第十一章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

第四篇振動(dòng)波動(dòng)和波動(dòng)光學(xué)我們生活在波的海洋中第11章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)振動(dòng)：機(jī)械振動(dòng)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：

物體離開平衡位置的位移按余弦函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化。

是最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng)。

任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)單而又基本的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)所合成的。物體在一定位置(中心)附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。廣義上指任何一個(gè)物理量(例如，物體的位置、電流強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等)在某一定值附近的反復(fù)變化?！?1-1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式彈簧振子—由余弦函數(shù)表示，A：振幅，離開平衡位置的最大位移ωt+φ：φ：頻率v：v=1/T簡(jiǎn)諧振動(dòng)的重要特點(diǎn)是周期性周期

往復(fù)振動(dòng)一次的時(shí)間。角頻率單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)。位相或周相初相決定任意時(shí)刻系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。取決于系統(tǒng)初始狀態(tài)。三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度二、振動(dòng)曲線xtOAT？已知：四、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)原因例：彈簧振子忽略摩擦,振子所受合外力為：物體受到與位移成正比，但方向相反的合外力即——回復(fù)力，物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。，若振子質(zhì)量為m由牛頓第二定律得令:微分方程的解：—簡(jiǎn)諧振動(dòng)此微分方程的解為：A和φ由初始條件確定則：稱為固有頻率，與振幅無關(guān)。結(jié)論：若物體所受合外力F=-kx，物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)由：得：五、振動(dòng)表達(dá)式的建立關(guān)鍵：設(shè)表達(dá)式為：已知質(zhì)點(diǎn)沿X軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)圓頻率為ω，

t=0時(shí)，位移：x=x0

，振動(dòng)速度：v=v0求其振動(dòng)表達(dá)式。由（3）、（4）式得：初相位：解：設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為：t=0時(shí)：則速度表達(dá)式為：（1）（2）（3）（4）注意：區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，必須根據(jù)（4）式舍去一個(gè)。由已知條件確定確定需要根據(jù)初始位置與速度方向兩個(gè)條件。例11-2:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時(shí),

位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:1、振動(dòng)表達(dá)式。2、t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。3、如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-0.6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：1.設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為已知振幅A=0.12m，t=0時(shí)由（1）式：2.得：（1）由已知T=2s得：則t=0時(shí)得：簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為由（1）式知速度表達(dá)式為：（2）由簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式可得速度、加速度表達(dá)式分別為t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度分別為3.設(shè)在t1時(shí)刻，x=－0.06m代入振動(dòng)方程即：由可得在最大負(fù)位移的時(shí)刻由最大負(fù)位移的回到平衡位置需四分之一周期，因而共需時(shí)間???O–A–A/2由-0.06m處到負(fù)最大位移的時(shí)間設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為已知振幅A,t=0時(shí)，已知周期T，則由振動(dòng)曲線確定振動(dòng)表達(dá)式：？xtOATt=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)正向x軸正向移動(dòng)，v>0則則振動(dòng)表達(dá)式為x六、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法t=0tAxO長度為A的旋轉(zhuǎn)矢量以角速度w繞其一個(gè)端點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。t=0時(shí)刻旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角為f，t時(shí)刻旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角為wt+f，其另外一端在x軸上的投影為：旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。任一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于一旋轉(zhuǎn)矢量。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量振幅簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量長度角頻率旋轉(zhuǎn)矢量角速度初相位t

=

0時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量xx>0,旋轉(zhuǎn)矢量第一象限x>0,v>0旋轉(zhuǎn)矢量第四象限x<0,v<0旋轉(zhuǎn)矢量第二象限x<0,v>0旋轉(zhuǎn)矢量第三象限簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)速度為負(fù)——旋轉(zhuǎn)矢量在上方簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)速度為正——旋轉(zhuǎn)矢量在下方v<0三、相位差xA當(dāng)二個(gè)振動(dòng)的頻率相同時(shí)，相位差為第二個(gè)振動(dòng)比第一個(gè)振動(dòng)相位超前若

則振動(dòng)表達(dá)式：例11-3:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時(shí),

位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:(1)振動(dòng)表達(dá)式；(2)t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-0.6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：(1)T=2s簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為四、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用：x6cmA=12cm周期可得初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如上圖所示可得初相x/cm-6設(shè)質(zhì)點(diǎn)位于x=-0.6cm且向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量為此過程中旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度為質(zhì)點(diǎn)從x=-0.6cm到負(fù)的最大值，回到平衡時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量為由得所用時(shí)間為：圖中綠色矢量所示。(3)圖中藍(lán)色矢量所示。得微分方程該分方程的解：—簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)§11-1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征若物體所受合外力F=-kx，物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)由牛頓第二定律得令:2.單擺的討論Ol

mgT小球受力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律化簡(jiǎn)得當(dāng)θ很小時(shí)，結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。θ為振動(dòng)角位移，振幅為θ0例11-4:證明圖示系統(tǒng)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其頻率為

xk1k2Ｏ

x證明：設(shè)物體位移x，彈簧分別伸長x1和x2，從而聯(lián)立解得根據(jù)牛頓第二定律即振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其頻率為證畢。五、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量振子勢(shì)能：振子動(dòng)能：系統(tǒng)的總能量：1、振子在振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢(shì)能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。2、位移最大，勢(shì)能最大，但動(dòng)能最小。在振動(dòng)曲線的峰值。位移為0，勢(shì)能為0，但動(dòng)能最大，在振動(dòng)曲線的平衡位置。彈簧振子的能量曲線§11-3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成設(shè)：某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)表達(dá)式分別表示為令：則，

顯然，兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)的合成仍為諧振動(dòng)。其中，合振幅：合振動(dòng)的初位相：一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成（振幅、初相位不同）旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)：x由幾何關(guān)系：同理可得合振幅：φ的具體象限要根據(jù)φ1、φ2

確定。討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)和減弱1、位相差△φ=φ1

-φ2

=2kπk=0，±1，±2，±3，……合振幅加強(qiáng)：2、位相差△φ=φ1

-φ2=（2k+1）πk=0，±1，±2，±3，……合振幅減弱：合振動(dòng)的初位相：例11-5:兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(如圖所示)

(1)求合振動(dòng)的振幅。

(2)求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。xTt解:(1)t

=

0時(shí)，故，互為反相，合振幅最小(2)t

=

0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量圖：x例11-6:兩個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則(1)第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？(2)兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位差為多少？解：(1)依題意根據(jù)余弦定理(2)根據(jù)正弦定理二、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

相對(duì)于