桿件的內(nèi)力和內(nèi)力圖-彎曲

§2.4彎曲桿件的內(nèi)力—剪力和彎矩2.4.1彎曲桿件的特點(diǎn)、工程實(shí)例及力學(xué)模型1）彎曲桿件的特點(diǎn)受力特點(diǎn)：桿件受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或外力偶（其矢量垂直于桿軸）作用。MeMeABF

桿件承受垂直于其軸線的外力（橫向力）或位于其軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時(shí)，桿件的軸線將有變形前的直線變形成變形后的曲線，這種變形形式稱為彎曲變形。工程上把主要發(fā)生彎曲的桿件稱為梁。變形特點(diǎn)：直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€；最基本常見(jiàn)的彎曲類型：——對(duì)稱彎曲（平面彎曲）:梁變形后的軸線與外力都在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)FAAF1F2

B對(duì)稱軸縱向?qū)ΨQ面FB特例平面彎曲構(gòu)件特征構(gòu)件為具有縱對(duì)稱面的等截面直桿。受力特征外力或外力偶均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。變形特征桿軸線變形后為縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線平面彎曲平面彎曲平面彎曲具有縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對(duì)稱軸所構(gòu)成的平面外力都作用在此面內(nèi)彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線否則稱為橫力彎曲?？v向平面內(nèi)只有彎矩，稱為純彎曲。常見(jiàn)彎曲構(gòu)件截面非對(duì)稱彎曲（斜彎曲）——梁變形后軸線所在平面與外力所在平面不重合。yzFPzyFPqxq2）工程實(shí)例3）梁的計(jì)算模型（計(jì)算簡(jiǎn)圖）

梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。（1）構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化

通常取梁的軸線來(lái)代替梁。（2）載荷簡(jiǎn)化

作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡(jiǎn)化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。計(jì)算簡(jiǎn)圖的選取原則

正確反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力情況，并使其變形盡可能與實(shí)際相符；與計(jì)算手段相適應(yīng)，簡(jiǎn)化甚至忽略對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形影響較小的次要因素，使計(jì)算簡(jiǎn)化，但要保證足夠的精度。

均勻分布荷載線性(非均勻)分布荷載分布荷載集中力偶作用在梁上的載荷形式集中力①固定鉸支座（3）支座簡(jiǎn)化②可動(dòng)鉸支座FAyFAyFAxFAy③固定端FAxFAyMA石油、化工設(shè)備中各種直立式反應(yīng)塔，底部與地面固定成一體，因此，可以簡(jiǎn)化為一端固定的懸臂梁。在風(fēng)力載荷作用下，反應(yīng)塔將發(fā)生彎曲變形。工程實(shí)例懸臂梁火車輪軸支撐在鐵軌上，鐵軌對(duì)車輪的約束，可以看作鉸鏈支座，火車輪軸可簡(jiǎn)化為兩端外伸梁。由于軸自身重量與車廂以及車廂內(nèi)裝載的人貨物的重量相比要小得多，可以忽略不計(jì)，因此，火車輪軸將發(fā)生彎曲變形。工程實(shí)例外伸梁

橋式吊車的大梁可以簡(jiǎn)化為兩端餃支的簡(jiǎn)支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布載荷q)的作用下,大梁將發(fā)生彎曲。

工程實(shí)例簡(jiǎn)支梁靜定梁:支座反力可以由靜力平衡方程求解的梁。超靜定梁:支座反力僅由靜力平衡方程不能求解的梁。梁：以彎曲變形為主的桿件。梁按支承方式分類懸臂梁簡(jiǎn)支梁外伸梁外伸梁外伸梁aFAB(a)mmx

以圖(a)所示受集中力F

作用的簡(jiǎn)支梁為例，來(lái)分析梁任意橫截面上的內(nèi)力。2.4.2梁任一橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩求梁任一橫截面上的內(nèi)力仍然用截面法aFAmmxB(a)FQ

首先利用整體平衡求支座反力，然后用截面法假想地在橫截面mm處把梁分為兩段，先分析梁左段。因?yàn)樵谶@段梁上有向上的外力FAy所以在橫截面mm上必有一個(gè)與FAy平行而指向相反的內(nèi)力FQ。FAyFBy(b)xxmAmyCFAyaFAmmxB(a)FQ由平衡方程得可得FQ=FAyFQ

