空氣動力學基礎-第 高速可壓流動

空氣動力學基礎沈陽航空航天大學航空航天工程學院飛機設計教研室2014年3月第7章高速可壓流動

7.1熱力學基礎知識7.1.1熱力學的物系7.1.2完全氣體假設與狀態(tài)方程、內能和焓、熱力學第一定律7.1.3熵，熱力學過程，熱力學第二定律7.2音速和馬赫數(shù)7.2.1弱擾動與強擾動7.2.2微弱擾動傳播過程與傳播速度——音速7.2.3音速公式7.2.4馬赫數(shù)7.3高速一維定常流7.3.1一維定常絕熱流的能量方程7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式7.4微弱擾動的傳播區(qū)，馬赫錐與馬赫波7.4.1微弱擾動的傳播區(qū)，馬赫錐7.4.2馬赫波滿足的基本關系7.5 膨脹波7.6激波7.6.1正激波7.6.2斜激波7.6.3圓錐激波熱力學體系：和周圍環(huán)境的其它物體劃開的一個任意形態(tài)的物質體系無物質交換，無能量交換，稱為隔絕體系無物質交換，有能量交換，稱為封閉體系有物質交換，有能量交換，稱為開口體系高速流中遇到的情況絕大多數(shù)屬于隔絕體系和封閉體系。經(jīng)典熱力學所處理的都是處于平衡狀態(tài)下的物系。但在分析時我們也常用開口體系（控制體）。7.1.2完全氣體假設與狀態(tài)方程、內能和焓、熱力學第一定律1、完全氣體假設與狀態(tài)方程完全氣體：氣體分子直徑遠小于分子的平均自由程，且分子間不存在引力僅為完全彈性碰撞的氣體稱為完全氣體，空氣可被假設為完全氣體。狀態(tài)方程：任何氣體的壓強、密度、絕對溫度三者之間存在一定的關系，稱為狀態(tài)方程。對于完全氣體的狀態(tài)方程為：其中R

稱為氣體常數(shù)，空氣的R=287.053N.m/(kg.K)。在熱力學中，常常引入另外一個代表熱含量的參數(shù)h（焓）由于表示單位質量流體所具有的壓能，故焓h表示單位質量流體所具有的內能和壓能之和2、內能、焓7.1.2完全氣體假設與狀態(tài)方程、內能和焓、熱力學一定律氣體內能是指分子微觀熱運動（與溫度有關）所包含的動能與分子之間存在引力而形成的位能之和。對于完全氣體而言，分子之間無引力，單位質量氣體的內能u僅僅決定于分子間的熱運動，是溫度的函數(shù)。

熱力學第一定律熱力學第一定律是一條能量守恒定律。對一個封閉物系來說，經(jīng)過一步無限微小的可逆過程，由外界給物系的熱量dQ必等于物系的內能增量dU和該物系對外界膨脹所作的功pdV這二者之和(這里V是體積)，即：這是靜止物系的熱力學第一定律的公式。上式兩端同除以物系的質量可得靜止物系滿足的單位質量能量方程：7.1.2完全氣體假設與狀態(tài)方程、內能和焓、熱力學一定律密度的倒數(shù)就是單位質量的體積，即比容單位質量的焓的微分是：

從而靜止物系單位質量的能量方程可用焓表為：一個物系的壓強、密度和溫度都是狀態(tài)函數(shù)或稱點函數(shù)，內能和焓都是狀態(tài)函數(shù)或函數(shù)。7.1.2完全氣體假設與狀態(tài)方程、內能和焓、熱力學一定律比熱(specificheat)比熱：單位質量氣體每加熱升高一度時所吸收的熱量比熱的大小與熱力學過程有關。由靜止氣體熱力學第一定律：

定容過程的比熱（cυ）和等壓過程的比熱（cp）:7.1.2完全氣體假設與狀態(tài)方程、內能和焓、熱力學一定律將比熱關系和狀態(tài)方程代入焓的表達

可得梅耶公式：采用完全氣體模型，比熱及比熱比γ都是常數(shù)。完全氣體的模型只能用到M數(shù)不太高的超音速流為止。對于M數(shù)很高的高超音速流動，則必須計及氣體的非完全性

