中級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)-博弈論

第四講博弈論概論到目前為止，我們對經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的考察沒有考慮人們之間行為的相互影響。其實(shí)，現(xiàn)實(shí)中一個(gè)人的行為總是受到其他人行為的影響和制約，人們在追逐自己利益的過程中難免要與他人發(fā)生利益沖突或矛盾。如何克服和解決人們之間的利益沖突？如何才能實(shí)現(xiàn)一種既能讓每個(gè)人都實(shí)現(xiàn)自己的利益，又能讓每個(gè)人都不妨礙和傷害他人利益的互利互惠的和諧局面？博弈論(GameTheory)為解決這些問題提供了一種有力的科學(xué)分析框架。什么是博弈論自20世紀(jì)80年代以來，博弈論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，在揭示人們經(jīng)濟(jì)行為的相互影響和相互制約方面取得了重大進(jìn)展。大部分經(jīng)濟(jì)活動(dòng)都可以用博弈論加以解釋，甚至連市場調(diào)節(jié)與宏觀調(diào)控這樣的重大問題都可以看成是特殊的博弈現(xiàn)象，納入到博弈論的范圍加以研究。博弈論的思想方法博大精深，已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)必不可少的組成部分。

Game參與人參與人的策略參與人的支付目標(biāo)函數(shù)規(guī)則下的行動(dòng)（期望）效用例子：田忌賽馬剪刀石頭布古諾斯塔克伯格思考：參與人數(shù)支付相抵策略數(shù)量同時(shí)開始類型博弈論是研究在策略性環(huán)境中如何進(jìn)行策略性決策和采取策略性行動(dòng)的科學(xué)。其中策略性環(huán)境是指每個(gè)人進(jìn)行的決策和采取的行動(dòng)都會(huì)對其他人產(chǎn)生影響。博弈的標(biāo)準(zhǔn)形式博弈的基本要素：局中人(玩家)、策略、收益。局中人的目標(biāo)：收益最大化。策略博弈(gameofstrategies)：局中人以策略定勝負(fù)。博弈的標(biāo)準(zhǔn)形式(normalformofagame)：G=(Xi,

fi)n，其中

n

為局中人總數(shù)，

Xi

為局中人

i

的策略集合，S

=X1X2Xn

為G的局勢集合，fi:SR為局中人

i

的收益函數(shù)。局勢：由各局中人的策略組成的n元組

(x1,

x2,,

xn)(其中xiXi)。博弈的分類一般按照博弈的基本要素進(jìn)行分類。按局中人數(shù)分：二人博弈、多人博弈按策略集合分：有限博弈、無限博弈按收益函數(shù)分：常和(零和)博弈、變和博弈按博弈性質(zhì)分：非合作博弈、合作博弈按行動(dòng)次序分：同時(shí)移動(dòng)博弈、先后移動(dòng)博弈(序貫博弈)

以上分類可以結(jié)合起來，形成更仔細(xì)的分類。比如，二人零和有限博弈(矩陣博弈)、多人非合作無限博弈等等。矩陣博弈

博弈是一種普遍的日?，F(xiàn)象。當(dāng)人們工作的時(shí)候，總是會(huì)有意識或潛意識地運(yùn)用博弈論思維。比如，企業(yè)在經(jīng)營決策中總是要考慮競爭對手的反應(yīng)，個(gè)人與政府之間又存在著“上有政策，下有對策”的博弈跡象，金融監(jiān)管與金融創(chuàng)新則猶如“貓鼠博弈”。在人們休閑時(shí)，博弈又作為消遣性的游戲讓人們從中取得快樂，甚至獲得智慧，例如下棋、玩牌、打麻將等。一般來講，博弈的特征表現(xiàn)為兩個(gè)或兩個(gè)以上具有利益沖突的當(dāng)事人處于一種不相容狀態(tài)中，一方的行動(dòng)取決于對方的行動(dòng)，每個(gè)當(dāng)事人的收益都取決于所有當(dāng)事人的行動(dòng)。當(dāng)所有當(dāng)事人都拿定主意作出決策時(shí)，博弈的局勢便得以確定。博弈論正是要研究人們之間的這種不相容的行為，它推廣了標(biāo)準(zhǔn)的一人決策理論。博弈論關(guān)注的問題是：在每個(gè)當(dāng)事人的收益都依賴于其他當(dāng)事人的選擇的情況下，追求個(gè)人收益最大化的當(dāng)事人應(yīng)該如何采取行動(dòng)。我們先以最簡單的矩陣博弈為重點(diǎn)來討論這個(gè)問題，建立博弈論的基本思路和分析框架。

