第三章組合邏輯電路的分析與設(shè)計

P89組合邏輯電路：在任何時刻，輸出狀態(tài)僅僅決定于該時刻各輸入信號的狀態(tài)的組合，而與電路先前的狀態(tài)無關(guān)的邏輯電路。特點：1、輸出與輸入之間沒有反饋回路2、電路中沒有記憶單元。

第三章組合邏輯電路的分析與設(shè)計

一、邏輯代數(shù)二、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法三、組合邏輯電路的分析四、組合邏輯電路的設(shè)計五、組合邏輯電路中的競爭冒險（自學(xué)）一、邏輯代數(shù)end1、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式2、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則（定理）3、邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡法（1）基本定律（2）常用恒等式

①0-1律

②重疊律

③還原律

④互補律

⑤結(jié)合律

⑥交換律

⑦分配律

⑧反演律（摩根定律）

⑨吸收律證明，見P91，大家自己看0-1律：A+0=AA·0=0A+1=1A·1=A注意：邏輯代數(shù)中的0和1與普通代數(shù)是有區(qū)別的，前面已經(jīng)講過，不再贅述。為了方便大家理解，我們不妨借鑒《概率論》中的文氏圖來表達?？占磉壿?，而全集代表邏輯1。邏輯與相當于求各集合的交集，邏輯或相當于求各集合的并集，而邏輯非則相當于求集合的補集。若要證明，通常最有效的方法是利用真值表。（定律不需要證明）A重疊律：A+A=AA·A=AA注意：A+A=2AA·A=A2還原律：A互補律：A結(jié)合律：（A+B）+C=A+（B+C）(AB)C=A(BC)交換律：A+B=B+AAB=BA分配律：A(B+C)＝AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)這一組定律大多與普通代數(shù)的定律相同，基本上也不會搞錯，就有一個，如上紅色定律公式比較難以理解。我們不妨倒過來證明。重疊律0-1律、分配律公式1倒過來用0-1律反演律（摩根定律）：這個定律經(jīng)常用于求反函數(shù)和邏輯函數(shù)的變換。一定要記熟。我們不妨用真值表來證明，見P91，以兩變量為例。0001101111100100吸收律：公式1、2、4比較容易理解，不再贅述。我們證明一下公式3。公式4就是分配律的公式2。分配律公式2用真值表法證明，也是可靠、可行的，請大家自己做。

①、代入規(guī)則（定理）

②、反演規(guī)則（定理）

③、對偶規(guī)則（定理）在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)的某一變量，都用同一個函數(shù)（或者變量）代替，則等式仍然成立，這就是代入定理。如：吸收律公式3注意：必須等式兩邊同時代換，才能成立。根據(jù)摩根定律，求一個函數(shù)的反函數(shù)時，將原函數(shù)中的與換成或，或換成與，原變量換成反變量，反變量換成原變量，0換成1，1換成0，所得的函數(shù)式就是原函數(shù)的反函數(shù)。例如：函數(shù)的反函數(shù)是：注意：①保持原有運算順序。②反變量以外的非號（即非號包含兩個以上的變量時）保持不變。再如：函數(shù)的反函數(shù)是：求一個函數(shù)的對偶函數(shù)時，將原函數(shù)中的與換成或，或換成與，0換成1，1換成0，所得的函數(shù)式就是原函數(shù)的對偶函數(shù)，記做L’。例如：函數(shù)的對偶函數(shù)是：注意：①保持原有運算順序。②反變量以外的非號（即非號包含兩個以上的變量時）保持不變。再如：函數(shù)的對偶函數(shù)是：求對偶函數(shù)的意義：某邏輯等式成立時，其對偶式也成立。因此，如果某一等式不方便證明時，可以先證明其對偶式成立，再根據(jù)對偶定理說明原等式成立。例如：證明吸收律公式3。證明：令原方程為L1＝L2首先分別求出L1、L2的對偶函數(shù)?！週1’=L2’∴L1=L2命題得證（1）、邏輯函數(shù)的變換（2）、邏輯函數(shù)的化簡同一個邏輯函數(shù)可以有多種表達形式，比如：兩個問題：1、邏輯函數(shù)的變換可以通過定律、定理等公式進行。2、各種實現(xiàn)方案之中存在有難易、優(yōu)劣等差別。邏輯函數(shù)變換的目的：1、盡可能簡化電路、節(jié)約成本。2、在條件不成熟時，使用替代電路完成任務(wù)。如：如果實驗室中只有與非門，如何實現(xiàn)L＝AB+ACP1203.1.7a注意：我們沒有與門、沒有或門，所以這個電路無法這樣制造?？紤]到要用到非關(guān)系，我們可以使用還原律，變換。如下：上面一個非號不變，下面一個非號利用摩根定律展開。這時，所有的關(guān)系都是“與非”了，可以焊接完成了！可見，邏輯函數(shù)的變換，通常是利用還原律、摩根定律等。如果要求用或非門實現(xiàn)該電路，又應(yīng)該怎么做呢？我們要求大家將邏輯代數(shù)的公式一定要記熟。（2）邏輯函數(shù)的化簡一個邏輯函數(shù)可以有多種表達形式，但是最簡單的形式往往只有一到兩個，那么最簡表達式的形式究竟是什么呢？①常用的邏輯函數(shù)表達形式與-或式、或-與式、與非-與非式、或非-或非式和與-或-非式。見P94該等式的其它形式的變換過程此處不一一證明大家自己回家變換一下下面重點討論與或式，該形式最容易獲得，而且只需要利用一次摩根定律就可以變形成為與非－與非式，從而比較容易用與非門實現(xiàn)但是，并不是所有的與或式都是最簡的，因此有：②最簡與或式特點：1）與項（乘積項）的個數(shù)最少。（“+”越少越好）

