帶摩擦的平衡問題

3.5

考慮有摩擦?xí)r

物體的平衡問題

ProblemsInvolvingFriction考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題聯(lián)軸器考慮摩擦?xí)r的平衡問題摩擦的微觀機(jī)理考慮摩擦?xí)r的平衡問題摩擦的微觀機(jī)理考慮摩擦?xí)r的平衡問題FPWFFNFFPO45°FmaxFd運動狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)庫侖定律Coulomb’sTheory靜止?fàn)顟B(tài)Staticcase臨界狀態(tài)Caseofimpendingsliding—F＝Fmax=fsFN運動狀態(tài)Dynamiccase—F＝Fd；—F＝FP≤Fmax；§3-4考慮摩擦的平衡問題一、摩擦及其分類摩擦力當(dāng)兩個物體沿接觸面公切線方向有相對運動或相對運動趨勢時，在接觸面間產(chǎn)生阻礙運動的力（阻力）。產(chǎn)生摩擦的原因①接觸面間的凹凸不平；②接觸面間的分子吸引力。摩擦產(chǎn)生的機(jī)理屬固體物理研究內(nèi)容，理力中僅研究摩擦的力學(xué)效應(yīng)。研究摩擦的目的①克服（或減少）摩擦；②利用摩擦。方法：提高零件表面光潔度、加潤滑油等。如：皮帶傳動、摩擦制動裝置等。摩擦的分類①按兩物體的相對運動形式分，有②按兩物體間有無相對運動分，有①滑動摩擦；②滾動摩擦。①靜摩擦；②動摩擦。本書主要討論靜滑動摩擦，重點為：具有摩擦的平衡問題。粗糙面二、靜摩擦力及其性質(zhì)滑動摩擦現(xiàn)象PFNPFNFTF(1)當(dāng)FT=0，則F=0。（平衡）(2)當(dāng)0<FT<FT1（FT1為某臨界值）時，物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。FTF由平衡條件得：(3)當(dāng)FT>FT1時，物體處于運動狀態(tài)（不平衡）。靜摩擦力：物體僅有相對滑動趨勢時，在接觸面間產(chǎn)生的摩擦力。靜摩擦力的性質(zhì)F存在一個最大值Fmax。（1）靜摩擦力的大小具有一定范圍，即：——此時F由平衡條件決定（同約束反力）。（2）靜摩擦力的方向：與相對運動趨勢方向相反（沿接觸處的公切線）。（3）Fmax由庫侖靜摩擦定律確定：（3—17）Fmax——稱為最大靜摩擦力；fs——靜摩擦因素（無量綱系數(shù)）；FN——為法向壓力。

fs的物理意義：表示單位正壓力所能產(chǎn)生的摩擦力。fs

僅與接觸面的材料性質(zhì)、表面狀況、濕度、溫度等有關(guān)。fs值需由實驗測定。靜摩擦因素現(xiàn)場測量方法之一思考題：兩面具有摩擦，F(xiàn)=12.5N問：當(dāng)

F=30N時，物塊與夾板間的摩擦力多大？答案：10NMFF?NFF?答案：Fmin=25N三、摩擦角與自鎖現(xiàn)象摩擦角(AngleofFriction)全反力FR：摩擦力與法向壓力的合力?！硎救戳R與法向反力FN的夾角。隨摩擦力F的增加而增加。當(dāng)F=Fmax時，全反力FR與接觸面法線方向的最大夾角——稱為摩擦角，用符號表示。即：摩擦角的正切等于靜摩擦因素。主動合力的作用線自鎖現(xiàn)象由于全反力FR只能在摩擦角范圍內(nèi)變化，所以只要主動力合力的作用線在摩擦角范內(nèi)，不管主動力大小如何，都能平衡，這種現(xiàn)象叫自鎖(Self-lock)

。fAFRAFR自鎖條件：≤f如：（1）斜面自鎖條件自鎖現(xiàn)象由于全反力FR只能在摩擦角范圍內(nèi)變化，所以只要主動力合力的作用線在摩擦角范內(nèi)，不管主動力大小如何，都能平衡，這種現(xiàn)象叫自鎖。又如：（2）斜面自鎖條件的應(yīng)用自鎖現(xiàn)象由于全反力FR只能在摩擦角范圍內(nèi)變化，所以只要主動力合力的作用線在摩擦角范內(nèi)，不管主動大小如何，都能平衡，這種現(xiàn)象叫自鎖。四、動滑動摩擦力當(dāng)兩接觸面有相對滑動時，接觸面間摩擦力——稱為動滑動摩擦力。（3—18）f——動摩擦因素，由實驗測定?！獛靵鰟幽Σ炼梢话阌校篺s<f。滑動摩擦力變化曲線注：動滑動摩擦力是一個值，而不是一個變化范圍。五、具有摩擦的平衡問題特點及其求解特點：（1）受力分析時，需分析摩擦力F（方向）。F方向與相對運動趨勢方向相反

