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文檔簡介

地質(zhì)與測繪工程學(xué)院:朱紅俠電話0一三年九月誤差理論與測量與平差基礎(chǔ)誤差理論與測量平差基礎(chǔ)全書共有十二章:

第一章緒論

第二、三章全書的基礎(chǔ)知識

第四章介紹測量平差理論

第五、六、七、八章4種平差方法

第九章各種平差方法的總結(jié)

第十章討論點位精度

第十一章統(tǒng)計假設(shè)檢驗的知識

第十二章近代平差概論

根據(jù)教學(xué)大綱的要求,重點講解第一章~第十章的內(nèi)容。第一章緒論第一節(jié)觀測誤差第二節(jié)測量平差學(xué)科的研究對象第三節(jié)測量平差的簡史和發(fā)展第四節(jié)本課程的任務(wù)和內(nèi)容授課目的要求:

明確觀測誤差產(chǎn)生的原因,掌握誤差分類及其處理方法。重點、難點:誤差分類及其處理方法。本章中要解決的問題觀測(測量)的概念誤差的概念如何發(fā)現(xiàn)觀測誤差測量中為什么存在觀測誤差觀測誤差如何分類和如何處理了解測量平差的發(fā)展測量平差的任務(wù)是什么

1.

觀測(測量)的概念

用一定的測量工具、儀器和一切的手段、傳感器直接采集或者通過一個平臺來采集有關(guān)信息的過程和結(jié)果。

2.

誤差的概念日常生活中經(jīng)常遇見的如量距、量身高、稱體重等,幾次的結(jié)果一定不完全系統(tǒng),幾次之間就存在誤差。

誤差:表示某物理量、幾何量或參數(shù)實際測量值與真值之間的差值。3.

如何發(fā)現(xiàn)觀測誤差?測量差異:一量重復(fù)觀測值之間存在差異;平面三角形內(nèi)角和觀測值與其理論值之間存在差異;水準閉合環(huán)觀測值與其理論值之間存在差異。以上的差異說明觀測中存在觀測誤差誤差的表現(xiàn)形式:重復(fù)觀測值之間存在差異實際觀測值不滿足應(yīng)有的理論關(guān)系觀測條件

觀測者

儀器

外界環(huán)境

采用一定的

在一定的

中測取

技術(shù)水平工作態(tài)度

精密度誤差

溫度、濕度風力等

觀測條件對觀測成果產(chǎn)生影響,不可避免產(chǎn)生觀測誤差觀測條件較好則觀測質(zhì)量較高,觀測條件較差則觀測質(zhì)量較低,觀測條件相同則觀測質(zhì)量相同。

4.

測量中為什么存在觀測誤差?真誤差

觀測值的真值

觀測值

向量形式

其中

觀測誤差如何計算?觀測誤差

粗差

系統(tǒng)誤差

偶然誤差

處理粗差:重復(fù)觀測嚴格檢核計算中發(fā)現(xiàn)

發(fā)現(xiàn)后舍棄或重測

系統(tǒng)誤差:采用適當?shù)挠^測方法校正儀器計算加改正系統(tǒng)誤差補償

偶然誤差:采用測量平差的方法

5.誤差如何分類18世紀末,在測量學(xué)、天文測量學(xué)等實踐中提出了如何消除由于觀測誤差引起的觀測量之間的矛盾問題法國大地測量學(xué)家拉普拉斯(Laplace1749-1827)最早提出測量偶然誤差的概率分布密度函數(shù)1794年德國大地測量學(xué)家高斯(Gauss1777-1855)首先提出最小二乘法1806年法國數(shù)學(xué)家勒讓德爾(Legendre1752-1833)在論著《決定衛(wèi)星軌道的新方法》中獨立提出最小二乘法1809年高斯在他的《天體沿圓錐面繞太陽運動的理論》著作中,對勒讓德爾的最小二乘法作了理論上的闡述。6.測量平差的簡史與發(fā)展19世紀初到20世紀50-60年代,在基于偶然誤差的依據(jù)最小二乘準則的平差方法作了許多研究。從法方程系數(shù)矩陣滿秩擴展到法方程系數(shù)矩陣虧秩從僅處理靜態(tài)數(shù)據(jù)擴展到處理動態(tài)數(shù)據(jù)從待估參數(shù)為非隨機量擴展到待估參數(shù)為隨機量從觀測值僅含偶然誤差擴展到有含有系統(tǒng)誤差和粗差從獨立觀測擴展到相關(guān)觀測的平差理論

