可靠性試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理

可靠性試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理方法東北大學(xué)孫志禮可靠性試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理方法

可靠性試驗(yàn)及分類(lèi)

分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)

指數(shù)分布的分析法

正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法

威布爾分布的分析法一、可靠性試驗(yàn)及分類(lèi)可靠性試驗(yàn)就是為了提高和證實(shí)產(chǎn)品的可靠性水平而進(jìn)行的各種試驗(yàn)的總稱(chēng)

可靠性試驗(yàn)是為了獲得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，所用時(shí)間較長(zhǎng)、所花的費(fèi)用較大。但從提高和保證產(chǎn)品的質(zhì)量角度來(lái)講是值得的，費(fèi)效比是較高的。壽命試驗(yàn)是可靠性試驗(yàn)的重要組成部分，是評(píng)價(jià)、分析產(chǎn)品壽命可靠性特征量所進(jìn)行的試驗(yàn)。下面列出幾種壽命試驗(yàn)的分類(lèi)

按試驗(yàn)場(chǎng)所分：現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)兩種。現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)是產(chǎn)品在使用條件下觀測(cè)到的壽命數(shù)據(jù)。最能說(shuō)明產(chǎn)品的可靠性水平，是最終的客觀標(biāo)準(zhǔn)。，收集現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)重要。但會(huì)遇到很多困難，需要的時(shí)間較長(zhǎng)、工作情況難以一致，要有詳細(xì)的產(chǎn)品使用記錄，很難獲得比較準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)是模擬現(xiàn)場(chǎng)情況的試驗(yàn)。它將現(xiàn)場(chǎng)重要的應(yīng)力條件搬到實(shí)驗(yàn)室，并加以人工控制。還可設(shè)法縮短試驗(yàn)時(shí)間以加速取得試驗(yàn)結(jié)果

一、可靠性試驗(yàn)及分類(lèi)按試驗(yàn)截止情況分：分為全數(shù)試驗(yàn)和截尾試驗(yàn)兩種全數(shù)試驗(yàn)是當(dāng)試樣全部失效才停止的試驗(yàn)這種試驗(yàn)方式可獲得較完整的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果也較好。但這種試驗(yàn)所需時(shí)間較長(zhǎng)，有時(shí)甚至難以實(shí)現(xiàn)一、可靠性試驗(yàn)及分類(lèi)截尾試驗(yàn)又可分為定數(shù)和定時(shí)截尾試驗(yàn)兩種定數(shù)截尾試驗(yàn)就是試驗(yàn)到規(guī)定的失效數(shù)即停止的試驗(yàn)定時(shí)截尾試驗(yàn)就是試驗(yàn)到規(guī)定的時(shí)間，此時(shí)不管試樣失效多少都停止的試驗(yàn)根據(jù)試驗(yàn)中試樣失效后是否用新試樣替換繼續(xù)試驗(yàn)，還可分為有替換和無(wú)替換兩種一、可靠性試驗(yàn)及分類(lèi)一般可歸納為如下四種試驗(yàn)：⑴有替換定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)；⑵有替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)；⑶無(wú)替換定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)；⑷無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)。全數(shù)壽命試驗(yàn)也可看成是截尾數(shù)是n的無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)。此外，尚有分組最小壽命試驗(yàn)、序貫壽命試驗(yàn)、有中止的壽命試驗(yàn)等一、可靠性試驗(yàn)及分類(lèi)二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類(lèi)型的判斷有理論法和統(tǒng)計(jì)法兩種理論法是根據(jù)失效機(jī)理制定的數(shù)學(xué)模型或根據(jù)某種分布的性質(zhì)推導(dǎo)出來(lái)的例如，失效率為常數(shù)的壽命分布為指數(shù)分布；失效由“最弱”環(huán)節(jié)決定的壽命分布為極值分布；受很多獨(dú)立隨機(jī)因素和的影響，且沒(méi)有一個(gè)因素起主導(dǎo)作用，這種分布為正態(tài)分布等。統(tǒng)計(jì)法是根據(jù)大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)求得的。很多同類(lèi)性能在以往大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上已經(jīng)驗(yàn)證了其分布例如，幾何尺寸、材料性能、硬度等多服從正態(tài)分布；金屬的疲勞壽命則服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布或威布爾分布等下面僅介紹統(tǒng)計(jì)法在使用統(tǒng)計(jì)法時(shí)：對(duì)分布不明的情況應(yīng)做大樣本的試驗(yàn)以判定其分布類(lèi)型；對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)參考的情況則可做較小樣本的試驗(yàn)，假設(shè)其分布類(lèi)型再進(jìn)行相應(yīng)的擬合性檢驗(yàn)

