2.3.1 變量之間的相關(guān)關(guān)系 2.3.2 兩個(gè)變量的線性相關(guān)

iiii考點(diǎn)相關(guān)關(guān)系的概念散點(diǎn)圖回歸直線方程

．變間的相關(guān)關(guān)．3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系．3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念會(huì)作散點(diǎn)圖用點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系會(huì)求回歸直線方程

核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象邏輯推理、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題導(dǎo)學(xué)(1)相關(guān)關(guān)系分為哪兩種？(2)什么叫散點(diǎn)圖？(3)什么叫回歸直線？求回歸直線方法及步驟是什么？．兩個(gè)變量的線性關(guān)(1)散點(diǎn)圖：將樣本中個(gè)據(jù)(x，y)(i＝，2…)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．(2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)①正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域；②負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域．．回歸直線的方程回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：歸直線對(duì)應(yīng)的方叫回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱回歸方程．(3)最小二乘法^^^求回歸直線方程＝＋時(shí)得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

^^1nn^^其中b是回歸方程的斜率，a是回歸方程在y上的截距．■名師點(diǎn)撥(1)散點(diǎn)圖的作用(2)回歸直線的性質(zhì)ay()(x…xyy…(3)線性相關(guān)關(guān)系強(qiáng)弱的定性分析判斷正誤(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×)－－(1)線性回歸方程必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，y)．()^^^^(2)對(duì)于方程y＝，x增一個(gè)單位時(shí)平增個(gè)單位．()^(3)樣本數(shù)據(jù)中x＝時(shí)可能有＝)^(4)樣本數(shù)據(jù)中x＝時(shí)一定有＝)解析(1)(2)(ya(答案：(1)

(2)√

(3)√(4)×下列各圖中所示的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的()

^12^12AC．(2)(4)

B(1)(3)D．解析(2)(3)(4)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)科數(shù)學(xué)物理

A

B

C

D

E則數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之()A是函數(shù)關(guān)系B是相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)性很弱C．有較好的相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)D．有好的相關(guān)關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)解析：C.^設(shè)有一個(gè)回歸方程為＝21.5x，則變量每加1個(gè)位時(shí)平減少____________個(gè)單位,解析：y2x1yy[21.5(1)]y答案：1.5

iiii相關(guān)關(guān)系的判斷以下是在某地搜集到的不同樓盤(pán)新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格單位)和房屋面積x單位：2的數(shù)據(jù)：房屋面積x2銷(xiāo)售價(jià)格y萬(wàn)元)

(1)畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；判新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格和房屋面積之間是否具有相關(guān)關(guān)系？如果有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？【解】相關(guān)關(guān)系的判斷方法(1)兩個(gè)變量xy具有相關(guān)關(guān)系的判斷方法(2)xy[易錯(cuò)警示]對(duì)變量x有測(cè)數(shù)據(jù)(xy)(i2散點(diǎn)圖如圖所示這個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷)

ii4iii4iA變量與正關(guān)B變量與不關(guān)C．量與負(fù)關(guān)D．量與是數(shù)關(guān)系解析y線性回歸方程的求法下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x()與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：xy

2.5

4.5(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；^^^(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最二乘法求出y關(guān)于的性回歸方程y＝bx＋a【解】

4.5y

2.534.54x3×3×4×i124286i1

ii^i1－4－4x∑ii^i1－4－4x∑^^^^^^4∑－4xy4×3.5b×4.52ii

1y3.50.7×4.50.7x如果把例題中的的及4.5分改為2和5，如何求回歸直線方程？解：(2)4)(6yx3x1.求線性回歸方程的步驟(1)5ayb6.某化工廠為預(yù)測(cè)某產(chǎn)品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了

對(duì)觀測(cè)值，計(jì)算得：則y關(guān)

iii^^iii^^于x的歸直線方程()^＝11.47^＝＋x^C.y＝2.6211.47^y＝11.47解析：^

8－－∑－8xyi8－∑－2

×6.5×28.5×6.5i^

ybx.線性回歸方程的應(yīng)用(2020·黑省大慶人中學(xué)期末考試)班主任為了對(duì)本班學(xué)生的月考成績(jī)進(jìn)行分析，從全班40名學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為6的本進(jìn)行分析．隨機(jī)抽取同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如表：學(xué)生編號(hào)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x物理分?jǐn)?shù)y