稱為剪力(b)xxmAmyCFAyFByFAy(b)由于外力FAy與剪力FQ組成了一個(gè)力偶，因而在此橫截面上必頂還有一個(gè)與其平衡的內(nèi)力偶，設(shè)其矩為M

。aFABmmx(a)FQM可得M=FAyx由平衡方程(b)xxmAmyCFAy此內(nèi)力偶稱為

彎矩MFQ取右段梁為研究對(duì)象。其上剪力的指向和彎矩的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為研究對(duì)象所示相反。(b)xxmAmyCFQMmmBF(c)FByFAyFＱ和Ｍ的正負(fù)號(hào)的規(guī)定dxmmFQFQ+剪力符號(hào)使dx

桿段有

左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，桿段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，桿段左右橫截面

上的剪力為正----即：使dx桿段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正。（對(duì)于水平桿段左上右下為正）。左：脫離體左截面右：脫離體右截面使dx

桿段有

左端向下而右端向上

的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，桿段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，桿段左、右橫截面

上的剪力為負(fù)----即：使dx桿段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為負(fù)。（對(duì)于水平桿段左下右上為負(fù)）。dxmmFQFQ左：脫離體左截面右：脫離體右截面_mm+_當(dāng)dx

桿段的彎曲下凸即該段的下半部受拉

時(shí)，左、右橫截面上的彎矩為正。對(duì)于水平桿段：左順右逆為正；

彎矩符號(hào)（受拉）MMmm（受壓）MM當(dāng)dx

桿段的彎曲上凸即該段的下半部受拉壓時(shí)，左、右橫截面

上的彎矩為負(fù)。對(duì)于水平桿段：左逆右順為負(fù)。左：脫離體左截面右：脫離體右截面剪力：彎矩：使桿段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正（對(duì)水平桿段左上、右下為正）,反之為負(fù)使桿段下側(cè)受拉為正（對(duì)水平桿段左順、右逆為正），反之為負(fù)簡(jiǎn)言之左：脫離體左截面右：脫離體右截面FPll例題ABCD

一端固定另一端自由的梁，稱為懸臂梁。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用。MO=2FPl

試確定:截面C及截面D上的剪力和彎矩。C、D截面與加力點(diǎn)無(wú)限接近。

FPFPllABCDMO=2FPl

解：1)應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程確定固定端的約束力。

2)應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量

用假想截面將梁C截面處截開(kāi)，以左邊部分為平衡對(duì)象。

因?yàn)橥饬εc梁軸線都在同一平面內(nèi)，而且沒(méi)有沿桿件軸線方向的外力作用，所以橫截面上沒(méi)有軸力和扭矩，只有剪力和彎矩兩種內(nèi)力分量。MA＝0AClFPMA＝0FQCMCFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl

2)應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量CAFPlMA＝0

假設(shè)截開(kāi)橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開(kāi)的局部平衡建立平衡方程：所得結(jié)果均為正值，這表明所假設(shè)的C截面上的剪力和彎矩的正方向是正確的。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl

3)應(yīng)用截面法確定D截面上的內(nèi)力分量AFPMA＝0llMO=2FPlD

用假想截面將梁D截面處截開(kāi)，以左邊部分為平衡對(duì)象。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl

3)應(yīng)用截面法確定D截面上的內(nèi)力分量

假設(shè)截開(kāi)橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開(kāi)的局部平衡建立平衡方程：因?yàn)镈截面無(wú)限接近B截面，所以式中MDFQDAFPMA＝0llMO=2FPlD4)討論

本例中所選擇的研究對(duì)象都是C、D截面以左部分梁，因而需要首先確定左端的約束力。如果以C、D截面以右部分梁作為平衡對(duì)象，則無(wú)需確定約束力。計(jì)算過(guò)程會(huì)更簡(jiǎn)單些。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl例求圖示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4橫截面上的剪力和彎矩。解：支反力為

xyAFBaa2a11224433M

=3FaFByFAy截面1—1截面2—2M1FQ1FC111FAyM2FQ2FC222

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFByFAy截面3—3截面4—4

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFByFAy33C3M3FFQ3FAyFQ4M44C4FBy4內(nèi)力1—12—23—34—4FQ-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1)橫截面上的剪力和彎矩在數(shù)值上由截面左側(cè)或右側(cè)梁段脫離體的靜力平衡方程來(lái)確定。