下面給出通用的檢驗(yàn)法和K-S檢驗(yàn)法。二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)法一般只用于大樣本

計(jì)算理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)間的差異，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值與臨界值滿足下列條件，接受原假設(shè)；否則，拒絕原假設(shè)

比較二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)式中n——樣本大小k——分組數(shù)，按樣本大小宜?。耄剑贰保?/p>

νｉ——第ｉ組的實(shí)際頻數(shù)，νｉ≥５

ｐｉ——第ｉ組的理論頻數(shù)（概率）

ｍ——未知參數(shù)的數(shù)目

α——顯著性水平——臨界值，查表二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)例1：220個(gè)某產(chǎn)品的失效時(shí)間記錄列于表中。試檢驗(yàn)該產(chǎn)品的壽命是否服從指數(shù)分布。

某產(chǎn)品失效時(shí)間的數(shù)據(jù)記錄時(shí)間t/h0~100~200~300~400~500~600~700~800~900失效數(shù)ri3950353228181242二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)解假設(shè)該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)λ未知。取組中值作為該組時(shí)間的代表值ti,則λ的點(diǎn)估計(jì)

h

1/h二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0：為了使用首先按規(guī)定分組。由于每組中實(shí)際頻數(shù)不宜少于5，故將前7段時(shí)間各作為一組，最后兩段時(shí)間合為一組。總計(jì)組數(shù)k=8，正好在7~14范圍內(nèi)

檢驗(yàn)法二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)表2-2例2-1的列表計(jì)算組號(hào)inpi=220piνi

-npi123456783950353228181260.28270.20550.14610.10390.07380.05250.03730.091762.19445.21032.14022.85816.23611.5508.20620.174-23.1944.7902.8609.14211.7646.4503.794-14.174537.96222.9448.18083.576138.39241.60314.394200.908.6500.5070.2543.6568.5243.6021.7549.958∑36.905二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)取顯著性水平，由查表由于故拒絕原假設(shè)，既不能認(rèn)為該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布。K-S檢驗(yàn)法（亦稱(chēng)d檢驗(yàn)法）適用于小樣本的情況

K-S檢驗(yàn)法要求所檢驗(yàn)的分布中不含未知參數(shù)。當(dāng)指定分布中含有未知參數(shù)時(shí)，對(duì)某些分布應(yīng)該用專(zhuān)門(mén)的臨界值表二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)K-S檢驗(yàn)法是將n個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)由小到大的次序排列。根據(jù)假設(shè)的分布，計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的F0(xi)，將其與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(xi）相比較。其中，差的最大絕對(duì)值就是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn的觀測(cè)值。將Dn與臨界值Dn,α比較。滿足下列條件，接受原假設(shè)；否則，拒絕原假設(shè)F0（x）——原假設(shè)的分布函數(shù)；Fn（x）——經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)——臨界值，查表

二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)例2某合金9個(gè)試件測(cè)得的強(qiáng)度極限為453，436，429，419，405，416，432，423，440N/mm2。檢驗(yàn)該合金的強(qiáng)度極限是否服從均值μ=28N/mm2，標(biāo)準(zhǔn)差σ=15N/mm2的正態(tài)分布。二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)解令該合金的強(qiáng)度極限σb=X，將數(shù)據(jù)按由小到大次序排列。假設(shè)X服從正態(tài)分布，分布函數(shù)式中的查表。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表

由上述中計(jì)算結(jié)果知，Dn的觀測(cè)值按前式求二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)取顯著性水平α=0.10，由表2-3查得由于故接受原假設(shè)，即認(rèn)為該合金的強(qiáng)度極限服從μ=28N/mm2，σ=15N/mm2的正態(tài)分布二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)序號(hào)ixi14050.06300.0000.1110.030124160.21190.1110.2220.100934190.27430.2220.3330.058744230.37070.3330.4440.073354290.52790.4440.5560.083964320.60640.5560.6670.060674360.70910.6670.7780.076184400.78810.7780.8890.100994530.95250.8891.0000.0635二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)K-S檢驗(yàn)臨界值表0.200.100.050.020.0110.900000.950000.975000.990000.9950020.683770.776390.841890.900000.9292930.564810.636040.707600.784560.8290040.492650.565220.623940.688870.7342450.446980.509450.563280.627180.6685360.410370.467990.519260.577410.6166170.381480.436070.483420.538440.5758180.358310.409620.454270.506540.5417990.339100.387460.430010.479600.51332100.322600.368660.409250.456620.48893αn