因此，甲和乙的二人零和有限博弈G=(X,f;Y,g)可表示為G=(X,Y,f)。特別是當(dāng)策略集合X和Y既定時(shí)，可直接用甲的收益矩陣表示這個(gè)博弈G

，并稱作“矩陣博弈

f”。

例

便士匹配

甲和乙在玩一種游戲，每人手中都有一枚硬幣，每人都有兩種選擇：出示硬幣正面、出示硬幣反面。

游戲規(guī)則：甲和乙各自獨(dú)立決定是出示正面還是出示反面。如果都出示正面或都出示反面，那么甲贏１元，乙輸１元；如果一人出示正面，而另一人出示反面，那么甲輸１元，乙贏１元。這個(gè)游戲就是通常所說的便士匹配博弈(MatchingPennies)，它類似于小孩子玩的“手心手背”游戲。其標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

乙甲出示正面出示反面出示正面1(甲)1(乙)1(甲)1(乙)出示反面1(甲)1(乙)1(甲)1(乙)便士匹配博弈收益表古諾均衡局中人的目標(biāo)：選擇合適的策略以使自己的收益(對方的損失)達(dá)到最大，也就是要讓對方的收益(自己的損失)達(dá)到最小。我們來分析局中人的博弈過程以揭示博弈的最優(yōu)解。假定：甲和乙都彼此了解對方的收益矩陣，即雙方都清楚自己的收益就是對方的損失——利益沖突。博弈過程：既然每個(gè)局中人都要根據(jù)對方的行動(dòng)來調(diào)整和確定自己的行動(dòng)，那么博弈過程必然是這樣的策略調(diào)整與選擇過程：每個(gè)人都要不斷地在對方選定了策略的情況下來調(diào)整自己的策略以使自己的收益達(dá)到最大。博弈結(jié)局：當(dāng)策略調(diào)整達(dá)到了這樣的局勢

(xh,yk)使得

xh是甲在乙選定yk的情況下的收益最大策略，同時(shí)yk是乙甲在選定xh的情況下的收益最大策略的時(shí)候，局中人雙方的策略調(diào)整得以結(jié)束，博弈的解得以確定，這個(gè)解即所謂的古諾均衡。即古諾均衡局中人的目標(biāo)：選擇合適的策略以使自己的收益(對方的損失)達(dá)到最大，也就是要讓對方的收益(自己的損失)達(dá)到最小。假定：甲和乙都彼此了解對方的收益矩陣，即雙方都清楚自己的收益就是對方的損失——利益沖突。博弈過程：既然每個(gè)局中人都要根據(jù)對方的行動(dòng)來調(diào)整和確定自己的行動(dòng)，那么博弈過程必然是這樣的策略調(diào)整與選擇過程：每個(gè)人都要不斷地在對方選定了策略的情況下來調(diào)整自己的策略以使自己的收益達(dá)到最大。博弈結(jié)局：當(dāng)策略調(diào)整達(dá)到了這樣的局勢

(xh,yk)使得

xh是甲在乙選定yk的情況下的收益最大策略，同時(shí)yk是乙甲在選定xh的情況下的收益最大策略的時(shí)候，局中人雙方的策略調(diào)整得以結(jié)束，博弈的解得以確定，這個(gè)解即所謂的古諾均衡。即古諾均衡：最小最大原理鞍點(diǎn)定理(最小最大原理)

是矩陣的鞍點(diǎn)(即博弈局勢(xh,yk)是矩陣博弈f的古諾均衡)當(dāng)且僅當(dāng)下述等式成立：

鞍點(diǎn)定理表明，要找到矩陣博弈的古諾均衡(即最優(yōu)解)，只需按照如下步驟進(jìn)行：第一，從矩陣各行的最小元中找出最大元，稱為最大最小元；第二，從矩陣各列的最大元中找出最小元，稱為最小最大元；第三，如果最大最小元與最小最大元一致，那么該元素就是矩陣的鞍點(diǎn)，代表矩陣博弈的古諾均衡。

