《求解二元一次方程組(代入法)》教案 (公開課)2022年

5.2求二一方組一代法●學目標一)教學知識點1．代入消法解二元一次方程組．2．解二元次方程組時的“消元〞思想，“化未知為〞的化歸思想．二)能力訓練要求1．會用代消元法解二元一次方程組．2解解元一次方程組的“消元〞思想步體會數(shù)學研究中“化未知為〞的化歸思想．三)情感與價值觀要1．在學生解二元一次方程組“消元〞思想，從而初步理解“未知〞為“〞和化復雜問題為簡單問題的化歸思想，享受學習數(shù)學的樂趣，提高學習數(shù)學的信心．2．培養(yǎng)學合作交流，自主探索的良好習慣．●學重點1．會用代消元法解二元一次方程組．2解解元一次方程組的“消元〞思想步表達數(shù)學研究中“化未知為〞的化歸思想．●學難點1．消元〞的思想．2．化未知為〞的化歸思想．●學方法啟發(fā)——自主探索相結(jié)合．教師引導學生回憶一元一次方程解決實際問題的方法并從中啟發(fā)學生如果能將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程二元一次方程便可獲解從而通過學生自主探索總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟．●具準備投影片兩張：

y第一張：例題(記作§A)；第二張：問題串(記作§B)．教學過程Ⅰ．提疑問，引入課［師生共憶］上節(jié)課我們討論過一“望工程〞義演的問題；沒去觀看義演的成人有x個，兒童有y個，我們得到了方程組去了多少人呢？

x34.

成人和兒童到底［生］在上一節(jié)課“一做〞中，我們通過檢驗

是不是方程和方程5x+3y=34，得知個解既是x+y=8的解，也是的解，根據(jù)二元一次方程組解的定義得出別去了5人和3個人．

是方程組的解以成人和兒童分5［師］但是，這個解是試出來的．我們知道二元一次方程的解有無數(shù)個．難道我們每個方程組的解都去這樣試？［生］太麻煩啦．［生］不可能．［師］這就需要我們學習二元一次方程組的解法．Ⅱ．講新課［師］在七年級第一學期我們學過一元一次方程，也曾碰到“希望工程〞義演問題，當時是如何解的呢？［生］解：設成人去了x個，兒童去了(－x)個根據(jù)題意，得：－解得將入8－答：成人去了5個，兒童去了3．［師同學們可以比較一下列二元一次方程組和列一元一次方程設未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二元一次方程組有何啟

示？［生二元一次方程組設出有兩個未知數(shù)成人去了x個去了y個一元一次方程設成人去了x個兒童去了(－x)個y應該等于8－而由二元一次方程組的一個方程x+y=8根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出y=8－x［生］我還發(fā)現(xiàn)一元一次方程中5x+3(8－x)=34與方程組中的第二個方程相比較，把5x+3y=34中的“y〞用8－x〞代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程．［師太好了我們發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識便可．如何轉(zhuǎn)化呢？［生上一節(jié)課我們就道方程組的兩個未知數(shù)所包含的意義是相同的所以將

中的①變形，得－x

③我們把y=8－x代入方程②，即將②中的用8－x代替，這樣就有5x+3(8－x)=34．二元〞化成“一元〞．［師］這位同學很善于思考．他用了我們在數(shù)學研究“未知為〞的化歸思想，從而使問題得到解決．下面我們完整地解一下這個二元一次方程組．解：由①得

－x

③將③代入②得－解得把入③得y=3．所以原方程組的解為

3.下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多〞的問題．［師生共析］解二元一次方程組：分析們解二元一次方程組的第一步需將其中的一個方程變形用含一個未

知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)把表示了的未知數(shù)代入未變形的方程中從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．解：由①得③將③代入②得(－解得把入③，得所以原方程組的解為

即老牛馱了7包裹，小馬馱了5個包裹．［師］在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個方程變形，即用其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后代入第二個未變形的方程從而由二元〞轉(zhuǎn)化為“一元〞而得到消元的目的我們將這種方法叫代入消元法．這種解二元一次方程組的思想為消元思想．我們再來看兩個例子．出示投影片(A)［例題］解方程組由學生自己完成，兩個同學板演)．解：將②代入①，得3×