回歸分析法：回歸分析法就是圖解分析法的解析。在直角坐標(biāo)紙上描得幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），．．．，（ｘn，yn），如圖2-1所示。按最小二乘原理確定直線二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)它反映出試驗(yàn)點(diǎn)散布狀態(tài)的一條最佳直線，稱(chēng)為回歸直線。斜率稱(chēng)為回歸系數(shù)，截距

為常數(shù)項(xiàng)。二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)各試驗(yàn)點(diǎn)是否在一直線上，即是否具有線性相關(guān)的關(guān)系，可用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。相關(guān)系數(shù)二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)，則認(rèn)為具有線性相關(guān)的關(guān)系。是顯著性水平為時(shí)的相關(guān)系數(shù)起碼值，查表。查表時(shí)取自由度

對(duì)于可靠性分析中常用的概率分布，其分布函數(shù)與自變量之間一般在直角坐標(biāo)上并不成線性關(guān)系，因此應(yīng)先進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q。幾種常用概率分布的變換關(guān)系列于下表中

二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)起碼值0.100.050.020.010.00150.66940.75450.83290.87450.950760.62150.70670.78870.83430.924970.58220.66640.74980.79770.898280.54940.63190.71550.76460.872190.52140.60210.68510.73480.8471100.49730.57600.65810.70790.8233αν名稱(chēng)yxBA指數(shù)分布tλ0威布爾分布k正態(tài)分布t對(duì)數(shù)正態(tài)分布lnt分布函數(shù)二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)在使用回歸分析法時(shí)，首先將試驗(yàn)獲得的n個(gè)數(shù)據(jù)按由小到達(dá)的次序排列，即t1<t2<…<tn，取中位秩作為各試驗(yàn)點(diǎn)相應(yīng)的分布函數(shù)，即假設(shè)一種分布，按上表進(jìn)行變換后即可用前式進(jìn)行計(jì)算。若相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)通過(guò)則接受原假設(shè)。估計(jì)得B、A后再按上表關(guān)系估計(jì)原分布函數(shù)的參數(shù)

二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)例3某合金材料在某應(yīng)力水平做疲勞壽命試驗(yàn)，10個(gè)試件的疲勞壽命分別為211，229，272，276，295，303，332，354，382，409千次。試進(jìn)行分布類(lèi)型的判斷并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。解一般金屬疲勞壽命多較好地服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，故先假設(shè)該材料疲勞壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。按表二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)序號(hào)Ni12115.3520.067-1.50028.6422.250-8.02822295.4340.162-0.98529.5250.970-5.35232725.6060.295-0.64531.4250.416-3.61642765.6200.356-0.37031.5890.137-2.08052955.6870.452-0.12032.3420.014-0.68263035.7140.5480.12032.6470.0140.68673325.8050.6440.37033.7000.1372.14883545.8690.7410.64534.4450.4163.78693825.9450.8380.98535.3480.9705.856104096.0140.9331.50036.1652.2509.02157.0460325.8287.5741.739二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表

相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)：

二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)由表，當(dāng)查得，故接受疲勞壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)

二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)估計(jì)分布參數(shù)μ和σ，由表2-6知：二、分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)三、指數(shù)分布的分析法擬合性檢驗(yàn)

這種檢驗(yàn)法適用于截尾試驗(yàn)、全數(shù)試驗(yàn)和有中止的試驗(yàn)

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量滿足下列條件則接受指數(shù)分布的假設(shè)，否則拒絕指數(shù)分布的假設(shè)三、指數(shù)分布的分析法

——總累積試驗(yàn)時(shí)間；——第ｋ（ｋ=1，2，．．．，ｒ）次失效時(shí)的累積試驗(yàn)時(shí)間t0——指定的定時(shí)截尾時(shí)間tr——指定的定數(shù)截尾時(shí)間