2）每個乘積項中變量的個數(shù)最少。也就是說，當邏輯函數(shù)式中相加的乘積項不能再減少，而且每項中相乘的因子不能再減少時，函數(shù)式為最簡與或式。③利用邏輯代數(shù)定律、定理化簡邏輯函數(shù)的方法（公式法化簡）1）并項法（合并同類項）2）吸收法3）消去法（吸收律、互補律）4）配項法

正確利用此法的前提——記熟公式。公式法化簡：P94例題請自己推倒。二、卡諾圖法化簡（美國工程師Karnaugh發(fā)明）最小項：在n變量的邏輯函數(shù)中，一個包含n個因子的與項，每個變量均以原變量形式或以反變量形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則該與項稱為最小項。n變量邏輯函數(shù)有2n個最小項，如：三變量（A、B、C）邏輯函數(shù)的最小項有8個，它們是：而下面的與項則不是三變量邏輯函數(shù)的最小項：最小項記做mi，輸入變量的每一組取值都使一個對應(yīng)的最小項的值為1，例如：當A=1、B=0、C=0時，最小項我們將ABC的取值看作二進制數(shù)100，對應(yīng)的十進制數(shù)是4，記做最小項的下標i即m4。上面的最小項依次為m0～m7。同一邏輯函數(shù)最小項的性質(zhì)：*在輸入變量的任何取值下有且僅有一個最小項的值為1,其余為0。*全體最小項的和為1。*任意兩個最小項的積為0。*具有相鄰性的兩個最小項可以合并成一項，并消除一個變量。*具有相鄰性的四個最小項可以合并成一項，并消除兩個變量。*具有相鄰性的八個最小項可以合并成一項，并消除三個變量…任一邏輯函數(shù)均可以由最小項之和的形式來表示，稱為最小項表達式。最小項表達式是唯一的，變換的方法，常采用配項法，如P97全體最小項的和為1，利用互補律有：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法：卡諾圖的結(jié)構(gòu)請務(wù)必記熟最小項以及各變量所在的位置。卡諾圖化簡的方法：①根據(jù)真值表或邏輯表達式填卡諾圖。根據(jù)真值表：真值表的每一行即代表一個最小項。輸出為1的行，其最小項對應(yīng)方格填1；輸出為0的行，其最小項對應(yīng)方格填0或不填。例如下面的真值表：ABCF000000100100

01111000101111011111最小項m0～m7的值分別為：0、0、0、1、0、1、1、1則：用卡諾圖表示為：最小項m0～m7的值分別為：0、0、0、1、0、1、1、1則：00101110根據(jù)表達式：1、將表達式變換成為最小項表達式，最小項展開式中出現(xiàn)的最小項，相應(yīng)的方格填1；未出現(xiàn)的最小項，相應(yīng)方格填0（或不填）。例如

則相應(yīng)的卡諾圖為：我們已經(jīng)知道：1111根據(jù)表達式：2、每一個與項表示單個變量作用范圍的公共部分，在公共的方格內(nèi)填1即可，不要重復(fù)填。例如