2

將入②，得所以原方程組的解是

由②，得－4y將③代入①，得－－5y=－將入③，得

③所以原方程組的解是

2.［師］下面我們來討論幾個問題：出示投影片(B)(1)上面解方程組的根本思路是什么？(2)主要步驟有哪些？(3)我們觀察例和例2的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步．你認為選擇未知數(shù)有何特點的方程變形好呢？(學生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學生討論中，發(fā)現(xiàn)學生在自主探索、討論過程中的獨特想法)［生］我來答復第一問：解二元一次方程組的根本思路是消元，“二元〞變?yōu)椤耙辉暎凵覀兘M總結(jié)了一下解上述方程組的步驟第一步在方程組的兩個方程中選擇一個適當?shù)姆匠蹋阉冃螢橛靡粋€未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)．第二步把表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程可得一個一元一次方程．第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值．第四步求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程(一般代入變形后的方程)，求得另一個未知數(shù)的值．第五步：用“{〞把原方程的解表示出來．

第六步：檢驗(口算或筆算在草稿紙上進行把求得的解代入每一個方程看是否成立．［師這個組的同學總結(jié)的步驟真棒甚至連我們平時容易忽略的檢驗問題也提了出來很值得提倡在我們數(shù)學學習的過程中應該養(yǎng)成反思自己解答過程，檢驗自己答案正確與否的習慣．［生老師我代表我們組來答復第三個問題我們認為用代入消元法解二元一次方程組時盡量選取一個未知數(shù)的分數(shù)是的方程進行變形假設未知數(shù)的系數(shù)都不是1那么選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形．但我們也有一個問題要問在例2我們選擇②變形這是無可厚非的把②變形后代入①中消元得到的是一元一次方程系數(shù)都為整數(shù)也較簡便可例中雖然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分的一元一次方程，并不簡便，有沒有更簡捷的方法呢？［師這個問題提的太好了下面同學們分組討論一下如果你發(fā)現(xiàn)了更好的解法，請把你的解答過程寫到黑板上來．［生］解：由②得③③兩邊同時乘以2，得4x=2y+6④由④得－6把⑤代入①得3x+(4x6)=8解得7x=14，把入③得y=1．所以原方程組的解為

［師］真了不起，能把我們所學的知識靈活應用，而且不拘一格，“2y〞整體上看作一個未知數(shù)代入方程①，這是一個“科學的創(chuàng)造〞．Ⅲ．隨練習課本習題答案1．用代入元法解以下方程組

解：將①代入②，得x+2x=12把入①，得所以原方程組的解為將①代入②，得4x+3(2x+5)=65解得把入①得所以原方程組的解為

由①，得x=11y③把③代入②，得11y－y=7把入③，得所以原方程組的解為

由②，得2y③把③代入①，得3(3－2y)－2y=9得把入③，得x=3所以原方程組的解為

注在隨堂練習中可以鼓勵學生通過自主探索與交流各個學生消元的具體方法可能不同，不必強調(diào)解答過程統(tǒng)一．Ⅳ．課小結(jié)這節(jié)課我們介紹了二元一次方程組的第一種解法代入消元法解到了解二元一次方程組的根本思路是“消元〞即把“元〞變?yōu)椤耙辉曋鞑襟E是：將其中的一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來代入另一個方程中從而消去一個未知數(shù)化二元一次方程組為一元一次方程解這個一元一次方程便可得到一個未知數(shù)的值再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數(shù)的值．即求得了方程的解．Ⅴ．課作業(yè)1．課本習5.22．預習下局部Ⅵ．活與探究代數(shù)式x

2

當x=－1時，它的值是5；x=－2時，它的值4，求p、q的值．過程：根據(jù)代數(shù)式值的意義，可得兩個未知數(shù)都是、的方程，即當x=－1時，代數(shù)式的值是－5，得－1)+(－－5

①當x=－2時，代數(shù)式的值是4得－2)

+(－

②將①、②兩個方程整理，并組成方程組

解方程組，便可解決．結(jié)果：由④得q=2p把代入③，得－p+2p=－6解得p=－6把p=－6代入q=2p=－12所以p、q的值分別為－6、－12．●書設計求解二元一次方程組(一)一、“希望工程〞義演xy34二、“誰的包裹多〞問題

y三、例題四、解方程組的根本思路：消元即二元—→元五、解二元一次方程組的根本步驟●課資料一、參例題［例1］解方程組

1xy

①②分析：題中方程①x的系數(shù)為，那么用含y的代數(shù)式表示，代入第②個方程；得到一個關(guān)于y一元一次方程，求出y，進而再求出x；中方程②出現(xiàn)常數(shù)項為零的情況那么由②得再代入①中消去進而求出方程組的解．解法一：由②得即x=－．把③代入①得－2y+3y=4，得y=4