7.測量平差的任務(wù)與內(nèi)容

測量平差的定義:依據(jù)某種最優(yōu)化準則,由一系列帶有觀測誤差的測量數(shù)據(jù),求定未知量的最佳估值及精度的理論和方法。主要任務(wù):講述測量平差的基本理論和基本方法;研究對象:處理帶有偶然誤差的觀測列;教學(xué)目的:掌握誤差理論和經(jīng)典平差基本原理及各種平差

方法;兩大任務(wù):參數(shù)估計精度評定本章小結(jié)觀測值中為什么存在觀測誤差觀測誤差如何計算觀測誤差如何分類?如何處理測量平差的任務(wù)是什么第二章誤差分布與精度指標全章共分5節(jié),是本課程的重點內(nèi)容之一。

重點:偶然誤差的規(guī)律性,精度的含義以及衡量精度的指標。

難點:精度、準確度、精確度等概念。

要求:弄懂精度等概念;深刻理解偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律;牢固掌握衡量精度的幾個指標。第一節(jié)正態(tài)分布1.一維正態(tài)分布

如果在一系列個別因素引起的誤差項對誤差的總和的影響都是均勻地小,那么其總和即測量誤差就是服從正態(tài)分布。隨機變量X的數(shù)學(xué)期望:隨機變量X的方差:服從正態(tài)分布的一維隨機變量X的密度函數(shù)為:隨機變量X的數(shù)學(xué)期望:隨機變量X的方差:連續(xù)型離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望:隨機變量X的方差:數(shù)學(xué)期望:反映隨機變量集中位置的數(shù)字特征方差:反映隨機變量偏離集中位置的離散程度2.n

維正態(tài)分布n維正態(tài)隨機向量X的聯(lián)合概率密度為:數(shù)學(xué)期望:方差:第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性

定義:在相同觀測條件下,對某量進行一系列觀測,如誤差出現(xiàn)符號和大小均不一定,這種誤差稱為偶然誤差。但具有一定的統(tǒng)計規(guī)律。如果真值:數(shù)學(xué)期望:

誤差區(qū)間dΔ

為負值的Δ

為正值的Δ

個數(shù)vi

相對個數(shù)

vi

/n

個數(shù)vi相對個數(shù)

vi/n0.0"---0.5"0.5-----1.01.0----1.51.5----2.02.0----2.52.5----3.03.0----3.53.5以上

12310475552720100

0.1510.1270.0920.0670.0330.0250.0120

121907851391590

0.1480;1100.0960.0620.0480.0180.0110

414

0.507

403

0.493

從表可以看出,該組誤差的分布規(guī)律為:絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差多;絕對值相等的正誤差個數(shù)與負誤差個數(shù)相近,誤差的絕對值有一定限制,最大誤差不超過3.5″。

-3.5-2.5-1.5-0.5+0.5+1.5+2.5+3.5-3-2-10+1+2+3誤差分布曲線x=

y誤差分布頻率直方圖縱坐標:

特點:(1)具有一定的范圍。(有界性)(2)絕對值小的誤差出現(xiàn)概率大。(占優(yōu)性)(3)絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同。(對稱性)(4)數(shù)學(xué)期限望等于零。(抵償性)即:

圖中各長方條的縱坐標為,其面積即為誤差出現(xiàn)在該區(qū)內(nèi)的頻率。如果將這個結(jié)果提到理論上來討論,則以理論分布取代經(jīng)驗分布,此時,圖中各長方條的縱坐標就是△的密度函數(shù)f(△),而長方條的面積為f(△)d△,即代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率,即P(△)=f(△)d△

