第十四章 超靜定結(jié)構(gòu)

第十四章超靜定結(jié)構(gòu)§14-1超靜定結(jié)構(gòu)概述§14-2用力法正則方程求解超靜定結(jié)構(gòu)§14-3

對(duì)稱及反對(duì)稱性質(zhì)§14-4連續(xù)梁及三彎矩方程§14-1超靜定結(jié)構(gòu)概述一、相關(guān)概念桁架：由直桿以鉸節(jié)點(diǎn)相連接組成的桿系.若載荷只作用于節(jié)點(diǎn)上，則每一桿件只承受拉伸或壓縮.剛架：由直桿以剛節(jié)點(diǎn)相連接組成的桿系.在載荷作用下，各桿可以承受拉壓、剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)作用.連續(xù)梁：連續(xù)跨過(guò)一系列中間支座的多跨梁.超靜定結(jié)構(gòu)：支座約束反力和（或）各構(gòu)件的內(nèi)力僅由靜力平衡方程不能完全求解的結(jié)構(gòu).靜定結(jié)構(gòu)：支座約束反力和（或）各構(gòu)件的內(nèi)力僅由靜力平衡方程可完全求解的結(jié)構(gòu).幾何不變結(jié)構(gòu)（運(yùn)動(dòng)學(xué)不變結(jié)構(gòu)）：只可能有變形引起的位移而無(wú)任何剛性位移或轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)構(gòu).多余約束：超靜定結(jié)構(gòu)中，超過(guò)維持結(jié)構(gòu)幾何不變性的外部和內(nèi)部約束.PCBA機(jī)構(gòu)超靜定次數(shù)：結(jié)構(gòu)的約束反力和各桿件的內(nèi)力個(gè)數(shù)之和與能列出的獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)之差.若該差值為1則超靜定次數(shù)為1，為2則超靜定次數(shù)為2等.基本靜定系：若解除超靜定結(jié)構(gòu)上的某些多余約束后結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定的，則稱該靜定結(jié)構(gòu)為原超靜定結(jié)構(gòu)的基本靜定系.基本靜定系的選擇不是唯一的.相當(dāng)系統(tǒng)：在基本靜定系基礎(chǔ)上，附加上與多余約束相對(duì)應(yīng)的多余反力，便得到原超靜定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng).多余反力：與多余約束對(duì)應(yīng)的反力.【例14-1】指出超靜定剛架的基本靜定系和相當(dāng)系統(tǒng).基本靜定系【例14-2】指出超靜定梁的基本靜定系和相當(dāng)系統(tǒng).相當(dāng)系統(tǒng)基本靜定系基本靜定系相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)三、超靜定結(jié)構(gòu)的分類外力超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)支座反力超過(guò)了結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程數(shù)目，支座反力不能通過(guò)靜力平衡關(guān)系求解.內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不能通過(guò)截面法求解.混合超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支座反力都不能通過(guò)靜力平衡方程求解.二、超靜定結(jié)構(gòu)的判定方法外力超靜定：對(duì)于平面系統(tǒng)，約束反力超過(guò)3個(gè)；空間系統(tǒng)，約束反力超過(guò)6個(gè)則為超靜定結(jié)構(gòu).內(nèi)力超靜定：對(duì)于平面系統(tǒng)，單個(gè)封閉框架為內(nèi)力3次超靜定，每增加1個(gè)封閉框架，則增加3次超靜定；對(duì)于空間系統(tǒng)，單個(gè)封閉框架為內(nèi)力6次超靜定，每增加1個(gè)封閉框架，則增加6次超靜定.四、超靜定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)超靜定結(jié)構(gòu)的剛度一定比同類靜定結(jié)構(gòu)的剛度大，即結(jié)構(gòu)位移小.在一般條件下，超靜定結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度也比同類靜定結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度高.超靜定結(jié)構(gòu)各個(gè)構(gòu)件的內(nèi)力與構(gòu)件的剛度有關(guān)，其各個(gè)構(gòu)件的剛度的變化將影響結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分配，因此對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)的截面設(shè)計(jì)，最后必須按照預(yù)先規(guī)定的面積比值設(shè)計(jì).對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，溫度變化、構(gòu)件的加工尺寸不準(zhǔn)確以及支座的沉陷等問(wèn)題均會(huì)使得結(jié)構(gòu)出現(xiàn)內(nèi)力.五、超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法材料力學(xué)中求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法均以“力”作為基本未知量，稱為“力法”.主要包括：變形比較法：適用于簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu).力法正則方程：適用于次數(shù)較高的超靜定結(jié)構(gòu).三彎矩方程：適用于連續(xù)梁.六、超靜定結(jié)構(gòu)的求解步驟判斷結(jié)構(gòu)是否為超靜定的，如果是則應(yīng)確定其超靜定次數(shù).去除超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束，得到基本靜定系，用多余廣義反力取代多余約束得到相當(dāng)系統(tǒng).將相當(dāng)系統(tǒng)與原超靜定結(jié)構(gòu)作比較，得到相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件(幾何條件或位移邊界條件).使用能量法或其它方法將變形協(xié)調(diào)條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于多余(外力和內(nèi)力)反力的方程，求解多余反力.利用靜力平衡方程求解其它約束反力.δij—僅施加單位Xj即令Xj=1時(shí)，與Xi相對(duì)應(yīng)的廣義位移；Xi—未知多余廣義力；ΔiF—僅施加已知廣義力系F時(shí)，與Xi

