入,可得本題答案.【解答】解:∵點A(0,0,1),點B(0,1,0),∴根據(jù)空間兩點之間的距離公式,可得線段AB長|AB|==故答案為:【點評】本題給出空間兩個定點,求它們之間的距離,著重考查了空間兩點之間距離求法的知識,屬于基礎(chǔ)題.13.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點圖中,若所有樣本點(xi,yi)(i=1,2…,n)都在直線上,則這組樣本 數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)r=
參考答案:1
14.命題:直線與直線垂直;命題:異面直線在同一個平面上的射影可能為兩條平行直線,則命題為
命題(填真或假).參考答案:真略15.已知F1、F2是橢圓(a>b>0)的左右焦點,P是橢圓上一點,∠F1PF2=90°,求橢圓離心率的最小值為
參考答案:16.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=,則f(2010)的值為_____________。參考答案:0略17.某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0、8,現(xiàn)射擊3次,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為
參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足:,且是,的等差中項.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,,求.參考答案:【解】(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的首項為,公比為,依題意,有2()=+,代入,得=8,∴+=20∴解之得或又單調(diào)遞增,∴=2,=2,∴=2n
┉┉┉┉┉┉┉┉6分(Ⅱ),∴
①∴
②∴①-②得=
┉┉┉┉┉┉┉┉12分略19.已知橢圓過點,且離心率為.()求橢圓的方程.()過點作直線與交于,兩點,連接直線,分別與直線交于,兩點.若和的面積相等,求直線的方程.參考答案:().()和和.()∵且橢圓過,,∴,,,∴橢圓為.()當(dāng)直線斜率不存在時,與關(guān)于點對稱,,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線為,設(shè)點坐標(biāo),,聯(lián)立,∴,,∴,,,,∴,,∵,,,∴直線的斜率,直線方程為:,當(dāng)時,,直線的斜率,直線的方程為:,當(dāng),,∴,∵,聯(lián)立解出,綜上,直線方程有和和.20.(本小題滿分12分)某公園準(zhǔn)備建一個摩天輪,摩天輪的外圍是一個周長為米的圓.在這個圓上安裝座位,且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連.經(jīng)預(yù)算,摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為元/根,且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長為米時,相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為元,假設(shè)座位等距離分布,且至少有四個座位,所有座位都視為點,且不考慮其他因素,記摩天輪的總造價為元.(Ⅰ)試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;(Ⅱ)當(dāng)米時,試確定座位的個數(shù),使得總造價最低。參考答案:解:(Ⅰ)設(shè)摩天輪上總共有個座位,則即,
定義域;
………5分
(Ⅱ)當(dāng)時,
令,則∴,∴
…………10分當(dāng)時,,即在上單調(diào)減,當(dāng)時,,即在上單調(diào)增,在時取到,此時座位個數(shù)為個.
………12分略21.已知函數(shù)f(x)=alnx﹣x+1,α∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求所有實數(shù)a的值.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【分析】(1)求出f′(x),根據(jù)當(dāng)a≤0時,f′(x)>0恒成立,當(dāng)a>0時,若f′(x)>0,則0<x<a,若f′(x)<0,則x>a,可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)分別討論a≤0和a>0的情況:a≤0時,發(fā)現(xiàn)在(0,1)上函數(shù)f(x)>0,∴f(x)≤0在區(qū)間x∈(0,+∞)上不可能恒成立;當(dāng)a>0時,再次求導(dǎo)求出a的值【解答】解:(1)∵f(x)=alnx﹣x+1,x>0,∴f′(x)=﹣1=,當(dāng)a≤0時,f′(x)<0恒成立,此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時,若f′(x)>0,則0<x<a,若f′(x)<0,則x>a,故此時,f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減;(2)由(1)知:當(dāng)a≤0時,f(x)在(0,+∞)上為減區(qū)間,而f(1)=0,∴在(0,1)上函數(shù)f(x)>0,∴f(x)≤0在區(qū)間x∈(0,+∞)上不可能恒成立;當(dāng)a>0時,f(x)在(0,a)上遞增,在(a,+∞)上遞減,f(x)max=f(a)=alna﹣a+1,令g(a)=alna﹣a+1,依題意有g(shù)(a)≤0,而g′(a)=lna,且a>0∴g(a)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增,∴g(a)min=g(1)=0,故a=1,22.如圖,在四棱錐E-ABCD中,ED⊥平面ABCD,,,.(1)求證:BC⊥平面BDE;(2)當(dāng)幾何體ABCE的體積等于時,求四棱錐E-ABCD的側(cè)面積.參考答案:(1)證明見解析;(2)【分析】(1)取的中點,連接,證得,結(jié)合平面,證得,由此證得平面.(2)首先根據(jù)三棱錐的體積公式結(jié)合等體積法,利用幾何體的體積為列方程,解方程求得的長,進(jìn)而計
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