2.3.1 變量之間的相關關系 2.3.2 兩個變量的線性相關

iiii考點相關關系的概念散點圖回歸直線方程

．變間的相關關．3.1變量之間的相關關系．3.2兩個變量的線性相關學習目標理解兩個變量的相關關系的概念會作散點圖用點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系會求回歸直線方程

核心素養(yǎng)數(shù)學抽象邏輯推理、數(shù)學建模數(shù)學運算問題導學(1)相關關系分為哪兩種？(2)什么叫散點圖？(3)什么叫回歸直線？求回歸直線方法及步驟是什么？．兩個變量的線性關(1)散點圖：將樣本中個據(jù)(x，y)(i＝，2…)描在平面直角坐標系中得到的圖形．(2)正相關與負相關①正相關：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域；②負相關：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．．回歸直線的方程回歸直線：如果散點圖中點分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：歸直線對應的方叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程．(3)最小二乘法^^^求回歸直線方程＝＋時得樣本數(shù)據(jù)的點回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

^^1nn^^其中b是回歸方程的斜率，a是回歸方程在y上的截距．■名師點撥(1)散點圖的作用(2)回歸直線的性質(zhì)ay()(x…xyy…(3)線性相關關系強弱的定性分析判斷正誤(對的打“√”，錯的打“×)－－(1)線性回歸方程必經(jīng)過點(，y)．()^^^^(2)對于方程y＝，x增一個單位時平增個單位．()^(3)樣本數(shù)據(jù)中x＝時可能有＝)^(4)樣本數(shù)據(jù)中x＝時一定有＝)解析(1)(2)(ya(答案：(1)

(2)√

(3)√(4)×下列各圖中所示的兩個變量具有相關關系的()

^12^12AC．(2)(4)

B(1)(3)D．解析(2)(3)(4)學生的數(shù)學成績和物理成績?nèi)缦卤恚簩W科數(shù)學物理

A

B

C

D

E則數(shù)學成績與物理成績之()A是函數(shù)關系B是相關關系，但相關性很弱C．有較好的相關關系，且是正相關D．有好的相關關系，且是負相關解析：C.^設有一個回歸方程為＝21.5x，則變量每加1個位時平減少____________個單位,解析：y2x1yy[21.5(1)]y答案：1.5

iiii相關關系的判斷以下是在某地搜集到的不同樓盤新房屋的銷售價格單位)和房屋面積x單位：2的數(shù)據(jù)：房屋面積x2銷售價格y萬元)

(1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖；判新房屋的銷售價格和房屋面積之間是否具有相關關系？如果有相關關系，是正相關還是負相關？【解】相關關系的判斷方法(1)兩個變量xy具有相關關系的判斷方法(2)xy[易錯警示]對變量x有測數(shù)據(jù)(xy)(i2散點圖如圖所示這個散點圖可以判斷)

ii4iii4iA變量與正關B變量與不關C．量與負關D．量與是數(shù)關系解析y線性回歸方程的求法下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x()與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤的幾組對照數(shù)據(jù)：xy

2.5

4.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；^^^(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最二乘法求出y關于的性回歸方程y＝bx＋a【解】

4.5y

2.534.54x3×3×4×i124286i1

ii^i1－4－4x∑ii^i1－4－4x∑^^^^^^4∑－4xy4×3.5b×4.52ii

1y3.50.7×4.50.7x如果把例題中的的及4.5分改為2和5，如何求回歸直線方程？解：(2)4)(6yx3x1.求線性回歸方程的步驟(1)5ayb6.某化工廠為預測某產(chǎn)品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關關系，現(xiàn)取了

對觀測值，計算得：則y關

iii^^iii^^于x的歸直線方程()^＝11.47^＝＋x^C.y＝2.6211.47^y＝11.47解析：^

8－－∑－8xyi8－∑－2

×6.5×28.5×6.5i^

ybx.線性回歸方程的應用(2020·黑省大慶人中學期末考試)班主任為了對本班學生的月考成績進行分析，從全班40名學中隨機抽取一個容量為6的本進行分析．隨機抽取同學的數(shù)學、物理分數(shù)對應如表：學生編號數(shù)學分數(shù)x物理分數(shù)y

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)用散點圖說明物成績與數(shù)學成績x之是否具有線性相關性？(2)如果具有線性相關性求線回歸方(數(shù)精確到如果不具有線性相關性，請說明理由；(3)如果班里的某位同學數(shù)學成績50，請預測這位同學的物理成績．【解】

^^^^x1×70851y×9085bay0.6x37.(3)y67.5067.利用線性回歸方程解題的常見思及注意點^(2)b

江省川中學期末考試)我西部某貧困地區(qū)年至年農(nóng)村居民家庭人均年收入y千元的數(shù)據(jù)如下表：年份年份代號x人均年收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9(1)求y關的性回歸方程；利1)中的回歸方程，預測該地區(qū)2019年村居民家庭人均年收入將到多少千元．

^^^^^^^^^^^^^^iiiiii^^ii解：(1)44.3bayb

×2.3.(2)9y0.52.36.8．我們常說“吸煙有害健康”，吸煙與健康之間的關系()A正相關C．相關

B．相關D．確解析：B.^^^．關于回歸直線方＝＋bx的述確()^①反映y與x之間的函數(shù)關系；②反映y與x之的函數(shù)關系；^③表示y與x之間的不確定關系；④表示最接近與之真實關系的一條線．A①②

