新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測練專題05 數(shù)列放縮（精講精練）（原卷版）

專題05數(shù)列放縮【命題規(guī)律】數(shù)列放縮是高考重點考查的內(nèi)容之一，數(shù)列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度.此類問題往往從通項公式入手，若需要放縮也是考慮對通項公式進(jìn)行變形；在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向可裂項相消的數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行靠攏．【核心考點目錄】核心考點一：先求和后放縮核心考點二：裂項放縮核心考點三：等比放縮核心考點四：SKIPIF1<0型不等式的證明核心考點五：SKIPIF1<0型不等式的證明核心考點六：SKIPIF1<0型不等式的證明核心考點七：SKIPIF1<0型不等式的證明【真題回歸】1、（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求a的取值范圍；(3)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．2、（2022·全國·高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．3、（2021·天津·高考真題）已知SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（II）記SKIPIF1<0，（i）證明SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（ii）證明SKIPIF1<04、（2021·全國·高考真題（文））設(shè)SKIPIF1<0是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項和．證明：SKIPIF1<0．【方法技巧與總結(jié)】常見放縮公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0．（14）SKIPIF1<0．（15）二項式定理①由于SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（16）糖水不等式若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【核心考點】核心考點一：先求和后放縮例1．（2022·全國·模擬預(yù)測）己知SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.例2．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.例3．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.例4．（2022·黑龍江·海倫市第一中學(xué)高三期中）在各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．例5．（2022·山西臨汾·高三階段練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為其前n項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．例6．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0.核心考點二：裂項放縮例7．（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)證明：SKIPIF1<0.例8．（2022·山東·濟(jì)寧市育才中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且SKIPIF1<0，a1＝1．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明SKIPIF1<0．例9．（2022·天津一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0記SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.(3)設(shè)SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.例10．（2022·全國·成都七中高三開學(xué)考試（理））記數(shù)列SKIPIF1<0?前SKIPIF1<0?項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0?為等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0?，記SKIPIF1<0?為數(shù)列SKIPIF1<0?的前SKIPIF1<0?項積，證明：SKIPIF1<0?.例11．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．核心考點三：等比放縮例12．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0.例13．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項為1，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0成等差數(shù)列，求SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．例14．（2022·天津·南開中學(xué)高三階段練習(xí)）記SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式，并證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和的最大值、最小值.(3)求證：對于任意正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例15．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列.(1)求證SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0.例16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式及SKIPIF1<0；(2)數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的公比，且SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0例17．（2022·江蘇·泗洪縣洪翔中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．核心考點四：SKIPIF1<0型不等式的證明例18．（2022·山東省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值；(2)若關(guān)于x的方程SKIPIF1<0有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；(3)證明：SKIPIF1<0．例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值：(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.例20．（2022·上?！つM預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)設(shè)SKIPIF1<0，證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，試比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大?。?1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求a的取值范圍；(3)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．例22．（2022·湖南·周南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值；(2)證明：SKIPIF1<0例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知單調(diào)遞減的正項數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時滿足SKIPIF1<0．SKIPIF1<0為SKIPIF1<0前n項和．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0.例24．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三階段練習(xí)）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0是首項為3，公差為1的等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．例26．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高三期中）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(2)證明：對任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0例27．（2022·天津河西·高三期中）設(shè){an}是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝SKIPIF1<0，已知a1，3a2，9a3成等差數(shù)列．(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和．證明：Tn＜SKIPIF1<0．(3)求證：SKIPIF1<0核心考點五：SKIPIF1<0型不等式的證明例28．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）判斷函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.例29．（2022·黑龍江·大慶一中高二階段練習(xí)（理））已知曲線Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.從點P（﹣1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點為Pn（xn，yn）.(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0.例30．（2022·浙江溫州·高二期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）猜想SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式，并證明你的結(jié)論；（3）證明：對所有的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.核心考點六：SKIPIF1<0型不等式的證明例31．（2022·湖北·宜城市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）(1)判斷并證明數(shù)列SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．例32．（2022·天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高三開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，前n項和為SKIPIF1<0是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，SKIPIF1<0．(1)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前8項和SKIPIF1<0；(3)證明：SKIPIF1<0．例33．（2022·山西·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)證明：對SKIPIF1<0恒成立；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立？請說明理由．核心考點七：SKIPIF1<0型不等式的證明例34．（2022·廣東·廣州大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)已知當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，證明：SKIPIF1<0．例35．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求證：SKIPIF1<0；(3)證明：SKIPIF1<0．例36．（2022·廣東·紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0.(1)試證明數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)是否存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列？請說明理由.(3)令SKIPIF1<0，是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0都成立？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，請說明理由．例37．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)證明：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)，SKIPIF1<0）.【新題速遞】1．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.2．（2022·福建·寧德市民族中學(xué)高三期中）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是公差為1的等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義：對于任意一個有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項間都插人這兩項的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項間插入這兩項的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如SKIPIF1<0的一階和數(shù)列是SKIPIF1<0，設(shè)它的n階和數(shù)列各項和為SKIPIF1<0．(1)試求SKIPIF1<0的二階和數(shù)列各項和SKIPIF1<0與三階和數(shù)列各項和SKIPIF1<0，并猜想SKIPIF1<0的通項公式（無需證明）；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，并證明：SKIPIF1<0．4．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)二模）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(3)記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．5．（2022·河南·南陽中學(xué)三模（文））已知數(shù)列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和.證明：SKIPIF1<06．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.8．（2022·天津一中高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(3)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.9．（2022·上海市實驗學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)證明SKIPIF1<0為等差數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求使不等式SKIPIF1<0對任意正整數(shù)SKIPIF1<0都成立的最大實數(shù)SKIPIF1<0的值；(3)當(dāng)SKIPIF1<0時，求證：SKIPIF1<0.10．（2022·陜西·模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．11．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0