常規(guī)狀態(tài)下空氣的比熱比：7.1.2完全氣體假設與狀態(tài)方程、內能和焓、熱力學一定律

熵熵是反映熱能可利用部分的指標，有意義的是熵增量。熵增量:系統(tǒng)經(jīng)歷可逆過程時的加熱量與溫度之比。7.1.3熵，熱力學過程，熱力學第二定律熵是狀態(tài)參數(shù)，這是因為熵增可以寫為全微分：或熵增量的表達還可寫為（根據(jù)上述二式）：等熵關系式7.1.3熵，熱力學過程，熱力學第二定律等熵關系式7.1.3熵，熱力學過程，熱力學第二定律熱力學過程系統(tǒng)可在各種條件下經(jīng)歷熱力學過程從一種熱力學狀態(tài)變化到另一種熱力學狀態(tài)，不同的熱力學過程可用其對應的壓強和比容關系即p~υ圖表達出來。常見的熱力學過程可用下式表達：n=0－－等壓過程n=1－－等溫過程n=γ=Cp/Cv－等熵（絕熱可逆）過程n=∞－－等容過程n=其他－－多變過程7.1.3熵，熱力學過程，熱力學第二定律熱力學第二定律指出：在絕熱變化過程中，如果過程可逆，則熵值保持不變，s=0

，稱為等熵過程；如果過程不可逆，熵值必增加，s>0。因此，熱力學第二定律也稱為熵增原理。在高速流中，不可逆是因氣體摩擦、激波出現(xiàn)以及因溫度梯度而引起。一般在絕大部分流場區(qū)域速度梯度和溫度梯度都不大，可近似視為絕熱可逆的，稱為等熵流動，等熵關系式成立。在邊界層及其后的尾跡區(qū)，激波附近區(qū)域，氣體的粘性和熱傳導不能忽視區(qū)域，流動是熵增不可逆過程，等熵關系式不能用。

3.

熱力學第二定律7.1.3熵，熱力學過程，熱力學第二定律7.2音速和馬赫數(shù)7.2.1弱擾動與強擾動可壓流場的流動現(xiàn)象與擾動傳播速度和傳播區(qū)有關如果描寫流場的諸物理參數(shù)（V

，p，ρ

，T）發(fā)生了變化，就說流場受到了擾動。使流動參數(shù)的數(shù)值改變得非常微小的擾動，稱為微弱擾動簡稱為弱擾動，例如說話（即使是大聲說話）時聲帶給空氣的擾動就是如此。使流動參數(shù)改變有限值的擾動，稱為有一定強度的擾動簡稱為強擾動，例如激波便是一種強擾動。7.2.2微弱擾動傳播過程與傳播速度——音速在不可壓流中，微弱擾動傳播速度a是無限大，擾動瞬間將傳遍全部流場在可壓流中，情況就不一樣了。因為氣體是彈性介質，擾動不會在一瞬間傳遍整個流場，擾動的傳播速度a不是無限大，而是有一定的數(shù)值。注意擾動的傳播速度a與介質本身的運動速度

dV

是兩碼事，一般情況下dV<<a音速：微弱擾動在彈性介質中的傳播速度，是研究可壓流場的一個很重要的物理量音速大小只與介質物理屬性、狀態(tài)、以及波傳播過程的熱力學性質有關，而同產(chǎn)生擾動的具體原因無關如圖充滿氣體的活塞，設想對活塞輕微的推動一下，則擾動便以速度a向右傳播，擾動波未到達前后氣體的參數(shù)如圖所示。取隨波陣面AA運動的相對坐標，我們從基本方程出發(fā)導出音速的表達式。由質量守恒定律：略二階小量得：根據(jù)動量定理（向左為正）：整理得：二式相除得：aa-dVp,ρ,Tp+dp,ρ+dρT+dTx音速a是介質壓縮性的一個指標。音速的平方與密度變化量成反比微弱擾動在空氣中的傳播可看成是等熵過程，將等熵關系代入音速公式可得：馬赫數(shù)：氣流速度V與當?shù)匾羲賏之比由于音速隨高度（或溫度）變化，因此在不同高度上，同樣的M

數(shù)並不一定表示速度相同。馬赫數(shù)是一個非常重要的無量綱參數(shù)，是一個反映壓縮性大小的相似準則。M

數(shù)的大小標志著運動空氣壓縮性的大小，M值越大則壓縮性越大：可證當時，，密度的相對變化不大，這時可將低速氣體近似視為不可壓縮流體。事實上即使是液體也不可能絕對不可壓。我們將低速氣體看成不可壓流體的原因在于，流動時引起密度的變化很小，因此不可壓仍然是一種理想化的假設模型，而這種模型具有一定程度的合理性。馬赫數(shù)還代表單位質量氣體的動能和內能之比，即M數(shù)很小，說明單位質量氣體的動能相對于內能而言很小，速度的變化不會引起氣體溫度即內能的顯著變化，因此對于不可壓流體其內能不變或溫度不變，不考慮其熱力關系。對不可壓流體來說，如果溫度有變化，那一定是傳熱引起的，但加熱只能使溫度升高或內能增加，不能使流體膨脹做功。對于高速氣體來說（M