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F總結(jié)以上例題：2）在集中力作用處，剪力值發(fā)生突變，突變值=集中力大小，彎矩?zé)o變化。在集中力偶作用處，彎矩值發(fā)生突變，突變值=集中力偶矩大小，剪力無(wú)變化。內(nèi)力1—12—23—34—4FQ-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F截面1—1M1FQ1FC111截面2—2FAyM2FQ2FC222截面3—333C3M3FFQ3FAy截面4—4FQ4M44C4FBy4FQFPFPFQFPFPFQFQ+-剪力剪力剪力等于脫離體上所有外力沿軸線法線方向投影的代數(shù)和，對(duì)切開(kāi)面而言，使脫離體產(chǎn)生順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的外力產(chǎn)生正的剪力，反之，使脫離體產(chǎn)生逆時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的外力產(chǎn)生負(fù)的剪力。對(duì)于水平桿段左上右下為正,反之為負(fù)左上：取左部分為脫離體，向上的外力產(chǎn)生正的剪力右下：取右部分為脫離體，向下的外力產(chǎn)生正的剪力FPFPFPFP+-MMMM彎矩UUMMMM+-彎矩等于脫離體上所有外力對(duì)切開(kāi)面形心力矩的代數(shù)和，對(duì)水平桿件而言，使脫離體下側(cè)受拉的外力產(chǎn)生正的彎矩，使脫離體上側(cè)受拉的外力產(chǎn)生負(fù)的彎矩。對(duì)于水平桿件向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。對(duì)于力偶：左順右逆為正，反之為負(fù)左順：取左部分為脫離體，順時(shí)轉(zhuǎn)向的力偶產(chǎn)生正的彎矩右逆：取右部分為脫離體，逆時(shí)轉(zhuǎn)向的力偶產(chǎn)生正的彎矩例：求指定截面上的內(nèi)力FQA左，F(xiàn)QA右，F(xiàn)QD左，F(xiàn)QD右

，

MD左，

MD右，

FQB左，F(xiàn)QB右。解：FAy=14.5kNFBy=3.5kNm=3kN.m2m2m4mCADBFAyFBym=3KN.m2m2m4mCADBFAyFBy例:

求A、B、C、D截面的內(nèi)力。解：求支反力左端點(diǎn)A：B點(diǎn)左：B點(diǎn)右：C點(diǎn)左：C點(diǎn)右：右端點(diǎn)D：qqa2qaFAy=0.5qaFDy=0.5qaABCD3aalABC例:圖中所示擋土墻木樁的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示。它是一根在整個(gè)長(zhǎng)度上受線性分布荷載作用的懸臂梁。已知最大荷載集度為q0=20kN/m，

梁長(zhǎng)l=2m

，a=1m。求C、B兩點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩。

解：

先計(jì)算C橫截面上的剪力

FQC和彎矩MC

。從對(duì)左段梁寫出的平衡方程alABCAcaFQC

和彎矩MC

都為負(fù)值，亦即它們的指向和轉(zhuǎn)向都和圖中相反。

再計(jì)算B

橫截面上的剪力

FQB

和彎矩

MB，沿支座B

假想地截開(kāi)，從對(duì)左段梁寫出的平衡方程

AalBClABFQBFQB

和MB都為負(fù)值lABFQB不同橫截面處剪力、彎矩的大小是不同的，需要找出內(nèi)力最大的最危險(xiǎn)截面，即需要繪出梁的內(nèi)力圖。

繪制剪力圖和彎矩圖有兩種方法：第一種方法是列方程法。根據(jù)剪力方程和彎矩方程，在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中首先標(biāo)出剪力方程和彎矩方程定義域兩個(gè)端點(diǎn)的剪力值和彎矩值，得到相應(yīng)的點(diǎn)；然后按照剪力和彎矩方程的類型，繪制出相應(yīng)的圖線，便得到所需要的剪力圖與彎矩圖

繪制剪力圖和彎矩圖的第二種方法是控制截面法。先在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中標(biāo)出控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值，然后應(yīng)用載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系，確定控制面之間的剪力和彎矩圖線的形狀，因而無(wú)需首先建立剪力方程和彎矩方程。