相對(duì)應(yīng)的廣義位移；由位移互等定理知：δij

＝δji

一、力法正則方程對(duì)線彈性桿系，ΔiF和δij一般由莫爾積分求得.§14-2用力法正則方程求解超靜定結(jié)構(gòu)n—超靜定次數(shù)；由m根桿組成的桁架：δijXj—僅施加X(jué)j時(shí)，與Xi相對(duì)應(yīng)的廣義位移；AFBAFBX1X3X2AFΔ1FΔ3FΔ2FAδ11δ31δ211δ12δ32δ221δ13δ33δ2313次超靜定結(jié)構(gòu)基本靜定系及相當(dāng)系統(tǒng)已知外力系F在B點(diǎn)引起的位移令X1＝1時(shí)在3個(gè)方向引起的位移令X2＝1時(shí)在3個(gè)方向引起的位移令X3＝1時(shí)在3個(gè)方向引起的位移二、正則方程系數(shù)圖解示例AAxla【例14-3】求超靜定梁B端的約束反力.ACBaFl【解】1）本題為1次超靜定問(wèn)題，視支座B為多余約束，設(shè)X1為多余反力，得相當(dāng)系統(tǒng).ACBFX12）由單位載荷法求F單獨(dú)作用時(shí)，與X1相對(duì)應(yīng)的位移Δ1F.ACBFΔ1F13）求令X1＝1時(shí)，與X1相對(duì)應(yīng)的位移δ11在Δ1F中令a=l，F(xiàn)=-1得:4）由正則方程求解.三、例題aaF123456X1X1654321桿件（k）1111000【例14-4】求桁架各桿內(nèi)力.設(shè)各桿剛度相同.各桿內(nèi)力：11aa123456FFAORθB【例14-5】求圖示曲桿支座B的約束反力.AORθFB【解】1）該題為1次超靜定，視支座B為多余約束，X1為多余反力，得相當(dāng)系統(tǒng)AORθFB2）由單位載荷法求已知力F單獨(dú)作用時(shí)，與X1相對(duì)應(yīng)的位移Δ1FX1φ3）求令X1＝1時(shí)，與X1相對(duì)應(yīng)的位移δ11在Δ1F中令θ＝π/2，F(xiàn)=-1得4）由正則方程求解1【例14-6】超靜定剛架各桿抗彎剛度為EI，求B端約束反力.qaaACB【解】1）本題為3次超靜定.視支座B為多余約束，X1,X2,X3為多余反力,得相當(dāng)系統(tǒng)qaaACBX1X2X32）由單位載荷法求已知力q單獨(dú)作用時(shí)，與X1,X2,X3相對(duì)應(yīng)的位移Δ1F,Δ2F,Δ3Fqx2x1x2x11x2x11x2x113）求令X1＝1時(shí),與X1,X2,X3相對(duì)應(yīng)的位移δ11,δ21,δ31;X2＝1時(shí),與X1,X2,X3相對(duì)應(yīng)的位移δ12,δ22,δ32;X3＝1時(shí),與X1,X2,X3相對(duì)應(yīng)的位移δ13,δ23,δ33考慮到δij