假設(shè)誤差服從正態(tài)分布,可寫出△的概率密度式為偶然誤差△是服從N(0,)分布的隨機變量。第三節(jié)衡量精度的指標

從教材中2-1和2-2可得以下結(jié)果:

結(jié)論:第一組比第二組誤差分布較為集中,或離散度小。

從直方圖看第一組比第二組圖頂峰較高,且各長方條所構(gòu)成的階梯較陡峭。

在一定的觀測條件下進行的一組觀測,它對應(yīng)著一種確定的誤差分布。如果分布較為密集,即離散度較小時,則表示該組觀測質(zhì)量較好也就是說,這一組觀測精度較高;反之,如果分布較為離散,即離散度較大時,則表示該組觀測質(zhì)量較差,也就是說,這一組觀測精度較低。

精度的概念:所謂精度,就是指誤差分布的密集或離散的程度,也就是指離散程度的大小。

假如兩組觀測成果的誤差分布相同,便是兩組觀測成果的精度相同;反之,若誤差分布不同,則精度也就不同。

在相同的觀測條件下所進行的一組觀測,由于它們對應(yīng)著同一種誤差分布,因此,對于這一組中的每一個觀測值,都稱為是同精度觀測值。

方差的概念

由數(shù)理統(tǒng)計學(xué)知,隨機變量X的方差定義為

一、方差和中誤差誤差的概率密度函數(shù)為:是誤差分布的方差,由方差的定義而偶然誤差的數(shù)學(xué)期望中誤差(恒為正)

不同的將對應(yīng)著不同形狀的分布曲線。愈小,曲線愈為陡峭,愈大,則曲線愈為平緩?fù)瑫r還說明了,正態(tài)分布曲線具有兩個拐點,它們在橫軸上的坐標為義,為變量X的數(shù)學(xué)期望。對于偶然誤差而言,由于其數(shù)學(xué)期望為,所以拐點在橫軸上的坐標應(yīng)為

的大小可以反映精度的高低。常用作為衡量精度的指標。

如果在相同的條件下得到了一組獨立的觀測誤差,并根據(jù)定積分的定義可以寫出中誤差:方差和分別是和的極限值,即理論上的值。

但測量中的觀測值是有限的,那么用有限的觀測值的真誤差只能求得方差和中誤差的估值。在以后的章節(jié)中將“中誤差的估值”簡稱為“中誤差”。

例題設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進行門10次觀測,求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為:第一組:+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,-3″+2″,-3″,-1″;第二組:0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,+0″,+3″,-1″。這兩組觀測值的中誤差的估值

二、平均誤差

平均誤差的概念:在一定的觀測條件下一組獨立的偶然誤差的絕對值的數(shù)學(xué)期望稱為平均誤差。對于相同條件下的一組獨立的觀測誤差,則有的密度函數(shù)式為:所以有所以,可以用平均誤差作為衡量精度的指標。

因此,或然誤差也可以作為衡量精度的指標將的密度函數(shù)代入并作變換,可得:三、或然誤差或然誤差的概念:誤差出現(xiàn)在之間的概率等于1/2,即是或然誤差。

將在相同觀測條件下得到的一組誤差。按絕對值的大小排列,當n為奇數(shù)時,取位于中間的一個誤差值作為,當n為偶數(shù)時則取中間兩個誤差值的平均值作。

或然誤差的幾何意義

因為測量中的觀測個數(shù)是有限的,因此只能得到或然誤差的估值。通常是先求出中誤差的估值,再求出或然誤差的估值。

例題:具體數(shù)據(jù)見教材表2-3

絕對值大于中誤差的偶然誤差,其出現(xiàn)的概率為31.7%,而絕對值大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4.5%,特別是絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅有0.3%,這已經(jīng)是概率接近于零的小概率事件或者說這是實際上的不可能事件。因次通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值,并稱為極限誤差。即也有用2倍的中誤差作為極限誤差。四、極限誤差