作用在梁上的平面載荷，如果不包含縱向力，這時(shí)梁的橫截面上將只有彎矩和剪力。表示剪力和彎矩沿梁軸線方向變化規(guī)律的圖線，分別稱為剪力圖和彎矩圖。2.4.3梁的內(nèi)力圖——剪力圖和彎矩圖剪力方程彎矩方程反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式第一種方法:列方程法

-----剪力方程和彎矩方程及剪力圖和彎矩圖

分段——建立剪力方程和彎矩方程時(shí)，需要根據(jù)梁上的外力(包括載荷和約束力)作用狀況，確定控制面，從而確定要不要分段，以及分幾段建立剪力方程和彎矩方程。

分別建立各段的內(nèi)力方程——確定了分段之后，首先，在每一段中任意取一橫截面，假設(shè)這一橫截面的坐標(biāo)為x；然后從這一橫截面處將梁截開(kāi)，并假設(shè)所截開(kāi)的橫截面上的剪力FQ(x)和彎矩M(x)都是正方向；最后分別應(yīng)用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和彎矩M(x)的表達(dá)式，這就是所要求的剪力方程FQ(x)和彎矩方程M(x)。

繪圖——為了繪出剪力圖、彎矩圖，必須建立坐標(biāo)系，用軸線表示橫截面的位置，坐標(biāo)軸的正方向自左至右，和軸線垂直的軸表示對(duì)應(yīng)橫截面上的內(nèi)力，正方向鉛垂向上。

xMxxFQBAlFAyqFBy例：簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝FBy＝ql/22．寫出剪力和彎矩方程yxCx3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。FQxMx0.5lBAlFAyFBy例：圖示簡(jiǎn)支梁C點(diǎn)受集中力作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝Fb/l

FBy＝Fa/l2．寫出剪力和彎矩方程x2FQxx1ACCB3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CabFPM發(fā)生在集中荷載作用處發(fā)生在AC段b>a時(shí)FQ

FPblxFPblMxFPablFP

BlAabCa=b=l/2時(shí)，BAlFAyFBy例：圖示簡(jiǎn)支梁C點(diǎn)受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．寫出剪力和彎矩方程x2x1ACCB3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CMabFQ圖M圖b>a時(shí)發(fā)生在C截面右側(cè)Bl/2FAy

AFByCMl/2FQlxMMxM/2M/2思考：對(duì)稱性與反對(duì)稱性BFAy

AFByCFP

l/2l/2xMFPl/4xFP/2FP/2FQBl/2FAy

AFByCMl/2FQlxMMxM/2M/2結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力對(duì)稱時(shí)，彎矩圖為正對(duì)稱，剪力圖為反對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力反對(duì)稱時(shí)，彎矩圖為反對(duì)稱，剪力圖為正對(duì)稱結(jié)論：FQxMx0.5lBAl0.5qlq0.5qlyx例：示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、以自由端為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可不求反力列剪力方程和彎矩方程：ABxlBxFQ(x)M(x)2、作剪力圖和彎矩圖注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。xqlFS

ql22xMl/2ql28ABlABFP例題：一簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載FP的作用如圖所示的。試求梁的最大彎矩為極大時(shí)荷載FP的位置。解：先設(shè)FP

在距左支座A

為x的任意位置。求此情況下梁的最大彎矩。荷載在任意位置時(shí)，支反力為：ABlFAyFByFP當(dāng)荷載FP

在距左支座為

的任意位置時(shí)，梁的最大彎矩即為C

點(diǎn)處橫截面上的彎矩M

C，其值為：AB令A(yù)BlFPFPFAyFByC此結(jié)果說(shuō)明：當(dāng)移動(dòng)荷載F

P

在簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大。得最大彎矩值代入式將第二種方法：控制截面法

繪制剪力圖和彎矩圖的第二種方法是控制截面法。先在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中標(biāo)出控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值，然后應(yīng)用載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系，確定控制面之間的剪力和彎矩圖線的形狀，因而無(wú)需首先建立剪力方程和彎矩方程。

xyq(x)FPm1）彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系q=q(x)規(guī)定：q(x)向上為正。將x

軸的坐表原點(diǎn)取在梁的左端。設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度1.彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用內(nèi)力是由外荷載引起的，兩者必然存在著內(nèi)在的關(guān)系。FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)假想地用坐標(biāo)為x