較大），即使是在絕熱情況下，速度的變化會引起熱力關系（

p、ρ

、T

）變化，內能將參與能量轉換。高速流動時，即使只是一維定常流動，由于密度ρ和溫度T發(fā)生變化，流動參數(shù)增加為四個：V

、p、ρ、T已經(jīng)有了三個基本方程，它們是：連續(xù)方程、動量方程和狀態(tài)方程。為了能解出四個流動參數(shù)，需要補充第四個方程—能量方程。一維等熵流的能量方程利用等熵關系式一維定常流能量方程的不同形式沿流（線）管V增加時，h,T,a下降，但總能量不變7.3.1一維定常絕熱流的能量方程

對于一維定常絕熱流，我們可以確定流動參數(shù)沿流線（或沿流管軸線）變化的關系式，但需給定參考點上的參數(shù)值。常用的參考點是駐點或臨界點。使用駐點參考量的參數(shù)關系式駐點指速度等熵地降為零的點。在駐點處焓達到最大值，稱為總焓或駐點焓h0。由定常一維絕熱流能量方程：駐點處的溫度，稱為總溫T0

：

h0、T0（或α0）可以代表一維絕熱流的總能量，當絕熱時總焓和總溫均不變。而T是V≠0點處的當?shù)販囟龋Q為靜溫。由前式可得總、靜溫之比為：在一維絕熱有粘流中，我們定義流線上任一點（或任一截面）處的總壓是該處流速等熵滯止為零時所達到的壓強，或稱駐點壓強，根據(jù)等熵關系：由等熵關系式還可寫出密度比與溫度比的關系為從而得到所謂的一維等熵關系式對應的可將ρ0看成流動等熵滯止時達到的密度，稱為總密度、駐點密度或滯止密度。對于一維等熵流，則T0，p0，ρ0

這三個總參數(shù)均不變。其中第一式只要求絕熱就成立說明一維絕熱流中總、靜溫及相應的壓強和密度之比均只取決于當?shù)豈數(shù)

熵增與總壓的關系由熵增公式：對于1、2兩個狀態(tài)，分別對應了總參數(shù)與靜參數(shù)，且滿足下列等熵關系：

將上述關系代入熵增公式，并注意到絕熱時總溫不變T01=T02：對于絕熱但不等熵的流動，由ΔS＞0可知，雖然沿流動方向總溫T0

不變，但p02<p01，總壓p0

值下降。對等熵流動，總壓不變。因此總壓可看成流動的總機械能。7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式氣流按不可壓縮處理的限度當馬赫數(shù)不大時，密度比可用二項式展為M的級數(shù)：則密度的相對變化量可寫為（略去4階以上小量）：密度變化的相對誤差與馬赫數(shù)的關系見上表。顯然密度變化的相對誤差隨著馬赫數(shù)增大而迅速增大，如果我們約定4.5％是將密度視為不可壓的誤差上限，則將流體視為不可壓的馬赫數(shù)上限為M<0.30。7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式使用臨界參考量的參數(shù)關系式

在一維絕熱流中，沿流線某點處的流速恰好等于當?shù)氐囊羲?，即M=1，則稱為臨界點或臨界截面。臨界參數(shù)用上標“*”表示由絕熱能量方程可得：

a*稱為臨界音速：

得臨界點與滯止點溫度比為：由等熵關系可得臨界壓強與駐點壓強、臨界密度與駐點密度之間的關系：

由于臨界音速a*正比于滯止音速a0，即正比于，故它也可代表一維絕熱流的總能量，同時可以作為一個參考量。7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式速度系數(shù)λ與馬赫數(shù)

M之間的關系是：

速度系數(shù)利用臨界音速a*可以定義一個無量綱速度系數(shù)λ：采用速度系數(shù)λ

的好處是：當絕熱時臨界音速a*是個定值，方便計算，而M數(shù)中的音速a還會隨流動變化，計算不方便。速度系數(shù)λ與馬赫數(shù)M

的關系曲線見下圖，其特點是：M=0，λ=0；M＜1，λ＜1；M=1，λ=1；M＞1，λ＞1；7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式由絕熱能量方程可知，當溫度T降為0，速度達到最大：當然根據(jù)熱力學第二定律，實際上不可能用加速膨脹的方法使氣流毫無損失地將溫度降到絕對零度。