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖說(shuō)明物成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)x之是否具有線性相關(guān)性？(2)如果具有線性相關(guān)性求線回歸方(數(shù)精確到如果不具有線性相關(guān)性，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如果班里的某位同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)50，請(qǐng)預(yù)測(cè)這位同學(xué)的物理成績(jī)．【解】

^^^^x1×70851y×9085bay0.6x37.(3)y67.5067.利用線性回歸方程解題的常見(jiàn)思及注意點(diǎn)^(2)b

江省川中學(xué)期末考試)我西部某貧困地區(qū)年至年農(nóng)村居民家庭人均年收入y千元的數(shù)據(jù)如下表：年份年份代號(hào)x人均年收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9(1)求y關(guān)的性回歸方程；利1)中的回歸方程，預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年村居民家庭人均年收入將到多少千元．

^^^^^^^^^^^^^^iiiiii^^ii解：(1)44.3bayb

×2.3.(2)9y0.52.36.8．我們常說(shuō)“吸煙有害健康”，吸煙與健康之間的關(guān)系()A正相關(guān)C．相關(guān)

B．相關(guān)D．確解析：B.^^^．關(guān)于回歸直線方＝＋bx的述確()^①反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系；②反映y與x之的函數(shù)關(guān)系；^③表示y與x之間的不確定關(guān)系；④表示最接近與之真實(shí)關(guān)系的一條線．A①②

B②③

C．④

D．①④解析bxyxy①^^．在最小二乘法中，用來(lái)刻畫(huà)各個(gè)樣本點(diǎn)到直線＝abx的距離”的量()－A－^C．－a

－B．(y－)2^D．y－＋)]2解析：D.[y(bx)]2

^^^^“”(^．已知工廠加工零件的個(gè)數(shù)與費(fèi)時(shí)間y(h)之間的線性回歸方程＝x＋0.5則加工200個(gè)件大約需要小時(shí)．解析：0.010.52.5.答案：2.5[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]．如圖所示是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，去掉哪個(gè)點(diǎn)后，兩個(gè)量的相關(guān)關(guān)系更明顯)ADC．

B．D．A解析：C.BDEF．江西省上饒市期末統(tǒng)某車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)用的時(shí)間，為此進(jìn)行了次驗(yàn)，根據(jù)收集到的數(shù)(下表)，由最小二乘法求得回歸線^方程為y＝x＋零件數(shù)x個(gè))加工時(shí)間y(min)

表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值()A55C．

B．D．解析：.5067795

1233y

^za^zaiii1i586×aybbbaab1.23byx^^^m7.8340.251.D.變量y滿關(guān)系＝－x＋1y與z正關(guān)結(jié)中正確的是()A與正關(guān)，與z負(fù)關(guān)B與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與負(fù)關(guān)，與z負(fù)關(guān)D．與y負(fù)相關(guān)，x與z正關(guān)解析：C.0.1x10xy^^^^^^yzx．已知與之的幾組數(shù)據(jù)如下表：xy

^^^假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程＝bx＋a若某同學(xué)根據(jù)上表中的前組數(shù)(，和2，求得的直線方程為y＝bx＋，以下結(jié)論正確的()^^A.b＞b，a′^C.b，a＞a

^^B.＞，＜a^^bb，＜a解析：C.(12)y2x′^，135^71^^x×277916

6－－∑－6x6－∑－21i

^^^．廣西欽州期末考)回歸直線y＝＋的率估值為，樣本中心點(diǎn)為，5)，當(dāng)x＝，估計(jì)y的為_(kāi)___________．^^^^^解析：a(5)1.23×a1.23x21.23×20.082.54.答案：

