第六章誤差理論的基本知識(shí)

第六章誤差理論的基本知識(shí)主要內(nèi)容測(cè)量誤差概述偶然誤差的特性衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)觀測(cè)值的算術(shù)平均值基本要求：掌握產(chǎn)生誤差的原因和測(cè)量誤差分類，偶然誤差的特性，以及評(píng)定精度的指標(biāo)。重點(diǎn)：產(chǎn)生誤差的原因和測(cè)量誤差分類，算術(shù)平均值以及衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。難點(diǎn)：觀測(cè)值的中誤差。第一節(jié)誤差概述什么是誤差誤差（Error)Δ（真誤差）：觀測(cè)值L與真值X的差值。

Δ=L–X真值X：反映一個(gè)量真正大小的絕對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)值。1、觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因：人----觀測(cè)者感覺(jué)器官的鑒別力的局限儀器----測(cè)量?jī)x器與測(cè)量方法給觀測(cè)結(jié)果帶來(lái)誤差客觀環(huán)境----客觀環(huán)境給觀測(cè)結(jié)果帶來(lái)的影響觀測(cè)條件：人、儀器、客觀環(huán)境總稱觀測(cè)條件，它們是引起觀測(cè)誤差的主要因素。等精度觀測(cè)——觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)非等精度觀測(cè)——觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)2.測(cè)量誤差的分類（表現(xiàn)形式）1）偶然誤差(△a)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，若誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均不一致，而且從表而上看沒(méi)有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差單個(gè)偶然誤差無(wú)規(guī)律，大量偶然誤差有統(tǒng)計(jì)規(guī)律2）系統(tǒng)誤差（△s）在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，若誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響很大，具有一定的規(guī)律性可以采用一定的方法將系統(tǒng)誤差消除或減弱3）粗差（△g）由于觀測(cè)者疏忽大意，操作不當(dāng)，或受外界干擾等原因造成的測(cè)量錯(cuò)誤測(cè)量中粗差不允許出現(xiàn)測(cè)量中，可通過(guò)一定的檢核條件，判讀是否有粗差存在，如有則重新觀測(cè)以消除粗差3.學(xué)習(xí)誤差理論的目的了解偶然誤差產(chǎn)生的規(guī)律正確處理觀測(cè)成果，即根據(jù)一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度根據(jù)誤差理論來(lái)指導(dǎo)實(shí)踐，使測(cè)量作業(yè)能達(dá)到預(yù)期的精度要求。第二節(jié)偶然誤差的特性

在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了817個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。由于觀測(cè)結(jié)果中存在著偶然誤差，三角形的三個(gè)內(nèi)角觀測(cè)值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測(cè)值為L(zhǎng)i，則三角形內(nèi)角和的真誤差（或簡(jiǎn)稱誤差）為Δi=Li-X（i一1，2，…n）

Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

12

X=

k/n/d

Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

14

X=

k/n/d

1、偶然誤差的特性1)有界性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。

2)單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多。

3)對(duì)稱性：

絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)基本相等。

4)補(bǔ)償性：

偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的無(wú)限增加而趨于零。

當(dāng)n具有足夠大時(shí)，誤差在各個(gè)區(qū)間出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)就趨于穩(wěn)定。誤差分布曲線。其方程（稱概率密度）為式中參數(shù)σ是觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差）

σ對(duì)偶然誤差分布曲線形狀的影響f(Δ)ΔO0.6830.683σ愈小，曲線頂點(diǎn)愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。1)有界性：2)單峰性：3)對(duì)稱性：1．f(Δ)是偶函數(shù)。所以曲線對(duì)稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。2.Δ愈小，f（Δ）愈大。 當(dāng)Δ=0時(shí)，f（Δ）有最大值： Δ愈大，f（Δ）愈小。 當(dāng)Δ→±∞時(shí)，f（Δ）→0。 這就是偶然誤差的第一和第二特性。如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：對(duì)同一量觀測(cè)了n次對(duì)標(biāo)靶射n次觀測(cè)值為:l1,l2,l3,….ln如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的精度？成績(jī)多少？以上就是研究誤差的兩個(gè)目的第三節(jié)評(píng)定精度的指標(biāo) 在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一組觀測(cè)，如果該組誤差值總的說(shuō)來(lái)偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量好些，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差σ的值也較?。环粗闪?。 因此，一組觀測(cè)誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差值的大小，反映了該組觀測(cè)結(jié)果的精度。所以在評(píng)定觀測(cè)精度時(shí)，可用該組誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差σ的值。1.中誤差設(shè)對(duì)某真值