乙甲作廣告不作廣告作廣告3030不作廣告2020例2.廣告競爭的古諾均衡單位：萬元古諾均衡：穩(wěn)妥策略與不穩(wěn)定性

最小最大原理指出，只有在收益矩陣的最大最小元與最小最大元一致的情況下，矩陣博弈才有最優(yōu)解。注意，最大最小元和最小最大元總是存在的，但最大最小元與最小最大元未必總是一致。這樣一來，矩陣博弈就可能沒有最優(yōu)解。比如，便士匹配博弈就沒有最優(yōu)解：該博弈的收益矩陣的最大最小元為和，最小最大元為和，結(jié)果最大最小元與最小最大元不一致，從而便士匹配博弈沒有最優(yōu)解。矩陣博弈可能沒有最優(yōu)解的真正原因是什么？

為了分析這個(gè)問題，我們把收益矩陣的最大最小元叫做甲的穩(wěn)妥策略；把收益矩陣的最小最大元叫做乙的穩(wěn)妥策略。矩陣博弈可能沒有最優(yōu)解的原因是穩(wěn)妥策略可能不穩(wěn)定：未必能使策略調(diào)整過程結(jié)束。因此，即使甲和乙都選擇穩(wěn)定策略，也未必能保證博弈達(dá)到古諾均衡。

古諾均衡：混合均衡

古諾均衡未必存在，這不是我們的期望。另外，實(shí)際中，局中人常常希望行動(dòng)隱秘而不被對手覺察。為了解決這兩個(gè)問題，人們提出了混合策略，即設(shè)計(jì)一種連自己都不知道會(huì)采取哪種策略的隨機(jī)策略，對手就更不得而知，從而使得局中人的行動(dòng)變得詭秘。

混合策略(mixedstrategies)

考慮二人有限博弈G=(X,f;Y,g)。X={x1,x2,…,xm}可叫做甲的純策略集合，Y={y1,y2,…,yn}可叫做乙的純策略集合，S=X

Y便為博弈G

的純局勢集合。甲可采取隨機(jī)選擇：以概率pi選擇純策略xi(

i=

1,

2,…,

m)，從而可用概率分布p=(p1,p2,…,pm)來表示甲的這一選擇。這種以概率分布表示的策略叫做混合策略，集合叫做甲的混合策略集合。同樣，可給出乙的混合策略集合。集合就叫做博弈G的混合局勢集合。

甲和乙的收益矩陣分別為：。博弈G的混合擴(kuò)充為博弈：定理博弈G=(X,f;Y,g)為常和博弈當(dāng)且僅當(dāng)G

的混合擴(kuò)充為常和博弈。當(dāng)G

是常和博弈時(shí)，G

與具有相同的收入常和。

G的混合擴(kuò)充的古諾均衡(最優(yōu)解)叫做G的混合均衡(混合最優(yōu)解)。換句話說，G的混合局勢(p*,q*)叫做的混合均衡(混合最優(yōu)解)，是指(p*,q*)滿足如下條件：

定理(混合均衡的存在性)任何矩陣博弈都有混合均衡。例

便士匹配的混合最優(yōu)解

便士匹配博弈中，甲的收益矩陣為f。

尋找便士匹配博弈的混合最優(yōu)解，就是去找出使得。

矩陣博弈混合均衡的存在性以及鞍點(diǎn)定理保證了博弈值V(G)是一個(gè)良好定義的數(shù)，并且當(dāng)(p*,q*)是的混合最優(yōu)解時(shí)，必有V(G)

=Ef(p*,q*)。博弈值在解釋最優(yōu)解的性質(zhì)以及求解混合最優(yōu)解方面相當(dāng)有用，還可以通過博弈值來證明矩陣博弈G的混合均衡集(混合最優(yōu)解集)具有下述定理所述的特點(diǎn)。博弈值

