工力B第8章桿件的扭轉(zhuǎn)

DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第八章

桿件的扭轉(zhuǎn)本章介紹扭轉(zhuǎn)的概念軸的扭力矩、扭矩和扭矩圖切應(yīng)力互等定理、剪切胡克定律圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件實(shí)例對稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽§8-1扭轉(zhuǎn)的概念實(shí)例傳動(dòng)軸汽車傳動(dòng)軸實(shí)例MM受力特征:外力偶作用在垂直于軸線的平面內(nèi)。變形特征:兩個(gè)橫截面之間繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為扭轉(zhuǎn)角；縱向線傾斜一個(gè)角度，稱為剪切角(或稱剪應(yīng)變)。扭轉(zhuǎn)的概念MM使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶稱為扭力偶，扭力偶的矩稱為扭力矩。（Me，kN.m）承受扭矩并通過扭轉(zhuǎn)傳遞力的桿件稱為軸。扭轉(zhuǎn)的概念1.扭力矩的計(jì)算§8-2軸的扭力矩、扭矩及扭矩圖切線方向的力F產(chǎn)生力偶矩Me=FR皮帶的拉力F1和F2產(chǎn)生力偶矩.若

F2>F1則

Me=(F2-F1)D/2皮帶輪或鏈條作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩Me=FtR齒輪功率P(kW或HP)標(biāo)示牌顯示旋轉(zhuǎn)速度n(r/min)由轉(zhuǎn)速和功率計(jì)算扭力矩MeMeMenT軸受外力偶矩作用時(shí)，將在橫截面上產(chǎn)生分布剪應(yīng)力，分布剪應(yīng)力對質(zhì)心的合力矩也是一個(gè)力偶矩，通常稱為扭矩，以

T(或

Mx)表示。單位kN.m。2.軸的扭矩T=Me扭矩T的正負(fù)約定:++3扭矩圖

坐標(biāo)(x,T)用來表示沿軸線方向的扭矩變化.

x

表示橫截面的位置.T表示扭矩的大小.我們可以畫出扭矩圖。例8-1

傳動(dòng)軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速n=300r/min;驅(qū)動(dòng)功率P1=500kW,被驅(qū)動(dòng)齒輪功率分別為P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.請畫出軸的扭矩圖.

首先計(jì)算各齒輪所受的外力偶矩.解:M1

M2

M3

M4

BCADM1

M2

M3

M4

BCAD計(jì)算各段上的扭矩22113311M2BxT1BM2

CM3

22xT2x33DT3M4

畫扭矩圖Tmax=9.56kN·m

,位于CA段上.4.789.566.37T(kN·m)221133M1

M2

M3

M4

BCAD畫扭矩圖Tmax=15.9kN·m

,位于AD段上.221133BCADM1

M3

M2

M4

4.789.5615.9T(kN·m)1.薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)lRtR—平均半徑t

(或δ)—筒壁厚度薄壁t<<2R通常t≤R/10薄壁圓管§8-3切應(yīng)力互等定理、剪切胡克定律(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)(2)圓周線的大小和間距不變(3)各縱線傾斜同一角度(4)矩形網(wǎng)格變?yōu)槠叫兴倪呅巫冃维F(xiàn)象：薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)近似認(rèn)為管內(nèi)變形與管表面變形相同C’D’ABDCgr0單元體–

微小六面體微體只產(chǎn)生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同。橫截面上只存在垂直于半徑的剪應(yīng)力，沿圓周大小不變，沿壁厚均勻分布。扭矩等于剪應(yīng)力的合力矩

T=(2πRt)τRτ=T/(2πR2t)r0切應(yīng)力的計(jì)算xyz自動(dòng)滿足ttt’t’dydxdz2.切應(yīng)力互等定理根據(jù)平衡條件于是得到這就是切應(yīng)力互等定理.切應(yīng)力互等定理:ttt’t’

在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且大小相等，并都垂直于兩個(gè)平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線.純剪切狀態(tài)–

單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。思考已知單元體上、下兩個(gè)面上的剪應(yīng)力，以下各圖中所畫的其他面上的剪應(yīng)力，哪個(gè)圖是正確的？ABCD切應(yīng)變扭轉(zhuǎn)角切應(yīng)變gC’D’ABDCg3.剪切胡克定律MM剪切胡克定律塑性材料的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)表明，扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與拉伸時(shí)相同當(dāng)τ≤τp(彈性范圍內(nèi)),