5^5^(2020·北省宜昌市葛洲壩中學(xué)期末考)某公司借助手機(jī)微信平臺(tái)廣自己的產(chǎn)品，對(duì)今年前5個(gè)的微信推廣費(fèi)用x利潤(rùn)額(位：百萬(wàn)元進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：xy

^經(jīng)計(jì)算月信推廣費(fèi)用與月利潤(rùn)額滿線性回歸方＝x＋17.5則的值為_(kāi)___________．24540p200p解析：x5.6.517.5()

p×550.答案：50．對(duì)某臺(tái)機(jī)器購(gòu)置后的運(yùn)營(yíng)年限(＝，，3)與當(dāng)年利潤(rùn)的計(jì)分析知具備線^性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為＝10.47－1.3，估計(jì)該臺(tái)機(jī)器使用年最合算．^解析：y≥010.47≥≤答案：8(2020·湖省張家界市期末聯(lián))為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品年產(chǎn)量(單位噸)對(duì)價(jià)格y(單位：千元噸)的影響，對(duì)近五年該農(nóng)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如表：xy

已知x和具有線性相關(guān)關(guān)系．－－(1)求x，y；^^^(2)求y關(guān)的性回歸方程＝bx＋；(3)若年產(chǎn)量為噸試預(yù)測(cè)該農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格．

iii1－5－5x2∑^^^n∑（－iii1－5－5x2∑^^^n∑（－）y－y(參考公式＝＝，iiiiiii^i1－5－)∑^^^解：(1)x

23565.^(2)b

5－∑－5xy×3×5×3ii(y)5(×3)9.2x9.2.^(3)y

×4.5/)(2020·河石家莊市期末考)一段時(shí)間內(nèi)分測(cè)得某種商品的價(jià)格x萬(wàn)元和需求量y噸)之間的一組數(shù)據(jù)為價(jià)格x需求量y

1.4

1.6

1.8

2.2^^^(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出回歸直線＝＋a(2)試根據(jù)(中求出的回歸方程預(yù)估當(dāng)價(jià)格為1.9萬(wàn)時(shí)，需求量約是多少噸？－－n－－ii∑ii－ny^iin－n－∑（－）∑2－n(x)i

i

1^－^＝bx)11解：(1)x×y×3755x62x

16.6i1

i15－∑－5xy××7.4b216.6×ii

1y7.411.5×1.8x11.5x.(2)y28.111.5×6.25()1.96.25

2314214232231421423213243111^^2112[B

能力提升]兩個(gè)變量的四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得以下散點(diǎn)圖于個(gè)變量相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()Ar＜＜＜r＜rBr＜r＜0rrC．r＜r＜＜r＜rD．＜＜＜r＜r解析：rrrr.11．期中考試后，某校高三9)班班主任對(duì)全班名生的成(單位：)進(jìn)行分析，^得到數(shù)學(xué)成績(jī)關(guān)總成績(jī)的回歸直線方程＝6x由此可以估計(jì)名同學(xué)的總成績(jī)相差50分則他們的數(shù)學(xué)成績(jī)大約相________分．^解析：x6x6|yxx)|×20.答案：20(2020·北省宜昌縣域高中協(xié)同發(fā)展共同體期考)為研究冬季晝夜溫差大小某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽率的影響課興趣小組記錄了5組夜溫差與100顆種子發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：組號(hào)溫差x℃)發(fā)芽數(shù)y顆)

經(jīng)分析這組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的線相關(guān)關(guān)系因此該小組確定的研究方案是從五組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程，再用沒(méi)選取的2組據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．^^^(1)若選取的是第23，4組數(shù)據(jù)，求出關(guān)的性回歸方程＝bxa(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試(1)中所得的線性回方程是否可靠？

n∑（－）y－y(參考公式＝＝，＝y(tǒng)n∑（－）y－y(參考公式＝＝，＝y(tǒng))iiiii112233123yb27^ii－－n－－ii∑ii－ny^ii^－^－n－n－∑（－）∑x－2i

i解：(1)

11122612^

3－－∑（－）y－）i3－∑（－）

ixxyxxyxxxxxx2（11－）×（2527＋（13－）×（－27＋－12）×－27（11）2（－）2（1212）^