定理

對于甲和乙的矩陣博弈G=(X,Y,f)來說，T=

T1T2

且混合均衡集

T是空間的非空有界閉凸子集，從而甲的混合最優(yōu)策略集T1是的非空有界閉凸子集，乙的混合最優(yōu)策略集T2是的非空有界閉凸子集。

矩陣博弈僅僅是一類簡單又典型的二人常和博弈，經(jīng)濟(jì)學(xué)中遇到的博弈往往都是變和博弈。矩陣博弈理論之所以重要，是因?yàn)樗鼮檠芯孔兒筒┺奶峁┝撕芎玫姆治鏊悸泛涂蚣堋，F(xiàn)在，我們來在矩陣博弈理論的基礎(chǔ)上建立一般的二人博弈理論。

二人有限博弈例

囚徒難題博弈乙甲合作背叛合作3000300004000背叛4000010001000囚徒難題博弈收益表古諾均衡(納什均衡)二人有限博弈：最小最大原理失效乙甲y1y2x15532x24366博弈GA：古諾均衡與最大最小元不一致乙甲y1y2x15637x24554博弈GB：不存在均衡，但存在最大最小元二人有限博弈：混合策略例

性別之戰(zhàn)：性別差異導(dǎo)致效用收益差異定理(混合均衡的存在性)

任何二人有限博弈都有混合均衡?？ǚ蛉氵_(dá)話劇足球話劇2100足球0012混合均衡：茹達(dá)和卡夫的預(yù)期收益都為2/3。意味著“男女平等”。

二人無限博弈現(xiàn)在考慮二人無限博弈G=(X,f;Y,g)，其中X和Y

分別任意集合，局勢集合S=X

Y

是無限集合。顯然，二人有限博弈的混合擴(kuò)充就是二人無限博弈。二人無限博弈的混合擴(kuò)充依然是二人無限博弈。因此，在無限博弈的情形，無需專門討論混合擴(kuò)充。二人博弈的古諾均衡是滿足如下條件的局勢(x*,

y*)：XYRf

(x*,

y*)(x*,

y*)x*y*古諾均衡二人無限博弈：古諾均衡存在性假設(shè)G1甲的策略集合X

是某個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻gV1的非空緊凸子集，乙的策略集合Y

也是某個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻gV2的非空緊凸子集，從而局勢集合S是拓?fù)湎蛄靠臻gV1V2的非空緊凸子集。假設(shè)G2甲的收益函數(shù)

f

(x,y)連續(xù)且關(guān)于策略變元

x

弱擬凹；乙的收益函數(shù)連續(xù)

g(x,y)且關(guān)于策略變元y

弱擬凹。范格不動(dòng)點(diǎn)定理

設(shè)T是拓?fù)湎蛄靠臻g的非空緊凸子集，F(xiàn):TT是集值映射。如果F上半連續(xù)且對任何xT，F(xiàn)(x)都是非空閉凸集，則F

有不動(dòng)點(diǎn)，即(tT)(t=F(t))。定理(古諾均衡的存在性)任何滿足假設(shè)G1和G2的二人無限博弈都有古諾均衡。二人無限博弈：反應(yīng)函數(shù)

當(dāng)乙采取策略y時(shí)，甲對乙的這一行動(dòng)的反應(yīng)是要確定甲的相應(yīng)對策x以使收益f

(x,y)在乙選擇y的情況下達(dá)到最大：f

(x,y)=max{

f

(x,y):xX}。這就確定了一個(gè)映射x=

(

y)，叫做甲對乙的反應(yīng)函數(shù)。同樣，可以確定乙對甲的反應(yīng)函數(shù)

y=

(

x)：g(x,y)=max{g(x,y):yY}。由“x*=

(

y*)&y*=

(

x*)”確定的局勢(x*,y*)的就是博弈G的均衡。

二人無限博弈的一種特殊情況：甲和乙的策略集合X和Y都是實(shí)數(shù)區(qū)間，收益函數(shù)f:XR和g:YR可微。則反應(yīng)函數(shù)由下述方程確定：比如，重復(fù)博弈