（2）臨界平衡時，除滿足平衡條件外，還需滿足摩擦的物理條件：（3）解答是以不等式表示的平衡范圍，而不是一個值。（通常先求臨界狀態(tài)時的兩個極限值，所求范圍即為兩個極限值之間。）1例：解：重量為P的物塊放在固定斜面上，斜面的傾角為α。已知：物塊與斜面間的摩擦因素為

fs(摩擦角為)，且。為使物體在斜面上保持靜止，在其上作用一水平力F，如圖所示。試求力F

的大小。分析：當(dāng)F較小時，物塊將有向下的滑動趨勢。當(dāng)F較大時，物塊將有向上的滑動趨勢。（1）當(dāng)具有向下滑動趨勢時，并處于臨界平衡狀態(tài)。FNF1minxymax(1)(2)摩擦的物理條件：(3)由(1)、(2)、(3)求得：(4)或利用(5)（2）當(dāng)具有向上滑動趨勢時，并處于臨界平衡狀態(tài)。11FNFmaxmaxxy(6)(7)摩擦的物理條件：(8)由(6)、(7)、(8)求得：(9)或利用(10)綜合式（5）、（10）得，F(xiàn)1的值在下列范圍時，物塊可靜止在斜面上。(11)說明與討論：（1）當(dāng)，F(xiàn)1max為負(fù)值，說明無需F1物塊也能平衡，即產(chǎn)生自鎖現(xiàn)象。（2）兩種情況下的FN與Fmax是不同的。（3）利用摩擦角的概念，結(jié)合幾何作圖法求解。解法二、——幾何法11FNminFmax（1）當(dāng)具有向下滑動趨勢，并處于臨界平衡狀態(tài)時P、F1min、FR構(gòu)成一匯交力系。作力多邊形（力三角形），得PFRF1minα（2）當(dāng)具有向上滑動趨勢，并處于臨界平衡狀態(tài)時1FNmaxFmaxFRP、F1max、FR構(gòu)成一匯交力系。作力多邊形（力三角形），得PFRF1maxα綜合上述結(jié)果，得例：解：梯子AB靠在墻上，與水平面成θ角。梯子長AB=l，重量可略去，如圖所示。已知梯子與地面、墻面間的靜擦因素為fsA，fsB。重量為P的人沿梯上登，他在梯上的位置C不能過高，即距離AC=s，如超過一定限度，則梯子即將滑倒。試求s的范圍。梯子AB——研究對象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)臨界平衡時有：(4)(5)解上述5個方程，得(6)所求s值為(7)設(shè)θ=60°，fsA=0.4，fsB=0.2則：smax=0.7156l。討論：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(6)repeat（1）當(dāng)時，即：，此時有（2）當(dāng)fsB=0，即墻面為光滑時，由式（6）得但當(dāng)fsA=0，即地面為光滑時，由式（6）得此時人無法登上梯子。例：解：已知：F1=20kN，F(xiàn)2=20kN，fsA=fsB=0.3，如圖所示。試問圓柱是否運動？問題：A，B處摩擦力是否達(dá)到最大值Fmax？（1）桿OA——研究對象F1FOxFOyFANFA（2）圓輪C——研究對象xy（3）與極限摩擦力比較顯然有：所以圓柱C靜止。（其中，r為輪的半徑）思路：先假定平衡，求出FA、FB，再與Fmax比較。例：解：已知：F1=20kN，F(xiàn)2=25kN，fsA=fsB=0.3，且圓柱重P=10kN，如圖所示。試問此時圓柱是否運動？先假定圓柱平衡（1）桿OA——研究對象F1FOxFOyFANFA（2）圓輪C——研究對象xyP（3）與極限摩擦力比較比較有：所以圓柱在A點可動

，而在B點不可運動。（其中，r為輪的半徑）輪子的這種運動稱為純滾動，純滾動時接觸點的摩擦力為靜摩擦力。例：解：已知搖臂重P，與立柱間的摩擦因素fs=012，L=450mm，試求搖臂不致卡住時的高度h。（1）搖臂和立柱之間有間隙，在P的作用下只能有兩點接觸（A、B）。（2）搖臂不致卡住的力學(xué)意義。搖臂

