第十一章振動學(xué)基礎(chǔ)

第四篇振動波動和波動光學(xué)我們生活在波的海洋中第11章振動學(xué)基礎(chǔ)振動：機(jī)械振動：簡諧運(yùn)動：

物體離開平衡位置的位移按余弦函數(shù)的規(guī)律隨時間變化。

是最基本、最簡單的振動。

任何復(fù)雜的振動都可以認(rèn)為是由若干個簡單而又基本的簡諧運(yùn)動所合成的。物體在一定位置(中心)附近作來回往復(fù)的運(yùn)動。廣義上指任何一個物理量(例如，物體的位置、電流強(qiáng)度、電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度等)在某一定值附近的反復(fù)變化。§11-1簡諧運(yùn)動的描述一、簡諧運(yùn)動的表達(dá)式彈簧振子—由余弦函數(shù)表示，A：振幅，離開平衡位置的最大位移ωt+φ：φ：頻率v：v=1/T簡諧振動的重要特點(diǎn)是周期性周期

往復(fù)振動一次的時間。角頻率單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)。位相或周相初相決定任意時刻系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的物理量。取決于系統(tǒng)初始狀態(tài)。三、簡諧運(yùn)動的速度與加速度二、振動曲線xtOAT？已知：四、簡諧運(yùn)動的動力學(xué)原因例：彈簧振子忽略摩擦,振子所受合外力為：物體受到與位移成正比，但方向相反的合外力即——回復(fù)力，物體做簡諧運(yùn)動。，若振子質(zhì)量為m由牛頓第二定律得令:微分方程的解：—簡諧振動此微分方程的解為：A和φ由初始條件確定則：稱為固有頻率，與振幅無關(guān)。結(jié)論：若物體所受合外力F=-kx，物體做簡諧振動由：得：五、振動表達(dá)式的建立關(guān)鍵：設(shè)表達(dá)式為：已知質(zhì)點(diǎn)沿X軸做簡諧振動，振動圓頻率為ω，

t=0時，位移：x=x0

，振動速度：v=v0求其振動表達(dá)式。由（3）、（4）式得：初相位：解：設(shè)振動表達(dá)式為：t=0時：則速度表達(dá)式為：（1）（2）（3）（4）注意：區(qū)間內(nèi)有兩個解，必須根據(jù)（4）式舍去一個。由已知條件確定確定需要根據(jù)初始位置與速度方向兩個條件。例11-2:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時,

位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動。求:1、振動表達(dá)式。2、t=0.5s時，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。3、如果在某時刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-0.6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：1.設(shè)簡諧振動表達(dá)式為已知振幅A=0.12m，t=0時由（1）式：2.得：（1）由已知T=2s得：則t=0時得：簡諧振動表達(dá)式為由（1）式知速度表達(dá)式為：（2）由簡諧振動表達(dá)式可得速度、加速度表達(dá)式分別為t=0.5s時，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度分別為3.設(shè)在t1時刻，x=－0.06m代入振動方程即：由可得在最大負(fù)位移的時刻由最大負(fù)位移的回到平衡位置需四分之一周期，因而共需時間???O–A–A/2由-0.06m處到負(fù)最大位移的時間設(shè)簡諧振動表達(dá)式為已知振幅A,t=0時，已知周期T，則由振動曲線確定振動表達(dá)式：？xtOATt=0時，質(zhì)點(diǎn)正向x軸正向移動，v>0則則振動表達(dá)式為x六、簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法t=0tAxO長度為A的旋轉(zhuǎn)矢量以角速度w繞其一個端點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)。t=0時刻旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角為f，t時刻旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角為wt+f，其另外一端在x軸上的投影為：旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)的投影為簡諧運(yùn)動。任一簡諧運(yùn)動對應(yīng)于一旋轉(zhuǎn)矢量。簡諧運(yùn)動旋轉(zhuǎn)矢量振幅簡諧運(yùn)動旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量長度角頻率旋轉(zhuǎn)矢量角速度初相位t