一維等熵關系式可用速度系數(shù)來表達絕熱能量方程用滯止音速可寫為：注意到右端還可表為總參數(shù)：從而絕熱能量方程可寫為：壓強比與密度比關系可利用等熵關系寫出：7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式這三個用速度系數(shù)表達的式子也稱為一維等熵關系式，其中第一式只要求絕熱即成立?？梢婋S速度系數(shù)增加，溫度、壓強和密度一路都是下降的。這些關系都做成了表格方便查閱。從而：等熵管流的速度與截面積關系又一維定常流微分形式的連續(xù)方程是：綜合兩式，得等熵管流中速度變化與截面積變化的關系式：

將音速公式代入歐拉方程可得：

發(fā)生音速處面積A有極值，從物理上可判斷該處A應是極小值（反證）亞音速（包括低速）時如果管截面收縮則流速增加，面積擴大則流速下降；超音速時情形則剛好相反。從式我們可以看出：上述截面流速與截面積變化規(guī)律的物理原因是：亞音速時密度變化較速度變化為慢，而超音速時密度變化比流速變化快亞音速時想增加流速，由連續(xù)方程則截面積應縮小。超音速時想增加流速，由連續(xù)方程則截面積應放大。由上已經(jīng)看到，一維定常等熵流中密度ρ的變化趨勢與速度V相反，其他氣流參數(shù)（p、T）隨速度V的變化趨勢是怎樣的？

壓強p變化趨勢與速度相反由微分形式的動量方程（歐拉方程）：

將音速表達代入上式得：

溫度T變化趨勢與速度也相反將上二式代入狀態(tài)方程可得溫度比的關系：2.其它流動參數(shù)與截面積的關系7.3.3等熵管流的流動參數(shù)與截面積關系、流量公式由這三個關系右端的系數(shù)可見，當速度增加時，p、ρ、T都是減小的，但p減小最快，ρ減小次之，而T減小最慢（空氣γ＝1.4）。即：7.3.3等熵管流的流動參數(shù)與截面積關系、流量公式面積減小增大增大減小速度增大減小增大減小壓力減小增大減小增大密度減小增大減小增大溫度減小增大減小增大馬赫數(shù)增大減小增大減小用以下圖表來表示一維定常等熵變截面管流中的參數(shù)變化：7.3.3等熵管流的流動參數(shù)與截面積關系、流量公式3.拉瓦爾噴管或噴管對一維等熵管流，如想讓氣流沿管軸線連續(xù)地從亞音速加速到超音速，即始終保持dV＞0，則管道應先收縮后擴張，中間為最小截面，即喉道。即使氣流在喉道之前收縮膨脹加速，在喉道處達到音速，之后繼續(xù)膨脹加速，達到超音速。7.3.3等熵管流的流動參數(shù)與截面積關系、流量公式一個噴管在出口截面產(chǎn)生M＞1的超音速氣流的條件是：管道形狀應成為拉瓦爾管形狀在噴管上下游配合足夠大的壓強比一個出口接大氣的噴管，當噴管出口達到設計M

數(shù)而出口壓強恰等于外界大氣壓強時，則噴管處于設計狀態(tài)。如果上游壓強過高或過低，噴管出口內外將出現(xiàn)激波或膨脹波。

流量公式與面積比關系噴管截面積與馬赫數(shù)的關系可由如下的流量公式與面積比關系計算：可見，用該式計算流量只需知道總壓、總溫、截面積和q(λ)

q(λ)隨λ

變化的曲線如圖，其特點是：當λ=1時，q（λ）=1；當λ=0和λ=λmax時，q(λ)=0；

q(λ)等函數(shù)與λ的關系均已做成表格(附表4、5)，可方便查讀。流量函數(shù)還可用馬赫數(shù)表達為：流量函數(shù)：可得噴管中任一截面與喉道的面積比關系：由管流的質量守恒關系：利用上述面積比關系可求出噴管中某截面處λ（M）數(shù)，或根據(jù)λ

（M）數(shù)要求初步設計噴管，確定噴管出口與喉道面積比。由于流量函數(shù)q(λ)在λ＝1處達到極大值q(1)=1，因此當喉道達音速時，下式規(guī)定了噴管的最大流量：7.3.3等熵管流的流動參數(shù)與截面積關系、流量公式例：有一個超音速風洞，試驗段截面積為0.6m×0.6m正方形，噴管是二維的（即等寬度0.6m），試驗段Mt=2.0，上游安定段總壓p0=400kN/m2，T0=293K。試求喉道高度h*，試驗段pt、Vt、mt。解：(1)由查表或通過計算得(2)(3)7.3.3等熵管流的流動參數(shù)與截面積關系、流量公式