——顯著性水平；——自由度為２d的分布的分位數(shù)，查表

三、指數(shù)分布的分析法總累積的試驗(yàn)時(shí)間是所有投入試驗(yàn)的試樣（包括失效的、中止的、截尾未失效的）試驗(yàn)到規(guī)定時(shí)間的試驗(yàn)時(shí)間總和。當(dāng)開(kāi)始投入n個(gè)試樣同時(shí)試驗(yàn)，試驗(yàn)中有b個(gè)中止，中止時(shí)間為（j=1，2，．．．，ｂ）；有r個(gè)失效，失效時(shí)間為ｔi（i=1，2，．．．，r）。規(guī)定試驗(yàn)到t0停止試驗(yàn)，則試驗(yàn)總累積時(shí)間

三、指數(shù)分布的分析法無(wú)替換：有替換：第k次失效時(shí)的累積試驗(yàn)時(shí)間無(wú)替換：有替換：第k（k=1，2，．．．，r）個(gè)失效的時(shí)間三、指數(shù)分布的分析法例4抽取某產(chǎn)品10個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，失效5個(gè)即停止試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果為：76，143，152，275，326h。檢驗(yàn)該產(chǎn)品壽命是否服從指數(shù)分布。解假設(shè)該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布。這是無(wú)替換定數(shù)截尾、無(wú)中止的壽命試驗(yàn)?？偫鄯e試驗(yàn)時(shí)間三、指數(shù)分布的分析法第k次失效時(shí)的累積試驗(yàn)時(shí)間

三、指數(shù)分布的分析法本例

取顯著性水平α=0.10，由表查得滿足故接受原假設(shè)，即認(rèn)為該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布。三、指數(shù)分布的分析法參數(shù)估計(jì)和可靠度估計(jì)全數(shù)試驗(yàn)

截尾試驗(yàn)式中

——總累積試驗(yàn)時(shí)間r-——觀測(cè)失效數(shù)，當(dāng)r=0進(jìn)行λ的點(diǎn)估計(jì)時(shí)，建議取。三、指數(shù)分布的分析法區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)種類(lèi)定時(shí)截尾定數(shù)截尾

單側(cè)置信下限

雙側(cè)置信下限雙側(cè)置信上限三、指數(shù)分布的分析法參數(shù)λ的區(qū)間估計(jì)先由上表計(jì)算平均壽命的置信限

λ的置信下限

λ的置信上限可靠度的點(diǎn)估計(jì)可靠度的置信下限

三、指數(shù)分布的分析法例5

某產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，抽取11個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn)。在試驗(yàn)到500h式中止1個(gè)，900h時(shí)失效1個(gè)，其它試樣達(dá)到1000h均未失效即停止試驗(yàn)。求平均壽命、失效率及工作到100h時(shí)可靠度的點(diǎn)估計(jì)。若要求置信水平求平均壽命的單側(cè)置信下限、失效率的單側(cè)置信上限及工作到100h時(shí)可靠度的單測(cè)置信下限。三、指數(shù)分布的分析法解這是n=11，失效數(shù)r=1，中止數(shù)b=2，截尾時(shí)間t0=1000h的無(wú)替換定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)

總累積試驗(yàn)時(shí)間平均壽命的點(diǎn)估計(jì)失效率的點(diǎn)估計(jì)

三、指數(shù)分布的分析法t=100h時(shí)可靠度的點(diǎn)估計(jì)

由表查得

故平均壽命的單側(cè)置信下限失效率的單側(cè)置信上限

t=100h時(shí)可靠度的單側(cè)置信下限四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法擬合性檢驗(yàn)

假設(shè)

與K-S檢驗(yàn)法類(lèi)似，滿足下列條件則接受原假設(shè)，否則拒絕原假設(shè)

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法——臨界值，查表

0.200.150.100.050.0150.2850.2990.3150.3370.40580.2330.2440.2610.2850.331100.2150.2240.2390.2580.294150.1770.1870.2010.2200.257200.1600.1660.1740.1900.231300.1310.1360.1440.1610.187αn四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法例6

對(duì)某鋼材進(jìn)行靜強(qiáng)度試驗(yàn)，9個(gè)試件的強(qiáng)度極限按由小到大次序分別為625，650，656，659，661，662，663，668，672N/mm2。檢驗(yàn)該鋼材強(qiáng)度極限是否服從正態(tài)分布。

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法解假設(shè)該鋼材的強(qiáng)度極限服從正態(tài)分布。由于分布參數(shù)未知，故先進(jìn)行估計(jì)