雖然我們已經(jīng)對二人博弈的最優(yōu)解作了研究，但讓局中人找到最優(yōu)解卻不是一個(gè)容易的過程，需要反復(fù)實(shí)踐和鍛煉，就好像棋手下棋一樣，需要反復(fù)不斷地下，才能越來越達(dá)到最優(yōu)解?？梢?，博弈是可以重復(fù)進(jìn)行的。但到目前為止，我們所研究的博弈都是一次性博弈。因此，有必要研究博弈的重復(fù)。事實(shí)上，當(dāng)博弈可以重復(fù)進(jìn)行的時(shí)候，其最優(yōu)結(jié)局可能會(huì)與一次性博弈的均衡有所差異。下面以囚徒難題博弈為例來說明這個(gè)問題，分兩種情況討論：博弈重復(fù)有限次博弈重復(fù)無限次重復(fù)博弈：有限次重復(fù)

每個(gè)局中人都知道博弈將重復(fù)一個(gè)固定的次數(shù)?？紤]最后一次博弈中局中人的推理：每個(gè)人都認(rèn)為他們此時(shí)是在進(jìn)行一次性博弈，這是最后一次行動(dòng)，因而古諾均衡的標(biāo)準(zhǔn)邏輯推理得以應(yīng)用，其結(jié)果是局中人雙方選擇“背叛”。再考慮倒數(shù)第二次博弈，這里似乎每個(gè)局中人都重視合作，可以向?qū)Ψ桨l(fā)出“善意”的合作信號，以便能在下一次博弈中繼續(xù)合作。但局中人作為理性人，他清楚地知道最后一次博弈中對方必然背叛，因此他在倒數(shù)第二次博弈中采取合作就沒有優(yōu)勢可言，故要選擇背叛。同樣，在倒數(shù)第三次博弈中，局中人的推理與倒數(shù)第二輪博弈中的推理一樣，結(jié)果在倒數(shù)第三輪博弈中，局中人依然采取背叛。采用這種從后往前的“逆向歸納法(backwardinduction)”，便可知道每次博弈中，局中人雙方都要選擇“背叛”策略?？梢?，在有限次重復(fù)博弈中，最優(yōu)的局勢依然是古諾均衡，也就是說，古諾均衡是局中人雙方的短期利益所在。重復(fù)博弈：無限次重復(fù)每個(gè)局中人都知道博弈要無限重復(fù)進(jìn)行下去。此時(shí)，每個(gè)局中人的策略都是一個(gè)函數(shù)序列，它表明每個(gè)人在每個(gè)階段策略選擇都是此階段之前的博弈歷史的函數(shù)。這樣，局中人的收益是各階段收益的貼現(xiàn)值之和(向時(shí)刻0貼現(xiàn))：。R：局中人永不背叛的收益；RT：局中人第T次背叛的收益。

只要貼現(xiàn)率r<2，那么RT<R

，即采取背叛無利可圖，還是合作為好。收入的貼現(xiàn)率小于2是平常的，可見通常情況下，只要博弈能夠無限次重復(fù)下去，那么就可實(shí)現(xiàn)“(合作，合作)”的更好結(jié)局，這說明“(合作，合作)”是局中人雙方的長期利益所在。

非合作博弈

二人一次性博弈是典型的非合作博弈，局中人之間沒有串通和勾結(jié)，各個(gè)局中人都是獨(dú)立決策和獨(dú)立行動(dòng)。

20世紀(jì)50年代，美國數(shù)學(xué)家納什成功地將這種博弈模式推廣到多人情形，接連發(fā)表了多篇研究論文，為現(xiàn)代博弈論的形成和發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。納什對多人非合作博弈作出了明確界定，提出了多人非合作博弈的納什均衡概念，并證明了納什均衡的存在性。由于納什均衡是對矩陣博弈的古諾均衡概念的推廣，因此人們也常常把納什均衡稱作古諾-納什均衡。納什均衡存在性定理的重要意義在于其結(jié)論可以直接向經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)推廣，并且這種推廣是阿羅和德布羅重建瓦爾拉一般均衡理論大廈的關(guān)鍵所在。多人有限非合作博弈

定理(納什定理)