把入③得2×4=－8所以原方程的解為

解法二：由①得x=4－

③把③代入②得

)

=0即把入③得x=4－－8所以原方程組的解為

評注：解二元一次方程組的根本思想“消元〞，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們已熟悉的一元一次方程來解“代入〞是消元的一種方法，用代入法解二元一次方程組首先要觀察方程組中未知數(shù)系數(shù)的特點盡可能選擇變形后的方程比較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是很關(guān)鍵的一步．［例2］解方程組

3

①②分析：先把方程②整理為一般形式4x－3y=－5，通過觀察發(fā)現(xiàn)方程①和③中y系數(shù)是“+3〞和“－3〞，可以用整體代入法將①變形為3y=1+2x后代入③，得出關(guān)于x的一元一次方程，進而得到方程組的解．解：原方程整理為x

①③由①得3y=1+2x

④把④代入③得4x－－5解得x=－2把x=－2代入④，得3y=2×(－2)+1－

yyy所以原方程的解為

評注①解二元一次方程組一般要整理成標準形式這樣有利于確定消去哪個未知數(shù)②用代入法解方程關(guān)鍵是靈活變形〞和代入〞以到達消元〞的目的，要認真體會此題代入的技巧和方法．［例］關(guān)于x、的方程組的值．

和的解相同，求a、bby分析：既然兩個方程組的解相同，那么兩個方程組的解也應與方程組y

的解相同，將此方程組的解代入含、b的另兩個方程，那么解關(guān)于、b的二元一次方程組，從而求出、的值．解：求得方程組可得

解為將其代入－1，，yyb

①②由①得，b=－3a－1把③代入②，得6a+3(－1)=3．解得－把－代入④，得所以－，二、參練習1．填空題

③(1)用入法解元一次方程組

最為簡單的方法是_________式中的表示為_________，再代入．

xy34B．C．xy34B．C．－D．－3假設方程3x－13y=－12的解也是x－的解，那么，y=_________．(3)3b+2a=17，2a－－7，那么a22+4ab=_________．｜4x－－3－22．選擇題

，那么(x－y)

．假設方程組

a

的解是一對相同的數(shù)，那么的值為〔〕A．3B．4C5D．(2)x的值滿足等式

y25

么代數(shù)式的值〕xA．

443假設方程組

ykxy

的解互為相反數(shù)，那么k的值為〔〕A．8B．9C10D．3．用代入解以下方程組〔〕(1)(2)

yy4．假設y=kx+b，當－時，，求k和b的值．答案：略

平四形性總體說〔1〕本節(jié)的主要內(nèi)容包含平行四邊形的性質(zhì)。教學中可以通過讓學生舉實際生活中的例子，以加深學生對平行四邊形的認識?！?〕教學中應引導學生通過操作與探索，發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對稱圖形，在此根底上認識平行四邊形的性質(zhì)。〔3〕探索平行四邊形的性質(zhì)，熟練的運用平行四邊形的性質(zhì)解決問題。第一課重點：平行四邊形的概念和性質(zhì)

難點：探索平行四邊形的性質(zhì)解決過程環(huán)節(jié)：學生舉生活中平行四邊形的實例；回憶概念“兩組對邊分別平行的四邊形，叫平行四邊形〞并據(jù)此性質(zhì)從圖16.1.1中找出平行四邊形。環(huán)節(jié)2究】學生操作探索：如圖，在方格紙上畫一個平行四邊形。如圖16.1.2剪刀把ABCD方格紙上剪下在一張紙上沿ABCD邊沿，畫出一個四邊形，記為。在ABCD連接、BD，它們的交點記為O。用一枚圖釘在O點穿過，將ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)180度。觀察旋轉(zhuǎn)后的和紙上所畫的

EFGH是否重合。根據(jù)觀察結(jié)果，運用上一章所學的知識，你能探索出ABCD存在哪些相等的邊與相等的角？A(H)

H

(F)D(G)