=

0時，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角簡諧運(yùn)動旋轉(zhuǎn)矢量xx>0,旋轉(zhuǎn)矢量第一象限x>0,v>0旋轉(zhuǎn)矢量第四象限x<0,v<0旋轉(zhuǎn)矢量第二象限x<0,v>0旋轉(zhuǎn)矢量第三象限簡諧運(yùn)動速度為負(fù)——旋轉(zhuǎn)矢量在上方簡諧運(yùn)動速度為正——旋轉(zhuǎn)矢量在下方v<0三、相位差xA當(dāng)二個振動的頻率相同時，相位差為第二個振動比第一個振動相位超前若

則振動表達(dá)式：例11-3:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧運(yùn)動，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時,

位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動。求:(1)振動表達(dá)式；(2)t=0.5s時，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；(3)如果在某時刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-0.6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：(1)T=2s簡諧振動的振幅為四、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用：x6cmA=12cm周期可得初始狀態(tài)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如上圖所示可得初相x/cm-6設(shè)質(zhì)點(diǎn)位于x=-0.6cm且向x軸負(fù)向運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量為此過程中旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度為質(zhì)點(diǎn)從x=-0.6cm到負(fù)的最大值，回到平衡時的旋轉(zhuǎn)矢量為由得所用時間為：圖中綠色矢量所示。(3)圖中藍(lán)色矢量所示。得微分方程該分方程的解：—簡諧運(yùn)動§11-1簡諧運(yùn)動的動力學(xué)特征若物體所受合外力F=-kx，物體做簡諧振動由牛頓第二定律得令:2.單擺的討論Ol

mgT小球受力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律化簡得當(dāng)θ很小時，結(jié)論：單擺的振動是簡諧運(yùn)動。θ為振動角位移，振幅為θ0例11-4:證明圖示系統(tǒng)的振動為簡諧運(yùn)動。其頻率為

xk1k2Ｏ

x證明：設(shè)物體位移x，彈簧分別伸長x1和x2，從而聯(lián)立解得根據(jù)牛頓第二定律即振動為簡諧振動。其頻率為證畢。五、簡諧運(yùn)動的能量振子勢能：振子動能：系統(tǒng)的總能量：1、振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機(jī)械能保持不變。2、位移最大，勢能最大，但動能最小。在振動曲線的峰值。位移為0，勢能為0，但動能最大，在振動曲線的平衡位置。彈簧振子的能量曲線§11-3簡諧運(yùn)動的合成設(shè)：某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時參與兩個獨(dú)立的同頻率的簡諧運(yùn)動，其運(yùn)動表達(dá)式分別表示為令：則，

顯然，兩個同方向同頻率的諧振動的合成仍為諧振動。其中，合振幅：合振動的初位相：一、兩個同方向同頻率簡諧運(yùn)動的合成（振幅、初相位不同）旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)：x由幾何關(guān)系：同理可得合振幅：φ的具體象限要根據(jù)φ1、φ2

確定。討論：合振動的加強(qiáng)和減弱1、位相差△φ=φ1

-φ2

=2kπk=0，±1，±2，±3，……合振幅加強(qiáng)：2、位相差△φ=φ1

-φ2=（2k+1）πk=0，±1，±2，±3，……合振幅減弱：合振動的初位相：例11-5:兩個同方向的簡諧運(yùn)動曲線(如圖所示)

(1)求合振動的振幅。

(2)求合振動的振動方程。xTt解:(1)t

=

0時，故，互為反相，合振幅最小(2)t

=

0時的旋轉(zhuǎn)矢量圖：x例11-6:兩個同方向，同頻率的簡諧運(yùn)動，其合振動的振幅為20cm，與第一個振動的相位差為。若第一個振動的振幅為。則(1)第二個振動的振幅為多少？(2)兩簡諧運(yùn)動的相位差為多少？解：(1)依題意根據(jù)余弦定理(2)根據(jù)正弦定理二、兩個同方向不同頻率簡諧運(yùn)動的合成

相對于