任何n人有限博弈都有(非合作)混合最優(yōu)解。多人連續(xù)博弈

對于多人無限博弈，人們更關(guān)注連續(xù)博弈，即在博弈的局勢集合上賦予了某種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并且在該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下各個(gè)局中人的收益函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)性表明：只要局中人行動(dòng)變化不大，局中人收益也就變化不大。

定理x*S是納什均衡

x*

(x*)(即x*為的不動(dòng)點(diǎn))。假設(shè)G1局中人

i

的策略集合Xi是某個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻gVi的非空緊凸子集,從而局勢集合S是拓?fù)湎蛄靠臻gV1Vn的非空緊凸子集。假設(shè)G2連續(xù)且關(guān)于策略變元

xi弱擬凹。定理(均衡存在性)

任何滿足假設(shè)G1和G2的n

人非合作博弈都有納什均衡。帶約束條件的納什均衡

假設(shè)G3在受約束的博弈G

=

(Xi,

fi,

Bi)iI中，每個(gè)局中人

i

的約束集映Bi:SXi都是連續(xù)的集值映射，同時(shí)對任何xS，Bi(x)都是Xi的非空閉凸子集，并且Bi(x)與局中人i在局勢x中的策略無關(guān)。帶約束條件的納什均衡存在性定理

任何滿足假設(shè)G1、G2和G3的

n

人非合作博弈都有納什均衡。納什均衡：合作博弈

當(dāng)博弈從二人發(fā)展到多人參與的時(shí)候，局中人就不再像二人博弈那樣只是獨(dú)立行動(dòng)，而是可以開展合作，一些局中人聯(lián)合起來對抗另外一些局中人。他們出于某種動(dòng)機(jī)或需要而結(jié)成聯(lián)盟，互通情報(bào)信息，采取一致行動(dòng)，以便取得對自己有利的結(jié)果。這種相互配合、彼此協(xié)作、結(jié)成聯(lián)盟的現(xiàn)象就是合作博弈的原型。在合作博弈中，局中人自己的策略選擇已經(jīng)不再是什么重要問題，重要的是聯(lián)盟如何選擇策略，如何采取一致行動(dòng)，聯(lián)盟的收入如何向其成員進(jìn)行分配。收入分配問題至關(guān)重要，它決定著局中人能否形成聯(lián)盟，盟外人又是否愿意加入到聯(lián)盟中來?，F(xiàn)在，我們來討論這些問題，建立多人合作博弈的理論。我們將以有限博弈為對象展開討論，至于無限博弈的情形，這里的理論和方法都可以自然地推廣過去。

合作博弈：聯(lián)盟對抗

博弈

G=(Xi,

ui)iI

的局中人集合為

I

=

{1,2,,n}。局中人的合作表現(xiàn)為結(jié)盟，即形成聯(lián)盟，這個(gè)聯(lián)盟就是

I

的子集。定義

博弈

G

中的一個(gè)聯(lián)盟是指局中人集合

I

的一個(gè)子集。對于這個(gè)定義，以下三點(diǎn)值得注意：

通過結(jié)盟，合作博弈可轉(zhuǎn)化為非合作博弈：若A是聯(lián)盟,那么G就成為聯(lián)盟

A

和其余聯(lián)盟

B的非合作博弈。即可把A和B都看成局中人：A

和

B

的策略集合分別為

XA=

iAXi和

XB=

iBXi,局勢集合為X=

iIXi=

XA

XB，局勢

x

=

(x1,,

xn)

=

(xA,

xB)，A

和

B

的收益函數(shù)分別為

uA(x)

=

iA

ui(x)和

uB(x)

=

iB

ui(x),于是G

轉(zhuǎn)化為GA=

(XA,

uA;XB,

uB)。如果

A

是聯(lián)盟，那么

B

=

I

–

A

也是聯(lián)盟，稱為聯(lián)盟

A

的余聯(lián)盟。任何聯(lián)盟

A

都把局中人分成兩個(gè)聯(lián)盟：聯(lián)盟

A

和余聯(lián)盟

B。

I

和空集

都是聯(lián)盟且互為余聯(lián)盟。我們把空集

稱為空聯(lián)盟。只含一個(gè)局中人的集合也是聯(lián)盟，叫做單人聯(lián)盟。這是聯(lián)盟的特殊情形，實(shí)際上單人聯(lián)盟并沒有真正的結(jié)盟意義。合作博弈：特征函數(shù)