和x+dx的兩橫截面m-m和n-n從梁中取出dx

一段。xyq(x)FPmxmmnndxmmnnq(x)Cx+dx

截面處則分別為

FQ(x)+dFQ(x),M(x)+dM(x)。由于dx很小，略去q(x)

沿dx的變化m-m截面上內(nèi)力為FQ(x)，M(x)Fy=0FQ(x)-[FQ(x)+dFQ(x)]+q(x)dx=0得到

Mc=0[M(x)+dM(x)]-M(x)-FQ(x)dx-q(x)dx.dx2=0寫出平衡方程FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二階無(wú)窮小量即得=q(x)dFQ(x)dx=FQ(x)dM(x)dx=q

(x)d2M(x)dx2dM(x)dx=FQ(x)

dM(x)2dx2=q(x)=q(x)dxdFQ(x)公式的幾何意義剪力方程的一階導(dǎo)數(shù)等于對(duì)應(yīng)梁段上的荷載分布集度?；蚣袅D上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小彎矩方程的一階導(dǎo)數(shù)等于對(duì)應(yīng)梁段上的剪力；彎矩方程的二階導(dǎo)數(shù)等于對(duì)應(yīng)梁段上的荷載分布集度。或彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。

dM(x)22dx=q(x)dx=FQ(x)dxdFQ(x)

=q(x)dM(x)M(x)圖為一向下凸的二次拋物線FQ(x)圖為一向右下方傾斜的直線xFQ(x)oM(x)xoq(x)、FQ（x）圖、M（x）圖三者間的關(guān)系梁上有向下的均布荷載，即

q(x)<0梁段上無(wú)荷載作用，即

q(x)=0剪力圖為一條水平直線彎矩圖為一斜直線xFQ(x)oxoM(x)xM(x)o當(dāng)FQ(x)>0時(shí)，向右下方傾斜。當(dāng)FQ(x)<0時(shí)，向右上方傾斜。

dM(x)22dx=q(x)dx=FQ(x)dxdFQ(x)

=q(x)dM(x)梁上最大彎矩可能發(fā)生在FQ(x)=0的截面上或梁段邊界的截面上。最大剪力發(fā)生在全梁或梁段的界面。在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值。彎矩圖的相應(yīng)處形成尖角。在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無(wú)變化。

dM(x)22dx=q(x)dx=FQ(x)dxdFQ(x)

=q(x)dM(x)剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力無(wú)外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FQ圖特征M圖特征CFCm水平直線xFQ>0FQ<0x斜直線增函數(shù)xx降函數(shù)xC自左向右突變xC無(wú)變化斜直線xM增函數(shù)xM降函數(shù)曲線xM山峰狀xM盆狀自左向右折角

自左向右突變與m反xM折向與F反向MxM1M2利用以上特征1)可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確；2)可以不建立剪力方程和彎矩方程，利用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖?？刂平孛娣ɡL制剪力圖與彎矩圖主要步驟如下：根據(jù)載荷及約束力的作用位置，分段，確定控制面。應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值(假定剪力和彎矩都為正方向)。建立FQ一x和M一x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。

應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進(jìn)而畫出剪力圖與彎矩圖。

求支座反力。BA簡(jiǎn)支梁受力的大小和方向如圖示。例題1kN.m2kN1.5m1.5m1.5m

試畫出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值的最大值。

解：1)確定約束力求得A、F

二處的約束力FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN

FAyFBy根據(jù)力矩平衡方程

2)分段、確定控制面

在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均為控制面。

3)建立坐標(biāo)系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系

xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFByFAy

5)根據(jù)微分關(guān)系連圖線因?yàn)榱荷蠠o(wú)分布載荷作用，所以剪力FQ圖形均為平行于x軸的直線；彎矩M圖形均為斜直線。于是，順序連接FQ－x和M－x坐標(biāo)系中的a、b、c、d、e、f各點(diǎn)，便得到梁的剪力圖與彎矩圖。

xFQ/kNOxM/kN.mO4)應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFAyFByBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89方法一（-）（+）FAy＝0.89kN

FFy＝1.11kN

FByBA1.5m1.5m1.5mFAy1kN.m2kNDCFQ（kN）0.891.11方法二（-）（-）1.3350.3351.665M（kN.m）

6)確定剪力與彎矩的最大絕對(duì)值xFQ/kNOxM/kN.mOBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFAyFByBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對(duì)值的最大值分別為:

(發(fā)生在EF段)

(發(fā)生在D、E截面上)

從所得到的剪力圖和彎矩圖中不難看出AB段與CD段的剪力相等，因而這兩段內(nèi)的彎矩圖具有相同的斜率。xFQ/kNOxM/kN.mOBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFAyFByBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89

此外，在集中力作用點(diǎn)兩側(cè)截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用處兩側(cè)截面上的彎矩是不相等的，其差值分別為集中力與集中力偶的數(shù)值，這是由于維持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。

建議大家自行加以驗(yàn)證。

例題qBADa4aqaFAyFBy

梁由一個(gè)固定鉸鏈支座和一個(gè)輥軸支座所支承，但是梁的一端向外伸出，這種梁稱為外伸梁,梁的受力以及各部分尺寸均示于圖中。

試畫出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值的最大值。

解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由

求得A、B二處的約束力qBADa4aqaFAyFByCOxFQOxM

2．分段、確定控制面由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個(gè)截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的C截面，以及集中力qa左側(cè)的D截面，也都是控制面。

3．建立坐標(biāo)系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系

qaqBADa4aFAyFByOxFQOxM9qa/4a9qa/4bdqacqaadb,cqa2

4．確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。qaqBADa4aFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線對(duì)于剪力圖：在AB段，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線，于是連接a、b兩點(diǎn)，即得這一段的剪力圖；在CD段，因無(wú)分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸的直線，由連接c、d二點(diǎn)而得，或者由其中任一點(diǎn)作平行于x軸的直線而得。

qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線對(duì)于彎矩圖：在AB段，因有均布載荷作用，圖形為二次拋物線。又因?yàn)閝向下為負(fù)，彎矩圖為凸向M坐標(biāo)正方向的拋物線。于是，AB段內(nèi)彎矩圖的形狀便大致確定。為了確定曲線的位置，除AB段上兩個(gè)控制面上彎矩?cái)?shù)值外，還需確定在這一段內(nèi)二次拋物線有沒(méi)有極值點(diǎn)，以及極值點(diǎn)的位置和極值點(diǎn)的彎矩?cái)?shù)值。從剪力圖上可以看出，在e點(diǎn)剪力為零。

9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEqAExE

6．確定彎矩圖極值點(diǎn)的位置。qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEe81qa2/32eEOxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

7．確定剪力與彎矩的最大絕對(duì)值從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對(duì)值的最大值分別為

OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

注意到在右邊支座處，由于約束力的作用，該處剪力圖有突變（支座兩側(cè)截面剪力不等）彎矩圖在該處出現(xiàn)折點(diǎn)（彎矩圖的曲線段在該處的切線斜率不等于斜直線cd的斜率）。

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

FQ

9qa/4

7qa/4qa（+）

M

81qa2/32qa2xQFQxqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq例題qqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqq例題FQqq例題aaqaqA解：左端點(diǎn)：分區(qū)點(diǎn)A：M的駐點(diǎn)：右端點(diǎn)：FQxqa2–qa–xM例：繪出下列懸臂梁的內(nèi)力圖例:畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解：求支反力左端點(diǎn)A：B點(diǎn)左：B點(diǎn)右：C點(diǎn)左：M的駐點(diǎn)：C點(diǎn)右：右端點(diǎn)D：qqa2qaFAyFDyFQxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+B3aACM=3qa2axq例：試?yán)脧澗亍⒓袅εc分布荷載集度間的微分關(guān)系作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、支反力為FByB3aACM=3qa2axqFAyAC段：q=0剪力圖為水平直線剪力值2、作剪力圖FQ5qa/3xqa/38a/3xFByB3aACM=3qa2axqCB段：q=常量<0剪力圖為向右下方傾斜的斜直線FAy3、作彎矩圖AC段彎矩圖→斜直線CB段彎矩圖→二次拋物線B3aACM=3qa2axqMx4qa2/35qa2/3qa2/18（+）FQ5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/3qa2/185qa2/3（+）例題:一簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)力FP作用如圖所示。已知FP=25.3KN，有關(guān)尺寸如圖所示。試用控制截面法作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：求梁的支反力。由平衡

方程mB=0和mA=0

得將梁分為AC，CD，DB三段。每一段均屬無(wú)外力段。ABCD2001151265FPFP剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線AC段：FQ1