B②③

C．④

D．①④解析bxyxy①^^．在最小二乘法中，用來刻畫各個樣本點到直線＝abx的距離”的量()－A－^C．－a

－B．(y－)2^D．y－＋)]2解析：D.[y(bx)]2

^^^^“”(^．已知工廠加工零件的個數(shù)與費時間y(h)之間的線性回歸方程＝x＋0.5則加工200個件大約需要小時．解析：0.010.52.5.答案：2.5[A基礎達標]．如圖所示是具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的散點圖，去掉哪個點后，兩個量的相關關系更明顯)ADC．

B．D．A解析：C.BDEF．江西省上饒市期末統(tǒng)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費用的時間，為此進行了次驗，根據(jù)收集到的數(shù)(下表)，由最小二乘法求得回歸線^方程為y＝x＋零件數(shù)x個)加工時間y(min)

表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值()A55C．

B．D．解析：.5067795

1233y

^za^zaiii1i586×aybbbaab1.23byx^^^m7.8340.251.D.變量y滿關系＝－x＋1y與z正關結中正確的是()A與正關，與z負關B與正相關，與正相關C．與負關，與z負關D．與y負相關，x與z正關解析：C.0.1x10xy^^^^^^yzx．已知與之的幾組數(shù)據(jù)如下表：xy

^^^假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程＝bx＋a若某同學根據(jù)上表中的前組數(shù)(，和2，求得的直線方程為y＝bx＋，以下結論正確的()^^A.b＞b，a′^C.b，a＞a

^^B.＞，＜a^^bb，＜a解析：C.(12)y2x′^，135^71^^x×277916

6－－∑－6x6－∑－21i

^^^．廣西欽州期末考)回歸直線y＝＋的率估值為，樣本中心點為，5)，當x＝，估計y的為____________．^^^^^解析：a(5)1.23×a1.23x21.23×20.082.54.答案：

5^5^(2020·北省宜昌市葛洲壩中學期末考)某公司借助手機微信平臺廣自己的產(chǎn)品，對今年前5個的微信推廣費用x利潤額(位：百萬元進行了初步統(tǒng)計，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：xy

^經(jīng)計算月信推廣費用與月利潤額滿線性回歸方＝x＋17.5則的值為____________．24540p200p解析：x5.6.517.5()

p×550.答案：50．對某臺機器購置后的運營年限(＝，，3)與當年利潤的計分析知具備線^性相關關系，線性回歸方程為＝10.47－1.3，估計該臺機器使用年最合算．^解析：y≥010.47≥≤答案：8(2020·湖省張家界市期末聯(lián))為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品年產(chǎn)量(單位噸)對價格y(單位：千元噸)的影響，對近五年該農(nóng)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如表：xy

已知x和具有線性相關關系．－－(1)求x，y；^^^(2)求y關的性回歸方程＝bx＋；(3)若年產(chǎn)量為噸試預測該農(nóng)產(chǎn)品的價格．

iii1－5－5x2∑^^^n∑（－iii1－5－5x2∑^^^n∑（－）y－y(參考公式＝＝，iiiiiii^i1－5－)∑^^^解：(1)x

23565.^(2)b

5－∑－5xy×3×5×3ii(y)5(×3)9.2x9.2.^(3)y

×4.5/)(2020·河石家莊市期末考)一段時間內(nèi)分測得某種商品的價格x萬元和需求量y噸)之間的一組數(shù)據(jù)為價格x需求量y

1.4

1.6

1.8

2.2^^^(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出回歸直線＝＋a(2)試根據(jù)(中求出的回歸方程預估當價格為1.9萬時，需求量約是多少噸？－－n－－ii∑ii－ny^iin－n－∑（－）∑2－n(x)i

i

1^－^＝bx)11解：(1)x×y×3755x62x

16.6i1

i15－∑－5xy××7.4b216.6×ii

1y7.411.5×1.8x11.5x.(2)y28.111.5×6.25()1.96.25

2314214232231421423213243111^^2112[B

能力提升]兩個變量的四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計得以下散點圖于個變量相關系數(shù)的比較，正確的是()Ar＜＜＜r＜rBr＜r＜0rrC．r＜r＜＜r＜rD．＜＜＜r＜r解析：rrrr.11．期中考試后，某校高三9)班班主任對全班名生的成(單位：)進行分析，^得到數(shù)學成績關總成績的回歸直線方程＝6x由此可以估計名同學的總成績相差50分則他們的數(shù)學成績大約相________分．^解析：x6x6|yxx)|×20.答案：20(2020·北省宜昌縣域高中協(xié)同發(fā)展共同體期考)為研究冬季晝夜溫差大小某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽率的影響課興趣小組記錄了5組夜溫差與100顆種子發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：組號溫差x℃)發(fā)芽數(shù)y顆)

經(jīng)分析這組數(shù)據(jù)具有較強的線相關關系因此該小組確定的研究方案是從五組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程，再用沒選取的2組據(jù)進行檢驗．^^^(1)若選取的是第23，4組數(shù)據(jù)，求出關的性回歸方程＝bxa(2)若由線性回歸方程得到的估計據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試(1)中所得的線性回方程是否可靠？

n∑（－）y－y(參考公式＝＝，＝y(tǒng)n∑（－）y－y(參考公式＝＝，＝y(tǒng))iiiii112233123yb27^ii－－n－－ii∑ii－ny^ii^－^－n－n－∑（－）∑x－2i

i解：(1)

11122612^

3－－∑（－）y－）i3－∑（－）

ixxyxxyxxxxxx2（11－）×（2527＋（13－）×（－27＋－12）×－27（11）2（－）2（1212）^