第二章單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)

第一章概論一、振動(dòng)及其研究的問(wèn)題1、振動(dòng)2、振動(dòng)研究的問(wèn)題

振動(dòng)隔離

在線控制

工具開(kāi)發(fā)

動(dòng)態(tài)性能分析

模態(tài)分析第一章概論二、振動(dòng)分類及研究振動(dòng)的一般方法1、振動(dòng)分類：振動(dòng)分析、振動(dòng)環(huán)境預(yù)測(cè)、系統(tǒng)識(shí)別2、研究振動(dòng)的一般方法（1）理論分析方法建立系統(tǒng)的力學(xué)模型、建立運(yùn)動(dòng)方程、求解方程得到響應(yīng)（2）實(shí)驗(yàn)研究方法（3）理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法三、汽車上的振動(dòng)問(wèn)題四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、諧波分析及頻譜分析1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)2、諧波分析3、頻譜分析①函數(shù)表示法②旋轉(zhuǎn)矢量表示法（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)③復(fù)數(shù)表示法在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，加速度的方向與位移的方向相反，大小與位移的大小成正比，始終指向靜平衡位置。④簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（2）周期振動(dòng)的諧波分析基頻一個(gè)周期函數(shù)如果滿足如下條件，就可以展成傅立葉級(jí)數(shù)。（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，且間斷點(diǎn)的左右極限都存在；（2）在一個(gè)周期內(nèi)，具有有限個(gè)極大、極小點(diǎn)。其中對(duì)方波信號(hào)進(jìn)行諧波分析。例題1－1（3）振動(dòng)的頻譜分析將頻率特性分析方法用于振動(dòng)分析，成為頻譜分析。頻率特性分析是經(jīng)典控制理論中研究與分析系統(tǒng)特性的主要方法。利用此方法可以將系統(tǒng)傳遞函數(shù)從復(fù)域引到具有明顯物理概念的頻域來(lái)分析系統(tǒng)的特性。引入頻譜分析的重要性在于：①可將任意激勵(lì)函數(shù)分解為疊加的諧波信號(hào)，即可將周期激勵(lì)函數(shù)分解為疊加的頻譜離散的諧波信號(hào)，可將非周期激勵(lì)函數(shù)分解為疊加的頻譜連續(xù)的諧波信號(hào)。②對(duì)于無(wú)法用分析法求得傳遞函數(shù)或微分方程的振動(dòng)系統(tǒng)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)求出系統(tǒng)的頻率特性，進(jìn)而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或微分方程。輸出和輸入的傅氏變換之比等于頻率響應(yīng)函數(shù)（頻響函數(shù)）時(shí)域模型：微分方程描述

頻域模型：傳遞函數(shù)描述頻率特性描述物理特性模態(tài)特性響應(yīng)特性響應(yīng)模型:位移、速度、加速度

力學(xué)模型:質(zhì)量、剛度、阻尼模態(tài)模型:固有頻率、模態(tài)矢量模態(tài)質(zhì)量、剛度、阻尼汽車振動(dòng)學(xué)第二章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第二章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)一、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)1、振動(dòng)微分方程的建立2、振動(dòng)等效系統(tǒng)及外界激勵(lì)二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)1、無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2、有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)三、單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)1、簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)響應(yīng)及頻譜分析2、受迫振動(dòng)的復(fù)數(shù)求解法－－單位諧函數(shù)法3、支座簡(jiǎn)諧激勵(lì)（位移激勵(lì)）引起的振動(dòng)與被動(dòng)隔振4、偏心質(zhì)量（力激勵(lì)）引起的振動(dòng)與主動(dòng)隔振5、測(cè)振傳感器的原理

四、單自由度系統(tǒng)在周期性激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)1、諧波分析與疊加原理2、傅立葉（Fourier）級(jí)數(shù)法五、單自由度系統(tǒng)在任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