通過聯(lián)盟A，多人合作博弈G簡化為二人非合作博弈GA

=

(XA,

uA;XB,

uB)，由此可引出博弈G的特征函數(shù)V:P

(I

)R：

V(A)是

A的收益函數(shù)uA在鞍點(diǎn)處的值。事實(shí)上，V(A)是二人零和博弈(XA,

uA;XB,

uA)的古諾均衡中局中人

A

的收益。馮·諾伊曼據(jù)此提出了如上的特征函數(shù)概念。特征函數(shù)V(A)具有以下基本性質(zhì)：性質(zhì)1對于空聯(lián)盟來說,V()

=

0。(這是因?yàn)?/p>

u

=

0)性質(zhì)2若A,

BP

(I

)

且

AB

=,則V(AB

)

V(A)

+

V(B)。性質(zhì)3當(dāng)G為零和博弈時(shí),V(I

)

=

0

且(AP

(I

))(V(I

–

A)

=

V(A))。如果把性質(zhì)2中的不等式換為等式，即

V(AB

)

=

V(A)

+

V(B)

對一切不相交的聯(lián)盟

A和B都成立，則稱特征函數(shù)V

具有可加性。當(dāng)V具有可加性時(shí),

V(A)

=

iA

V({i})對一切聯(lián)盟

A

成立,

這表明結(jié)盟與不結(jié)盟沒有什么差別，從而博弈中合作沒有什么意義。這種具有可加特征函數(shù)的博弈，稱為非本質(zhì)博弈，人們感興趣的是本質(zhì)博弈。合作博弈：收入分配

特征函數(shù)表示聯(lián)盟總收入，那么這筆收入在聯(lián)盟內(nèi)部如何分配呢？為了研究聯(lián)盟內(nèi)的收入分配問題，首先給出收入分配的含義。

定義

博弈

G

=

(Xi,

ui)n

的收入分配(簡稱分配)是一個(gè)滿足如下條件的n維向量(r1,

r2,,

rn)：V(I

)

=

iI

ri且ri

vi=V({i})

(i

=1,2,,n)。定義中的條件

V(I

)

=

iI

ri意味著局中人全體組成統(tǒng)一聯(lián)盟，并從這個(gè)聯(lián)盟中得到收入；vi=V({i})表示局中人單干的收入，即不與其他人結(jié)盟的情況下的收入；條件ri

vi意味著局中人參加聯(lián)盟所得到的收入不低于單干的收入，聯(lián)盟的吸引力就在于參加聯(lián)盟能夠得到更多的收入。向量v

=

(v1,

v2,,

vn)就叫做單干收入向量，根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)可知，V(I

)

iI

vi。收入分配具有下述一些性質(zhì)。性質(zhì)1向量(r1,

r2,,

rn)

是G

的分配當(dāng)且僅當(dāng)存在向量(a1,

a2,,

an)

0

使得ri=

vi

+

ai(i

=1,2,,n)

且iI

ai=V(I

)

iI

vi。性質(zhì)2

n

人非本質(zhì)博弈的分配只有單干收入向量v

=

(v1,

v2,,

vn)。性質(zhì)3本質(zhì)博弈的分配有無限多個(gè)。合作博弈：核心最優(yōu)解

局中人結(jié)盟是因?yàn)榻Y(jié)盟能夠提高聯(lián)盟成員的收入。因此，對于任何一種收入分配

t

=

(t1,

t2,,

tn)，如果存在AP

(I

)

及另一種收入分配r

=

(r1,

r2,,

rn)

使得V(A)

iA

ri

且ri

>

ti對一切

iA

成立,

那么

A中的局中人就會(huì)結(jié)盟一致反對收入分配

t以達(dá)到提高收入的目的,這個(gè)聯(lián)盟

A

就叫做收入分配

t

的反對者聯(lián)盟。一種收入分配只有不存在反對者聯(lián)盟的時(shí)候，才能被所有局中人接受。這種收入分配就是合作博弈的最優(yōu)解——核心最優(yōu)解。由所有核心最優(yōu)解構(gòu)成的集合，