τ=G剪切胡克定律G—剪切彈性模量.它與τ(Pa,通常使用GPa)具有相同的量綱.G,E和m都是材料的彈性常量，但它們中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們之間的關(guān)系是剪切胡克定律變形現(xiàn)象1任意兩圓周線之間的距離保持不變.2縱線變?yōu)樾本€.3圓周線的形狀和大小沒有任何改變4徑向直線仍然保持為直線.TT§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形1.實(shí)心圓軸橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，大小和形狀不變，半徑仍保持為直線，且相鄰橫截面間的距離保持不變.平面假設(shè)推論1.橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力.(桿件的長度不變.)2.橫截面上產(chǎn)生剪應(yīng)力.(縱向線變?yōu)樾本€，橫截面關(guān)于縱軸扭轉(zhuǎn).)3.剪應(yīng)力的分布不是均勻分布.理論分析與拉壓桿問題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問題的載荷和變形都要復(fù)雜一些，因此理論分析必須包含三類條件。三類條件變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系(1)變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系單位長度的扭轉(zhuǎn)角由我們注意到因此圓軸橫截面上的切應(yīng)變沿半徑ρ方向線性變化，在圓心處為零，在外表面達(dá)到最大值。(2)物理關(guān)系O已知剪切胡克定律物理關(guān)系(3)靜力關(guān)系極慣性矩GIP—抗扭剛度T扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的表達(dá)式Wt——

扭轉(zhuǎn)截面模量TTD實(shí)心圓截面空心圓截面OdrrDdrrOd2.圓截面軸的扭轉(zhuǎn)變形-扭轉(zhuǎn)角j如前所述，已知因此，單元長度dx上的微分扭轉(zhuǎn)角為

gMe

Me

jdjgD'MxMxO1O2ababdxDA對于僅在兩端受外力偶矩作用的圓截面軸扭轉(zhuǎn)剛度整個(gè)軸長l上的扭轉(zhuǎn)角為(單位：rad)gMe

Me

j例8-2

如圖所示，一直徑為d的實(shí)心圓軸和另一外徑為內(nèi)徑2倍的空心圓軸（外徑為d1）受相同的扭矩T作用，為使兩根軸的最大切應(yīng)力相等，問空心圓軸截面的面積應(yīng)為實(shí)心圓軸截面面積的百分之多少？Tdd1d1/2TTd1.實(shí)心圓軸的最大切應(yīng)力.解:2.空心圓軸的最大切應(yīng)力.d1d1/2T欲使即解得空心圓軸截面面積兩圓軸截面面積之比在同等扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度的條件下，空心圓軸截面面積只有實(shí)心圓軸截面面積的78.18%，所以空心圓軸較為合理。例8-3

如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩T作用。外套管的外半徑為r1，切變模量為G1，內(nèi)圓軸的半徑為r2，切變模量為G2，設(shè)兩層材料的界面緊密結(jié)合不會(huì)相對錯(cuò)動(dòng)，求兩種材料橫截面上的最大切應(yīng)力。lr1r2TTlr1r2TTT1T2由靜力關(guān)系解:界面不發(fā)生錯(cuò)動(dòng)由軸的變形公式（a）（b）（c）（d）將(c)式代入(b)可得聯(lián)立求解(a)式和(d)式可得由最大切應(yīng)力公式有其中對于等截面圓軸:強(qiáng)度分析的三類問題(1)校核強(qiáng)度(2)設(shè)計(jì)橫截面直徑(3)計(jì)算許用扭矩1.強(qiáng)度條件§8-5圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件2.剛度條件對于等截面圓桿對于精密機(jī)械上的軸對于一般傳動(dòng)軸單位:/m12345Me1Me2Me3Me4Me5例8-4

如圖所示傳動(dòng)軸，已知其轉(zhuǎn)速n=200r/min，主動(dòng)輪2傳遞的功率為N2=80馬力，其余從動(dòng)輪傳遞的功率分別為N1=25馬力、N3=15馬力、N4=30馬力及N5=10馬力。若材料的許用切應(yīng)力[t]=20MPa，單位長度容許扭轉(zhuǎn)角[q]=0.5o/m，切變模量G=8.2×104MPa，試確定此軸的直徑.ⅠⅡⅢⅣ1.計(jì)算扭力矩.解:n=200r/min，N1=25馬力、N2=80馬力、N3=15馬力、N4=30馬力、N5=10馬力Me2ⅠⅡMe1x12Me1Ⅰ1TⅠTⅡx5Me5ⅣxTⅣ2.計(jì)算各段任意截面上的扭矩.TⅢ5