則相應(yīng)的卡諾圖為：11111111111②最小項合并合并原則：*幾何上相鄰的2n個方格若可以拼接成矩形（長方形或正方形），才能合并（稱為邏輯相鄰），否則不能合并。*最上面一行和最下面一行是邏輯相鄰的。同樣，最左邊一列和最右邊一列是邏輯相鄰的。合并方法：首先，找出盡可能多的邏輯相鄰的1，做一個圈。每增加一個新圈，必須包含至少一個未圈過的1，但每個1均可被圈多次。圈的總數(shù)應(yīng)盡可能少。其次，每一個圈用一個與項描述。即觀察該圈是哪幾個（1個）變量的公共部分。例解：填卡諾圖如下：1111做圈：寫表達式：Y=B解：填卡諾圖如下：做圈寫表達式：1111解：填卡諾圖如下：111111111做圈：寫表達式：解：填卡諾圖如下：111111111111111做圈：寫表達式：Y=A+B+C+D解2：由于卡諾圖中為0的方格較少，不妨將卡諾圖取反，可得：111111111111111因此可得：方程兩邊同時取反，得：Y=A+B+C+D這方面的例題、作業(yè)題很多，請大家務(wù)必認真學(xué)習，切實掌握，并能夠熟練運用。思考：解答三、組合邏輯電路的分析步驟：1、根據(jù)邏輯圖寫出各邏輯門輸出端的邏輯表達式，對于中間變量最好在寫出表達式的同時化簡，以免積累到最后。2、化簡總輸出端的邏輯表達式。3、列出真值表（當然比較簡單的表達式這一步可以省略）4、用文字描述其功能。三、邏輯電路的分析：例：如圖電路，分析其功能為了方便，我們給所有的門編個號，相應(yīng)的輸出用門的編號作為下標，然后每經(jīng)過一個門就寫出它的表達式，直至最后的輸出端。由于表達式簡單，故不列真值表也可以得出其功能，功能為：A,B的比較電路，兩者相同時輸出為0，否則為1再如：四、邏輯電路的設(shè)計：步驟：①根據(jù)設(shè)計要求確定輸入輸出變量，并規(guī)定其邏輯值的含義。②根據(jù)設(shè)計要求列真值表。③利用公式法或卡諾圖化簡，求出最簡邏輯函數(shù)表達式。④根據(jù)表達式繪制邏輯電路圖。例P1083.4.1

例：某水塔使用兩臺水泵P、Q供水，水泵工作時用1表示，否則為0。水塔內(nèi)有三個水位探測器A、B和C，當水位超過某一探測器時，該探測器輸出為1，否則為0。控制原理：當水位超過A時，P、Q均不工作；當水位超過B、C，而低于A時，只有P工作；當水位超過C，而低于A、B時，只有Q工作；當水位低于C時，P、Q均工作。設(shè)計P、Q的控制電路。水位高于A點時，兩個水泵均不工作。水位低于A點而高于B點時，小水泵P單獨工作。水位低于B點而高于C點時，大水泵Q單獨工作。水位低于C點時，兩個水泵同時工作。解：設(shè)計要求中已經(jīng)規(guī)定了輸入輸出變量及其邏輯值的含義，不必重復(fù)，列真值表如下。ABCPQ0101010101010101010101XXXXXXXX0000011111水位低于A、B、C時，P、Q同時工作。水位低于A、B而高于C時，只有Q工作。水位低于C卻高于B，不可能出現(xiàn)，打叉。分別作P和Q的卡諾圖并化簡，得：1X01XXX0卡諾圖中的X，在化簡時既可以看作0，也可以看作1，視情形確定。11XX0XX0化簡可得：作邏輯圖如下：無關(guān)項：P104當邏輯函數(shù)的輸入變量的某些組合不可能出現(xiàn)，或者當這些組合對電路的輸出沒有任何影響時，我們把它們稱為無關(guān)項（或約束項、任意項）。填寫真值表或卡諾圖時無關(guān)項用X或Φ表示，在最小項表達式中用∑d或∑Ф表示。無關(guān)項的化簡，則視情形，既可以當0用，也可以當1用。但是，原則只有一個，一定要能夠簡化表達式。填卡諾圖：1111111XXX該無關(guān)項當作0化簡得：關(guān)于帶有無關(guān)項邏輯函數(shù)化簡的例題：再來看P108的例3.4.1。列出其完整的真值表如下：I0I1I2L0L1L200