已知的量進(jìn)行了n次等精度獨(dú)立觀測(cè)得觀測(cè)值l1，l2，┄ln各觀測(cè)量的真誤差Δ1，

Δ2，┄Δn

觀測(cè)值精度可表示為：m稱為觀測(cè)值的中誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ跟中誤差m的不同，在于觀測(cè)個(gè)數(shù)n上例設(shè)對(duì)某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對(duì)它進(jìn)行了10次觀測(cè)，試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。中誤差與真誤差不同，它只是表示一組觀測(cè)值的精度指標(biāo)，并不等于任何觀測(cè)值的真誤差。由于是等精度觀測(cè)，每個(gè)觀測(cè)值的精度都等于中誤差?！?評(píng)定真誤差精度的指標(biāo)2.相對(duì)誤差真誤差和中誤差都是絕對(duì)誤差相對(duì)誤差是專門(mén)為距離測(cè)量定義的精度指標(biāo)相對(duì)誤差——絕對(duì)誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值之比通常用分子是1的分式形式來(lái)表示工程測(cè)量第六章測(cè)量誤差的基本知識(shí)例如丈量?jī)蓷l直線，一條長(zhǎng)100m，另一條長(zhǎng)20m，它們的中誤差都是全10mm，那么，能不能說(shuō)兩者測(cè)量精度相同呢？即前者的精度比后者高。實(shí)踐證明：大于一倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為31.7%。大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為4.6％。大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占3‰左右。3、極限誤差結(jié)論：在觀測(cè)次數(shù)不多的情況下，可認(rèn)為大于三倍中誤差的偶然誤差實(shí)際上是不可能出現(xiàn)的測(cè)量中常取兩倍中誤差作為誤差的限值，也就是在測(cè)量中規(guī)定的容許誤差（或稱限差）。|Δ容|=2m在有的測(cè)量規(guī)范中也有取三倍中誤差作為容許誤差的。|Δ容|=3m第四節(jié)算術(shù)平均值及其中誤差

設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L2……Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個(gè)觀測(cè)值確定出該未知量的最或然值。設(shè)未知量的真值為X，寫(xiě)出觀測(cè)值的真誤差公式為?i=Li-X(i=1,2…n)將上式相加得或故設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值，即以?X表示算術(shù)平均值的真誤差，即代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，?X趨近于零，即也就是說(shuō)，n趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值x即為真值。1、等精度獨(dú)立觀測(cè)量的最可靠值在等精度觀測(cè)條件下對(duì)某一量進(jìn)行多次觀測(cè)通常取算術(shù)平均值作為最后結(jié)果算術(shù)平均值是未知量的最可靠值或最或然值。2.白塞爾公式在實(shí)際工作中常用觀測(cè)值的改正數(shù)求中誤差算術(shù)平均值和觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值的改正數(shù)，通常以v表示。兩端取和，得：將改正數(shù)和真誤差相加得：即：將上式相乘，然后取和，得：上式兩端除n，得：由于Δ1，Δ2，┄Δn

都是偶然誤差，故Δ1Δ2

，Δ1Δ3┄也具有偶然誤差的性質(zhì)。根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性，當(dāng)n

趨于無(wú)窮大時(shí)，其總和應(yīng)趨近于零，即趨近于零當(dāng)n為較大的有限值時(shí)，的值也遠(yuǎn)小于[ΔΔ]，故可忽略不記。于是上式得：根據(jù)中誤差的定義得：即：這就是利用觀測(cè)值改正數(shù)Vi