1、脈沖響應(yīng)函數(shù)法或杜哈梅（Duhamel）積分法

2、傅立葉（Fourier）變換法

3、拉普拉斯（Laplas）變換法一、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)1、單自由度系統(tǒng)及其振動(dòng)微分方程建立2、振動(dòng)等效系統(tǒng)及外界激勵(lì)

3、振動(dòng)微分方程的求解1、單自由度系統(tǒng)及其振動(dòng)微分方程建立（1）單自由度振動(dòng)系統(tǒng)（2）單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的建立方法①牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理例題2-1建立如圖所示振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。（教材例題2.10）②能量法例題2-2半徑為r、重力為mg的圓柱體在半徑為R的圓柱面內(nèi)滾動(dòng)而不滑動(dòng)，如圖所示。試求圓柱體繞其平衡位置作微小振動(dòng)的微分方程。（教材例題2.11）T+U=常數(shù)2、等效振動(dòng)系統(tǒng)及外界激勵(lì)在工程上為便于研究，常把一些較為復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，以便當(dāng)作運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)方向上只存在一個(gè)質(zhì)量和彈簧來(lái)處理，經(jīng)簡(jiǎn)化后得到的質(zhì)量和剛度，分別成為原系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度。同樣，實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)不可避免地存在阻力，因而在一定時(shí)間內(nèi)自由振動(dòng)會(huì)逐漸衰減，直至完全消失。振系中阻力有各種來(lái)源，如干摩擦、流體阻力、電磁阻力、材料內(nèi)阻力等，統(tǒng)稱阻尼。在這些阻尼中，只有粘性阻尼是線性阻尼，它與速度成正比，易于數(shù)學(xué)處理，可以大大簡(jiǎn)化振動(dòng)分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)求解，因而通常均假設(shè)系統(tǒng)的阻尼為粘性阻尼。對(duì)于其他比較復(fù)雜的實(shí)際阻尼，則被轉(zhuǎn)化為等效粘性阻尼來(lái)處理。通常用能量法求復(fù)雜系統(tǒng)的等效剛度，即按實(shí)際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的彈簧的彈性勢(shì)能與等效系統(tǒng)彈簧勢(shì)能相等的原則來(lái)求系統(tǒng)的等效剛度。扭轉(zhuǎn)剛度（1）等效剛度拉壓剛度彎曲剛度彈簧的串、并聯(lián)（2）等效質(zhì)量通常用能量法求復(fù)雜系統(tǒng)的等效質(zhì)量，即按實(shí)際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的質(zhì)量的動(dòng)能與等效系統(tǒng)質(zhì)量動(dòng)能相等的原則來(lái)求系統(tǒng)的等效質(zhì)量。串聯(lián)彈簧的剛度并聯(lián)彈簧的剛度例題2-3例題2-4（教材例題2.4）例題2-5（教材例題2.5）例題2-6（教材例題2.3、2.6）求軸向軸轉(zhuǎn)化的單軸系的等效剛度和等效旋轉(zhuǎn)質(zhì)量

在工程實(shí)際中，往往根據(jù)在振動(dòng)一周期內(nèi)實(shí)際阻尼所耗散的能量與粘性阻尼所耗散的能量相等來(lái)求系統(tǒng)的等效粘性阻尼。系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，粘性阻尼在振動(dòng)的一周期內(nèi)所作的功庫(kù)侖阻尼流體阻尼結(jié)構(gòu)阻尼（3）等效阻尼（4）外界激勵(lì)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程的一般形式如果系統(tǒng)受到外界持續(xù)激勵(lì)（即），就會(huì)從外界不斷地獲得能量，補(bǔ)充阻尼所消耗的能量，使系統(tǒng)保持等幅振動(dòng)。這種由外界持續(xù)激勵(lì)引起的振動(dòng)即是受迫振動(dòng)或強(qiáng)迫振動(dòng)。當(dāng)外界激勵(lì)為零（即）時(shí)，系統(tǒng)僅在開(kāi)始時(shí)受到外界干擾即初始干擾（如初始位移或速度），靠系統(tǒng)本身的固有特性而進(jìn)行振動(dòng)，即自由振動(dòng)。由此可見(jiàn)，單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析問(wèn)題就是二階常系數(shù)線性微分方程數(shù)學(xué)求解問(wèn)題二

