全國2002年4月高等教育自學(xué)考試復(fù)變函數(shù)與積分變換試題課程代碼02199

0219902199復(fù)變函數(shù)與積分變換 第頁共7頁02i9902i99復(fù)變函數(shù)與積分變換 第4頁共7頁.計算積分I=o~dz的值，其中C為正向圓周|z|=2.C|z|z2.試求函數(shù)f(z尸 ed在點z=0處的泰勒級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域 .0z.計算積分1=0 e ^dz的值，其中C為正向圓周區(qū)1|=3.C(zi)(z3i)四、綜合題(下列3個題中，35題必做，36、37題中只選做一題，需考《積分變換》者做37題，其他考生做36題，兩題都做者按37題給分。每題10分，共20分)。.利用留數(shù)求積分I=4cos;一dx的值.0x10x 9.設(shè)Z平面上的區(qū)域為D：|z+i|>22,|z-i|<亞，試求下列保角映射：wi=fi(z)把D映射成Wi平面上的角形域Di：—<argwi<—;4 4W2=f2(wi)把Di映射成W2平面上的第一象限D(zhuǎn)2：0<argW2<-；W=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面G:Imw>0;w=f(z)把D映射成G..積分變換⑴設(shè)網(wǎng)田G")三夕U2L◎是一個實數(shù).證明:(2)利用拉氏變換解常微分方程初值問題:(2)利用拉氏變換解常微分方程初值問題:y2yyi,y(0)0,y(0)i.全國2002年4月高等教育自學(xué)考試

復(fù)變函數(shù)與積分變換試題參考答案課程代碼：02i99、單項選擇題(本大題共20小題，每小題2分，共40分)i.B2.D3.C4.A5.A6.B7.A8.D9.Ci0.Aii.Di2.Ci3.Bi4.Bi5.Ci6.Di7.Bi8.Di9.A20.C二、填空題(本大題共i0空，每空2分共20分)80iz=0

z=1(1i*5),或e)24i2(i)2——i,或2i—cos一TOC\o"1-5"\h\z3 3 3e6三、計算題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)“u u解1: 一2x2y,一2x2y,x y由C-R條件，有_v_u,_v _u,yxxyv—dy

y2 ,v—dy

y(2x2y)dy2xyy(x).再由‘2y

x(x)2x2y—,y得(x) 2x,于是(x)x2C,v=2xy+y2-x2+C.由v(0,0)=1,得C=1.故v=2xy+y2-x2+1.(x,y)vv解2：v(x,y)= dx—dyC(0,0)xy(x,y)TOC\o"1-5"\h\z= (2y 2x)dx (2x 2y)dy C(0,0)=-x2+2xy+y2+C以下同解1.zz 12cos2i(cosisin)d解1:o dz一口2Rezdz2cos2i(cosisin)dc|z| 2c=4i(1cos2)d4i.077 29pi 9pi解2： ——dz B2ieidc|z||z| 0 2 2=2i(2兀+0)=4兀i.-2 2n nc一解：因為f/(z)=e= (一)— L1-z2nCn!Cn!n0 n0所以由哥級數(shù)在收斂圓內(nèi)逐項求積性質(zhì)，得zf(z)=0zf(z)=0f()dn2n1(1)zn0n! 2n 1(|z|34.解:因在C34.解:因在C內(nèi)f億戶2 2(zi)(z3i)有二階極點z=i,所以2id2；Cf(Z)dZ/Z叫瓦(zi)f(z)]=2ilim[zi(zze~、23i)2ez' ~、3](z3i)=——（16四、綜合題（下列3題，其它考生做i).個題中，35題必做,36題，兩題都做者按36、37題選做一題，需考《積分變換》者做37題給分。每小題10=2ilim[zi(zze~、23i)2ez' ~、3](z3i)=——（16四、綜合題（下列3題，其它考生做i).個題中，35題必做,36題，兩題都做者按36、37題選做一題，需考《積分變換》者做37題給分。每小題10分，共20分)3735.解：在上半平面內(nèi),iz

e

f(z)=- 2(z1)(z有一階極點z=i和z=3i.9)cosx,2 2dx(x1)(x 9)Reix

e2 2(x1)(x—dx9)1=Re{2iRes[f(z),i]22Res[f(z),3i]},. 1ReS[f(Z),i]=總Res[f(z),3i]=948e3i2I3(3e21).48e336.解：（1）由|z|zi|2-r、，一 解得父點zi=1,Z2=-1.i|2設(shè)W1=-1-，則它把D映射成Wi平面上的Di:—argw14(2)i-設(shè)W2=e4Wi,則它把Di映射成W2平面上的第一象限 D2：0argW2-(3)設(shè)w=w2,(3)設(shè)w=w2,則它把D2映射成W平面的上半平面G:Imw>0.i(7i(72.z1(4)/i4z1、2w=(e4 )(4)z137.解 八--r)dr]= -0)??、?ft/U-夕[/<)]H?！?皿)62)一《打破F”)=W%U)],對方程兩邊取拉氏變換，有p*F(p)+I-2pF(p)+■F(p)=工?

P從中解用f(ns