——研究對象（先假定搖臂平衡）FNAFNBFAFBxy（1）（2）——（3）將（2）代入（3）得摩擦平衡的物理條件：（4）（5）將（5）和（1）代入（4）得要使搖臂不被卡住的

h值為：例：解：已知搖臂重P，與立柱間的摩擦因素fs=012，L=450mm，試求搖臂不致卡住時的高度h。搖臂

——研究對象（先假定搖臂平衡）FNAFNBFAFBxy所以，要使搖臂不被卡住的

h值為：靜力學(xué)

解：①作法線AH和BH

②作A,B點的摩擦角j

交E,G兩點 ③E,G兩點間的水平距離l為人的活動范圍 [練習(xí)4]水平梯子放在直角V形槽內(nèi)，略去梯重，梯子與兩個斜面間的摩擦系數(shù)（摩擦角均為j），如人在梯子上走動，試分析不使梯子滑動，人的活動應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)？l30靜力學(xué)所以人在AC和BD段活動都不能滿足三力平衡必匯交的原理，只有在CD段活動時，才能滿足三力平衡必匯交，能交上（有交點）證明：由幾何關(guān)系31ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′解:(1)取AB桿為研究對象設(shè)C處達(dá)到臨界狀態(tài)，則有：解得：FNC=100N，F(xiàn)C=40N(2)取輪為研究對象已知：P=100N，F(xiàn)B=50N，fc=0.4，

求：(1)若fD=0.3，

輪心O的水平推力Fmin=60°，AC=CB=l/2，

r。

(2)若fD=0.15，

輪心O的水平推力Fmin例題7ACBFBFAxFAyFNCFC設(shè)C處達(dá)到臨界狀態(tài)，則有：解得：FNC=100N，F(xiàn)C=40N(2)取輪為研究對象oDFPFDFNDFC′FNC′解得：FD=40N，F(xiàn)=26.6N，F(xiàn)ND=184.6N由于FD﹤FDmax，D處無滑動，上述假定正確(3)當(dāng)fD=0.15時因FD﹥Fdmax

故應(yīng)設(shè)D處達(dá)到臨界狀態(tài)補(bǔ)充方程：解得：FD=FC=25.86N，F(xiàn)=47.81N故上述假定正確?如何求得系統(tǒng)平衡時FmaxACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′思考題：重量均為P

的小球A、B用一不計重量的桿連結(jié)。放置在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)為

fs

，一水平力F作用于A球，系統(tǒng)平衡時Fmax。30°ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：（1）取小球A為研究對象（2）取小球B為研究對象思考題：均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長l，置于粗糙的水平面上，兩者間的靜摩擦系數(shù)為fs?，F(xiàn)在桿的一端施加與桿垂直的力F，試求使桿處于平衡時的Fmax。設(shè)桿的高度忽略不計。xOFABl解：取桿AB為研究對象SampleProblem8 ThemaninFig(a)istryingtomoveapackingcrateacrossthefloorbyapplyingahorizontalforceP.

Thecenterofgravityofthe250-Ncrateislocatedatitsgeometriccenter.DoesthecratemoveifP=60N?Thecoefficientofstaticfictionbetweenthecrateandtheflooris0.3.Solution

Theproblemstatementdoesnotspecifyimpendingmotion.Todetermineifthecratemovesfortheconditionsstated,wefirstassumeequilibriumandthenchecktheassumption.However,thecheckmustanswertwoquestions----doesthecrateslideand(2)doesthecratetip?

Thefree-bodydiagramofthecrateisshowninFig.(b).Iftheblockisassumedtoremaininequilibrium,thethreeequilibriumequationscanbeusedtocalculatethethreeunknowns:thenormalforceN1,thefrictionforceF1,andthedistancexlocatingthelineofactionofN1,asshowninthefollowing.AssumeEquilibrium

WhichgivesCheck

Thelargestpossiblevalueforxis0.3m(halfthewidthofthecrate)Becausex=0.216m,asobtainedfromequilibriumanalysis,issmallerthanthat,weconcludethattheblockwillnottip.ThelimitingstaticfrictionforceisCratewillnotmovewhenP=60N.whichislargerthantheforceF1=60Nthatisrequiredforequilibrium.Wethereforeconcludethatthecratewillnotslide.-----------Answer

SampleProblem7.9 CalculatetheforcePrequiredto