=13.69四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法假設(shè)：列表計(jì)算

由計(jì)算結(jié)果知

取顯著性水平α=0.10

因?yàn)楣式邮茉僭O(shè)，即認(rèn)為該鋼材的強(qiáng)度極限服從正態(tài)分布

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法完全樣本的參數(shù)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)

區(qū)間估計(jì)α——顯著性水平，1—α為置信水平；n——樣本大??；ν——自由度。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，sx用σ代替，則ν=∞；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差為點(diǎn)估計(jì)sx，則ν=n—1；

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法ν——自由度。當(dāng)均值μ已知時(shí)，ν=n；當(dāng)μ未知時(shí)，ν=n—1。若隨機(jī)變量y服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即Y~Ln（μ，σ2），則lnY~N（μ，σ2），故取四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法截尾壽命試驗(yàn)的參數(shù)估計(jì)

極大似然估計(jì)

失效時(shí)間

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法式中

查表。四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法最佳線性無(wú)偏估計(jì)

式中n——樣本大小；r——失效數(shù)；j——壽命由小到大排列的次序；xj——第j個(gè)壽命值；——μ的最佳線性無(wú)偏估計(jì)系數(shù)——σ的最佳線性無(wú)偏估計(jì)系數(shù)四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)

式中nkr,n——系數(shù)查表

E（Yr,n）——系數(shù)，查表

其余同前四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法可靠壽命和可靠度的估計(jì)

指定可靠度R，可靠壽命的點(diǎn)估計(jì)

指定壽命x的可靠度R的點(diǎn)估計(jì)四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法指定可靠度RL的可靠壽命置信下限

zRγ——單側(cè)置信限系數(shù)，按指定的可靠度和置信水平由下式求取

zγ——按指定的置信水平查表

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法指定壽命xL的可靠度置信下限式中應(yīng)該指出，這里的x并不限于壽命，也可以是服從正態(tài)分布的其它特性值，例如材料的機(jī)械強(qiáng)度等

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法

極大似然估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布）0.010.100.300.500.700.900.990.020.1198030.1282830.1340060.1373230.1398330.1419190.1427660.040.1584280.1745150.1858090.1925420.1977370.2021280.2039290.060.1844410.2075840.2243590.2345880.2426120.2494890.252337r/nD

最佳線性無(wú)偏估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布）nrjC’(n,r,j)D’(n,r,j)nrjC’(n,r,j)D’(n,r,j)521-1.4971-0.7411751-0.43700.04655221.49711.7411752-0.19430.1072四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法

簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布）nrE(yr,n)nkr,nnrE(yr,n)nkr,n204-0.92101.6431355-1.112302.02138-0.31494.906510-0.60435.5602120.18709.669415-0.215110.2049160.745417.2531200.142816.2884250.520824.6235225-0.81532.2796300.997937.573110-0.16996.7158四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法

zR與可靠度R的關(guān)系（正態(tài)分布）R0.9100.9200.9300.9400.9500.9600.9700.9800.9900.9100zR1.2822.3263.0903.7194.6254.7535.1995.6125.9976.36R0.91100.91200.91300.91400.91500.91600.91700.91800.91900.9200zR6.707.037.347.657.948.228.498.759.019.26不同置信水平γ時(shí)的zγγ0.500.600.700.800.900.950.990.9950.999zγ0.000.25340.52440.84161.2821.6452.3262.5763.090四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法例

某鋼材的強(qiáng)度極限服從正態(tài)分布，11個(gè)試件測(cè)得的強(qiáng)度極限為608，622，630，638，642，648，652，660，673，688N/mm2。求均值和標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)和置信水平γ=80﹪的雙側(cè)置信限，失效概率為0.10時(shí)強(qiáng)度極限的點(diǎn)估計(jì)和置信水平為90﹪的單側(cè)置信下限。四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法解本例為完全樣本試驗(yàn)。均值μ的點(diǎn)估計(jì)，按式標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)，按式四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法均值的雙側(cè)置信限，按式并由表查得故得

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法標(biāo)準(zhǔn)差的雙側(cè)置信限，按式并由表查得故得

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法失效概率F=0.10的強(qiáng)度極限，可借用可靠壽命與可靠度的關(guān)系式。這時(shí)相當(dāng)于R=1-F=0.90時(shí)的強(qiáng)度極限。點(diǎn)估計(jì)可用式來(lái)求，并由R=0.90查表2-15得zR=1.28，故