單自由度振系的自由振動(dòng)mxk單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧振動(dòng)固有頻率是系統(tǒng)本身的性質(zhì)，與初始條件無(wú)關(guān)速度、加速度也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)例題2.7某儀器中一元件為等截面懸臂梁，梁的質(zhì)量可忽略。在梁的自由端由磁鐵吸住兩個(gè)集中質(zhì)量m1、m2。梁在靜止時(shí)，斷電使m2突然釋放，求隨后m1的振動(dòng)。固有頻率的求法

根據(jù)固有頻率的定義來(lái)求固有頻率的求法

由等效質(zhì)量和等效剛度來(lái)求固有頻率的求法

應(yīng)用能量法來(lái)求例題：求圓軸圓盤(pán)扭振系統(tǒng)的振動(dòng)固有頻率思考求固有頻率有阻尼自由振動(dòng)令相對(duì)阻尼系數(shù)過(guò)阻尼臨界阻尼小阻尼

例題質(zhì)量m=2450kg的汽車用四個(gè)懸掛彈簧支承在四個(gè)車輪上，四個(gè)彈簧由汽車重量引起的靜壓縮量均為λst=15cm。為了能迅速地減少汽車上下振動(dòng)，在四個(gè)支承處均安裝了減振器，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得兩次振動(dòng)后振幅減小到10%，即A1/A3=10，試求：1）振動(dòng)的減幅系數(shù)和對(duì)數(shù)衰減率2）衰減系數(shù)和衰減振動(dòng)的周期3）若要汽車不振動(dòng)，減振器的臨界阻尼系數(shù)三

單自由度振系的強(qiáng)迫振動(dòng)正弦型激勵(lì)周期激勵(lì)任意激勵(lì)無(wú)阻尼振系在正弦型擾力作用下的振動(dòng)xmkmkxF(t)當(dāng)兩頻率ω與p相近時(shí)會(huì)產(chǎn)生振幅呈周期性變化的合成振動(dòng)，Δ

拍振有阻尼振系在正弦型擾力作用下的振動(dòng)放大因子，它代表穩(wěn)態(tài)振幅X與激振力幅F0靜止作用于彈簧上的靜位移之比。λ=1時(shí)的放大因子稱為品質(zhì)因子單位諧函數(shù)法求強(qiáng)迫振動(dòng)單位諧函數(shù)法是指作用在系統(tǒng)上的激勵(lì)為復(fù)數(shù)形式的單位幅值簡(jiǎn)諧激振力，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為頻率響應(yīng)函數(shù)復(fù)數(shù)響應(yīng)與復(fù)數(shù)激振力之比頻率響應(yīng)函數(shù)的模稱為幅頻特性頻率響應(yīng)函數(shù)的相位差角稱為相頻特性不平衡轉(zhuǎn)子激發(fā)的振動(dòng)支座正弦激擾引起的的振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)例小車重490公斤，可以簡(jiǎn)化為用彈簧支在輪子上的一個(gè)重量，彈簧系數(shù)50公斤／厘米，輪子的重量與變形都略去不計(jì)。路面成正弦波形，可以表示為y=Ysin(2πx/L)，其中Y=4cm，L=10

米。試求小車在以水平速度v=36公里／小時(shí)行駛時(shí)，車身上下振動(dòng)的振幅，設(shè)阻尼可以略去不計(jì)．振動(dòng)的隔離實(shí)際傳遞的力幅與不平衡力幅的比值稱為力傳遞率主動(dòng)隔振采用隔振措施后，振源傳給地基的力為被動(dòng)隔離隔振系數(shù)測(cè)振儀表

周期激擾下的強(qiáng)迫振