＝δji，則x2x11x2x11x2x114）將所求系數(shù)代入正則方程求解負(fù)號(hào)表示多余反力的實(shí)際指向與假定方向相反.§14-3對(duì)稱及反對(duì)稱性質(zhì)的利用利用對(duì)稱結(jié)構(gòu)上載荷的對(duì)稱或反對(duì)稱性質(zhì)，可使正則方程簡(jiǎn)化.一、相關(guān)概念對(duì)稱結(jié)構(gòu)：幾何形狀、支承條件和各桿的剛度都對(duì)稱于某一軸線的結(jié)構(gòu).對(duì)稱載荷：對(duì)稱結(jié)構(gòu)上，作用位置、大小和方向都對(duì)稱于某一軸線的載荷.反對(duì)稱載荷：對(duì)稱結(jié)構(gòu)上，載荷的作用位置、大小對(duì)稱于某一軸線但方向卻反對(duì)稱于該軸線的載荷.對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱載荷反對(duì)稱載荷對(duì)稱內(nèi)力：對(duì)稱結(jié)構(gòu)上，作用位置、大小和方向都對(duì)稱于某一軸線的內(nèi)力.反對(duì)稱內(nèi)力：對(duì)稱結(jié)構(gòu)上，作用位置、大小對(duì)稱于某一軸線但方向反對(duì)稱于該軸線的內(nèi)力.同一截面上軸力、彎矩為對(duì)稱內(nèi)力，剪力為反對(duì)稱內(nèi)力.二、對(duì)稱載荷作用下內(nèi)力的特點(diǎn)FFFFX1X2X3X1X2X3對(duì)稱截面兩側(cè)水平相對(duì)位移、垂直相對(duì)位移和相對(duì)轉(zhuǎn)角均為零，即滿足正則方程F111F111四個(gè)彎矩圖中只有圖是反對(duì)稱的，其它圖則是對(duì)稱的，故必有：同理，由知：正則方程為：對(duì)稱結(jié)構(gòu)上承受對(duì)稱載荷作用時(shí)，對(duì)稱截面上的反對(duì)稱內(nèi)力(剪力)等于零δ12＝δ21＝δ23＝δ32＝0，δ22≠0三、反對(duì)稱載荷作用下內(nèi)力的特點(diǎn)FF111111FFFFX1X2X3X1X2X3四個(gè)彎矩圖中、圖是反對(duì)稱的，其它圖則是對(duì)稱的，故有：δ12＝δ21＝δ23＝δ32＝0同理，由知：δ11·δ13·δ22·

δ33≠0正則方程為：對(duì)稱結(jié)構(gòu)上承受反對(duì)稱載荷作用時(shí)，對(duì)稱截面上的對(duì)稱內(nèi)力(軸力和彎矩)均等于零.四、疊加原理某些載荷雖不是對(duì)稱或反對(duì)稱的，但可將其轉(zhuǎn)化為對(duì)稱與反對(duì)稱兩種載荷的疊加，分別求出對(duì)稱與反對(duì)稱兩種情況下的解，疊加后即得到原載荷作用下的解.2qqqq+彼此等效【例14-7】圖示剛架中Me=qa2，求彎曲內(nèi)力.qqaaaMex2q0.5MeX1x1【解】1）該結(jié)構(gòu)為反對(duì)稱結(jié)構(gòu)，故內(nèi)力只有剪力X1，為1次內(nèi)力超靜定問(wèn)題2）求彎矩方程3）由單位載荷法求Δ1F14）求δ115）求X1x2x1五、例題【例14-8】沿等截面圓環(huán)直徑AB兩端作用方向相反的一對(duì)力P.求圓環(huán)彎矩方程和直徑AB及CD的變化量.PPABCDRFNPACDX1FNX1X1FNAD【解】1）圓環(huán)受對(duì)稱于截面CD的載荷作用，故截面CD剪力為零2）軸力FN=P/2.故只有彎矩X1為未知，為1次超靜定問(wèn)題3）A截面轉(zhuǎn)角為零，視為夾緊端4）求FN單獨(dú)作用時(shí)的彎矩方程ADFNφR5）求令X1=1時(shí)的彎矩方程1ADφR6）求正則方程系數(shù)7）求解X18）求截面彎矩方程9）求直徑的變化量在上述M

(φ)中令P=1得附加單位力時(shí)的彎矩方程：【例14-9】圖示直角折桿截面直徑d=2cm，a=0.2m，l=1m，F(xiàn)=650N，E=200GPa，G=80GPa.求力作用點(diǎn)的垂直位移.a2FllaFlX1X2【解】1）該題可視為對(duì)稱載荷問(wèn)題，故其超靜定次數(shù)為2.2）求外載荷F作用時(shí)的內(nèi)力方程l段a段3）求分別令X1=1，X2=1時(shí)的內(nèi)力方程l段a段l段a段§14-4連續(xù)梁及三彎矩方程一、連續(xù)梁的標(biāo)記1）支座編號(hào)：從左至右依次編為0,1,2,…,i-1,i,i+1,…,n;2）跨度編號(hào)：從左至右依次編為