圖16.1.3讓學生用數(shù)學語言描述觀察和探索的結(jié)果，再試用文字總結(jié)，“平行四邊形的對邊相等，對角相等〞意：平行四邊形中對邊是指無公共點的邊，對角是指不相鄰的角鄰邊是指有公共端點的邊鄰角是指有一條公共邊的兩個角而三角形對邊是指一個角的對邊，對角是指一條邊的對角教學時要結(jié)合圖形，讓學生認識清楚角指四邊形中有一條公共邊的兩個角．注意和七年級學的鄰角相區(qū)別．教學時結(jié)合圖形使學生分辨清楚環(huán)節(jié)3：理解和穩(wěn)固：

例1如圖，在

ABCD，∠A=40度，求其他各個內(nèi)角的度數(shù)。例2如圖，在環(huán)節(jié)〔隨堂習〕1．填空：

ABCD，AB=8，周長為24，求其余三條邊的長〔1〕在ABCD中，∠A=

，那么∠B=

度，∠

度，∠D=

度．〔2〕A∠么∠A=

B=

C=

D=

．〔3〕如果ABCD周長為，且AB：∶5那么cm，，CD=cm，cm．〔4〕在ABCD中，如果EF∥AD，CD，EFGH相交與點O，那么圖中的平行四邊形一共有．第2課重點、難點重點：平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應用．難點：綜合運用平行四邊形的性質(zhì)進行有關(guān)的論證和計算二解決過程環(huán)節(jié)11．復習提：〔1〕什么樣的四邊形是平行四邊形？四邊形與平行四邊形的關(guān)系是：〔2〕平行四邊形的性質(zhì)：①具有一般四邊形的性質(zhì)〔內(nèi)角和

②角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補．邊：平行四邊形的對邊分別平行且相等．環(huán)節(jié)2【探究在像上節(jié)課有圖16.1.3那樣的旋轉(zhuǎn)過程中，讓學生探究OA與OC、與OD

的關(guān)系〔1〕平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心；〔2〕平行四邊形的對角線互相平分注意學時要講明線段互相平分的意義和表示方法圖行四邊形的對角線、BD相交于點，假設AC與互相平分，那么有OAOC，＝OD．

A

D環(huán)節(jié)3：

O理解和穩(wěn)固：

B

C例3圖16.1.6，在ABCD中，對角AC和BD相交與點O，AOB的周長為15AB=6，那么對角線與BD和是多少？環(huán)節(jié)〔隨堂習〕1，中線AC與BD于點OB=6OA=

，OC=OD=BD=2ABCD中對角線ACBD相交于＋BD=24,AC=3BD,么OA=OB=3、在平行邊形ABCD，周長等于48，①②③

一邊長12求各邊的長AB=2BC，求各邊的長對角線AC、BD于點，△AOD與△AOB周長的差是，求各邊的長第3課：平行間距離處處等的性一、重點：平行線間距離處處相等的性質(zhì)難點：平行四邊形性質(zhì)與平行線間距離處處相等性質(zhì)的應用二、解決過程環(huán)節(jié)1：學生回憶：平行四邊形的性質(zhì)環(huán)節(jié)2：平行四邊形性質(zhì)的應用：例1行四邊形的一個內(nèi)角比它的鄰角大，求四個內(nèi)角的度數(shù)。

例2圖，在ABCD中AE垂直于，E是垂足。如果B=42°,那么∠D∠DAE分別等于多少度？A

D

AE

B

C

B

例3如右上圖，在平行四邊形中，AC、BD相交于點，兩條對角線的和為36米，CD的長為厘米，求三角形的周長。環(huán)節(jié)3：學生實踐操作：在方格紙上畫兩條互相平行的直線在其中一條直線上任取假設干點過這些點作另一條直線的垂線，用刻度尺量出平行線之間的垂線段的長度。學生探索：你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？在其中一條直線上再取一點，驗證一下。教師給出概念平行線間的距離〞學生試總結(jié)平行線的性質(zhì)：平行線之間的距離處處相等。環(huán)節(jié)：學生穩(wěn)固：例如圖，如果直線∥n,那么△ABC的面積和△DBC面積是相等的。你能說出理由嗎？你還能在兩條平行線m之間畫出其他與△ABC面積相等的三角形嗎？A

DmB第4課：平行邊形的綜合習一、重點：平行四邊形的性質(zhì)的綜合