四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法失效概率F=0.10，置信水平γ=90﹪強(qiáng)度極限的單側(cè)置信下限可用式來(lái)求，并由R=1-F=0.90查表得zRγ=2.01129，故五、威布爾分布的分析法擬合性檢驗(yàn)樣本大小為n，截尾壽命試驗(yàn)得t1≤t2≤···≤tr。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值式中即取括號(hào)內(nèi)整數(shù)部分E(zi)——查表中的E(zi，n)

五、威布爾分布的分析法滿足下式條件則接受兩參數(shù)威布爾分布的假設(shè)，否則拒絕兩參數(shù)威布爾分布的假設(shè)

式中α——顯著性水平

——自由度為ν1=2(r-r0-1)，ν2-=2r0的F分布的分位數(shù)，查表

五、威布爾分布的分析法參數(shù)估計(jì)

矩法估計(jì)

樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差

樣本偏態(tài)系數(shù)五、威布爾分布的分析法根據(jù)kk值由表查得形狀參數(shù)k的點(diǎn)估計(jì)同時(shí)可查得系數(shù)ka、kb，故

尺度參數(shù)b的點(diǎn)估計(jì)位置參數(shù)a的點(diǎn)估計(jì)五、威布爾分布的分析法若位置參數(shù)a已知（例如兩參數(shù)威布爾分布a=0），則求根據(jù)kc值由表查得形狀參數(shù)k的點(diǎn)估計(jì)

同時(shí)查得kb，再由式求尺度參數(shù)b的點(diǎn)估計(jì)

五、威布爾分布的分析法極大似然估計(jì)五、威布爾分布的分析法最佳線性無(wú)偏估計(jì)和簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)先做如下變換：

原分布函數(shù)令：即

即

即

五、威布爾分布的分析法則原分布函數(shù)變?yōu)槭街校瑓?shù)μ和σ的最佳線性無(wú)偏估計(jì)五、威布爾分布的分析法當(dāng)樣本容量較大時(shí)，μ和σ用簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)。μ和σ的簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)s，nkr,n，E(zr,n)——查表

五、威布爾分布的分析法形狀參數(shù)k的點(diǎn)估計(jì)按式求得后，為得到k的無(wú)偏估計(jì)再加以修正得式中g(shù)r,n——修偏系數(shù)，查表

尺度參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)五、威布爾分布的分析法可靠度和可靠壽命的估計(jì)

指定壽命t時(shí)可靠度R的點(diǎn)估計(jì)指定可靠度R時(shí)可靠壽命t(R)的點(diǎn)估計(jì)

五、威布爾分布的分析法指定置信水平、可靠度的置信下限對(duì)于全數(shù)試驗(yàn)的兩參數(shù)威布爾分布，可按可靠度的極大似然點(diǎn)估計(jì)查表

對(duì)于截尾壽命試驗(yàn)，其可靠度的置信下限可查表。五、威布爾分布的分析法可靠壽命的單側(cè)置信下限式中g(shù)r,n，Br,n，VRγ——查表五、威布爾分布的分析法

威布爾分布形狀參數(shù)和各參數(shù)點(diǎn)估計(jì)系數(shù)0.604.5932.6451.5051.7583.100.1360.4130.8950.3530.703.4981.8510.2661.4623.200.1060.3070.8960.3430.802.8151.4281.1331.2603.300.0780.2980.8970.333五、威布爾分布的分析法

最佳線性無(wú)偏估計(jì)系數(shù)（威布爾分布）nrjC(n,r,j)D(n,r,j)nrjC(n,r,j)D(n,r,j)521-0.8963-0.95995330.79861.29615220.89631.9599541-0.2730-0.0154531-0.4343-0.2101542-0.24990.0520532-0.3642-0.0860543-0.14910.15215440.67210.81137660.57190.5791五、威布爾分布的分析法簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)系數(shù)（威布爾分布）nrsE(zr,n)nkr,ngr,nnrsE(zr,n)nkr,ngr,n2655-1.66874.21180.7592402525-0.062129.99360.96561010-0.798910.09210.900030300.280539.24950.97301515-0.216417.02920.939835350.671251.79230.977620200.310325.99020.959340360.766156.49230.9798五、威布爾分布的分析法最佳線性無(wú)偏估計(jì)和置信下限系數(shù)（威布爾分布）nrE(zr,n