五、相對誤差

相對誤差的概念:中誤差與觀測值之比稱為相對誤差。往往,中誤差相等,但精度并不一樣,這時要用相對誤差來衡量精度。測量中往往將相對誤差的分子化為1,分母用N表示。相對誤差也有極限誤差。與相對誤差相對應(yīng),真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。第四節(jié)精度、準確度與精確度

一、精度精度是指誤差分布的密集或離散的程度。當觀測僅含偶然誤差時,其數(shù)學(xué)期望就是其真值,精度描述的是觀測值與真值接近程度,即偶然誤差的大小程度。精度是衡量偶然誤差大小的指標。

當討論兩個或多個隨機變量時,要考慮描述它們之間相互關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差。觀測誤差和觀測值都是服從正態(tài)分布的隨機變量,因此,兩個觀測值或兩個觀測誤差之間的相互關(guān)系,也是用協(xié)方差來描述的。設(shè)有X、Y的函數(shù)則定義g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為隨機變量X、Y的協(xié)方差,記為Dxy。

當X=Y時,上式既是X或Y的方差。其中:1.協(xié)方差的定義和概念

對于一組2維觀測值,設(shè)△xi

是觀測值xi的真誤差,△yi

是觀測值yi的真誤差則對于二維隨機變量有ρ(X,Y)稱為隨機變量X,Y的相關(guān)系數(shù),其反映X,Y的相關(guān)程度,當ρ(X,Y)=0時,X,Y不相關(guān),即相互獨立,此時。

在測量工作中,直接觀測得到的高差、距離、角度和方向等都是獨立觀測值;按全組合測角法觀測并經(jīng)過測站平差后的方向值、三角高程測量求得的高差等,也是獨立觀測值。一般來說,獨立觀測值的各個函數(shù)之間是不獨立的或者說是相關(guān)的,因而它們是相關(guān)觀測值。2.觀測向量的精度指標--協(xié)方差陣假定有n個不同精度的相關(guān)觀測值Xi(i=1,2,…,n),它們的數(shù)學(xué)期望和方差為和它們兩兩之間的協(xié)方差為,用矩陣表示為

式中為觀測值向量,為X的數(shù)學(xué)期望,而DXX為X的方差-協(xié)方差陣??梢杂梅讲睿瓍f(xié)方差陣作為觀測向量的精度指標。當X中各觀測值之間互相獨立時,則所有的協(xié)方差為零,此時DXX為對角陣。

3.互協(xié)方差陣對于兩組觀測向量和,若記其數(shù)學(xué)期望為其中上式包含四個分塊矩陣DXY是觀測向量X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣當DXY=0時,X,Y是相互獨立的觀測向量。二、準確度

準確度的概念:又名準度,是指隨機變量的真值與其數(shù)學(xué)期望之差。準確度表征了觀測結(jié)果中系統(tǒng)誤差的大小程度。當無系統(tǒng)誤差時此時無系統(tǒng)誤差

三、精確度

精確度的概念:是指觀測結(jié)果與其真值得接近程度,精確度是全面衡量觀測質(zhì)量的指標,當不存在系統(tǒng)誤差時,就是精度。精確度的衡量指標為均方誤差,其定義為:

所以

偶然誤差大,沒有明顯的系統(tǒng)誤差;精度低,準確度高偶然誤差小,有明顯的系統(tǒng)誤差;精度高,準確度低偶然誤差小,系統(tǒng)誤差小;精度高,準確度高,即精確度高第五節(jié)測量不確定度測量數(shù)據(jù)的不確定性是指一種廣義的誤差,它即包含系統(tǒng)誤差和粗差,也包含數(shù)值和概念上的誤差以及可度量和不可度量的誤差。數(shù)據(jù)誤差的隨機性和數(shù)據(jù)概念上的不完整性及模糊性,都可以視為不確定性問題。測量不確定度是與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù),用于表征合理地賦予被測量值的分散性,是不確定性度量指標。不確定度是一個表示測量結(jié)果中用于說明測得值所處范圍的一個參數(shù)。它意味著對測量結(jié)果的正確性或準確度的可疑程度,是用于表達測量結(jié)果的質(zhì)量優(yōu)劣的一個指標。由于不確定度是一個表示范圍的參

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