=FAy

=23.6kNCD段：FQ2=FAy-FP=-1.7kNDB段：FQ3

=-FBy

=-27kNABCD2001151265FPFP123最大剪力發(fā)生在DB段中的任一橫截面上+1.72723.6FQ圖（kN)ABCD2001151265FPFP123彎矩圖每段梁的彎矩圖均為斜直線。且梁上無(wú)集中力偶。故只需計(jì)算A、C、D、B各點(diǎn)處橫截面上的彎矩。+4.723.11M圖（kN.m）最大彎矩發(fā)生在C截面對(duì)圖形進(jìn)行校核在集中力作用的C，D

兩點(diǎn)剪力圖發(fā)生突變，突變值

FP=25.3kN。而彎矩圖有尖角。在AC段剪力為正值，彎矩圖為向下傾斜的直線。在CD和DB段，剪力為負(fù)值，彎矩圖為向上傾斜的直線。最大彎矩發(fā)生在剪力改變正，負(fù)號(hào)的C點(diǎn)截面處。說(shuō)明剪力圖和彎矩圖是正確的。+1.72723.6ABCDFPFP123+4.723.11FQ圖（kN)M圖（kN.m)=5mFx3m4m4m4mABcDE例:作梁的內(nèi)力圖解：支座反力為7kN1kN++-3kN3kN2kNFQ圖3m4m4m4mABcDE例:作梁的內(nèi)力圖解：支座反力為+-20.5201666

M圖（kN.m)例:試?yán)L出圖示有中間鉸的靜定梁的剪力彎矩圖。已知：(逆時(shí)針)1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

M=5kN·mF=50kNMA

FAx

FAyFBy

96.515.53155345M圖(kN·m)813129FQ圖(kN)1.45m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

M=5kN·mF=50kN中間鉸鏈傳遞剪力（鉸鏈左，右兩側(cè)的剪力相等）；但不傳遞彎矩（鉸鏈處彎矩必為零）。81kN29kN96.5kN.m例題:一簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，其集度q=100kN/m,

如圖所示。作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：計(jì)算梁的支反力將梁分為AC、CD、DB三段。AC和DB上無(wú)荷載，CD段有向下的均布荷載。EqABCD0.21.612剪力圖EqABCD0.21.61221DB段：水平直線最大剪力發(fā)生在CD

和DB

段的任一橫截面上。

CD段：向右下方的斜直線AC段：水平直線

FQ1

=FAy

=80kN+80KN80KNFQ圖EqABCD0.21.61221彎矩圖AC段：向下傾斜的直線CD段：向下凸的二次拋物線+80kN80kN其極值點(diǎn)在FQ=0的中點(diǎn)E處的橫截面上。DB段：向上傾斜的直線

MB

=

0FQ圖EqABCD0.21.61221+161648M圖（kN.m）

MB

=

0全梁的最大彎矩梁跨中E點(diǎn)的橫截面上。FAyFBy例改內(nèi)力圖之錯(cuò)。a2aaqqa2ABFQxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4式中，F(xiàn)QA，F(xiàn)QB分別為在x=a,x=b處兩各橫截面A及B上的剪力。等號(hào)右邊積分的幾何意義是上述兩橫截面間分布荷載圖的面積。若在x=a和x=b處兩個(gè)橫截面A，B間無(wú)集中力則2）彎矩、剪力與分布荷載集度間的積分關(guān)系注意：A

B必須根據(jù)脫離體確定若橫截面A，B間無(wú)集中力偶作用則得式中，MA，MB分別為在x=a,x=b處兩個(gè)橫截面A

及B上的彎矩。等號(hào)右邊積分的幾何意義是A，B兩個(gè)橫截面間剪力圖的面積。注意：AB根據(jù)脫離體確定例題:利用積分關(guān)系計(jì)算

梁C、E

兩橫截面上的剪力和彎矩。EABCD0.21.612在CE段中在AC段中q=0，且FQA=FAy解：FAy=80kNFBy=80kNq=100kN/m+80kN80kN(b)EqABCD0.21.612在AC段中FQc=80kN，剪力圖為矩形，MA

=0FQ圖FAy=80kNFBy=80kN+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在CE段中，剪力圖為三角形FQC=80kN，MC=16kN.mFAy=80kNFAy=80kNFBy=80kNFP=20kN解：畫荷載圖CABD例題：已知