亞音速流場和超音速流場有許多本質上的差別，其中之一是小擾動的傳播范圍或者說影響區(qū)是不同的。在一個均勻流場中擾源發(fā)出的小擾動均以音速向四周傳播，影響區(qū)有下面四種情況：μ的定義域是：M≥1（a）在靜止氣體中（M=0）從某瞬間看，前i秒發(fā)出的擾動波面是以擾源O為中心、iα為半徑的同心球面。只要時間足夠長，空間任一點均會受到擾源的影響，即擾源的影響區(qū)是全流場（b）亞音速氣流中(M<1)

前i秒擾源發(fā)出的半徑為iα的球面波要順來流方向從O下移到Oi點，OOi=iV。由于iV＜iα，故擾動仍可遍及全流場。

（c）音速氣流中（M=1）iV=iα擾動影響半平面。（d）超音速氣流中（M＞1）此時OOi=iV＞iα擾源的影響不僅不能到O點的前方，而且局限在以O為頂點所有擾動球面波包絡面—圓錐面即馬赫錐以內亞音速流場中擾動可遍及全流場，氣流沒有到達擾源之前已感受到它的擾動，逐漸改變流向和氣流參數(shù)以適應擾源要求；而在音速和超音速流場中，擾動不會逆?zhèn)鞯綌_源上游，氣流未到達擾源之前沒有感受到任何擾動，故不知道擾源的存在。超音速流中三維弱擾動的邊界線是馬赫錐，其半頂角稱為馬赫角，M值越大則μ角越小。二維弱擾動的邊界線稱為馬赫線或馬赫波，馬赫波與來流的夾角仍然是馬赫角。顯然只有在音速和超音速情況下才可能存在馬赫波或馬赫錐。超音速流中強擾動以激波為界，激波是使壓強、密度、溫度等產(chǎn)生突躍變化的界面，強擾動被限制在激波下游也不能逆?zhèn)鳎げń桥c馬赫角不同，需按照激波理論確定。7.4.2 微弱擾動馬赫波滿足的基本關系如圖超音速流場中壁面在O點向外折微小的角度dδ（規(guī)定外折為正），則擾動被限制在由O點發(fā)出的馬赫波OL的下游，擾動的影響是使氣流外折dδ這么大的角度。OL線與原始氣流的夾角是：超音速氣流受到微小擾動而使氣流方向發(fā)生變化，擾動的界面是馬赫錐或馬赫波，擾動包含了膨脹擾動和壓縮擾動兩種，以下討論平面擾動，先考慮微小膨脹擾動如圖將馬赫波波前和波后的速度分解為垂直和平行波面的兩個分量，取一個無窮靠近波面的控制體如圖。由于在平行波方向上無壓強變化，故切向動量方程是：

即切向分速相等：由幾何關系：dδ微小的條件下保留一階小量得：7.4.2 微弱擾動馬赫波滿足的基本關系dδLVV’=V+dVμVtVt’o由于經(jīng)過馬赫波的流動可視為絕熱流動，且由于參數(shù)變化微小故可假設為等熵流動，因此前述等熵參數(shù)變化關系成立：7.4.2 微弱擾動馬赫波滿足的基本關系此式即：表明超音速時外折微小角度dδ

將使流動加速，反之內折微小角度將使流動減速。將上述速度變化dV/V與外折角dδ

的關系式代入可得經(jīng)外折角dδ后的壓強、密度和溫度變化關系：膨脹馬赫波簡稱膨脹波：超音速經(jīng)微小外折角后，伴隨著氣流速度增大，壓強、密度和溫度均減小，氣流膨脹；壓縮馬赫波簡稱壓縮波：當璧面內折一個負的微小角度，則伴隨著流速減小，壓強、密度和溫度增，氣流發(fā)生壓縮。

經(jīng)過馬赫波（包括膨脹波與壓縮波）后璧面上壓強系數(shù)為：7.4.2 微弱擾動馬赫波滿足的基本關系先考察氣流在O1處經(jīng)受外折微小角度dδ1以后，又在O2、O3繼續(xù)外折角度dδ2

及dδ3在超音速流中，擾動只向下游傳播，所以，在新的折點O2上游，氣流保持O1L1下游的速度

M2=M1+dM1，方向下折dδ1。流到O2時，受到新的擾動，穿過新的馬赫波O2L2，繼續(xù)外折dδ2，速度變?yōu)镸3=M2+dM2

。與當?shù)貧饬鞣较虻膴A角為：由于

M2＞M1，所以μ2＜μ1這就是說，第二道膨脹波與波前氣流方向的夾角小于第一道膨脹波的傾斜角。但M2

的方向相對于M1

而言已外折了dδ1，故O2L2與AO1的夾角是（μ2-dδ1），也就是說，相對于原始氣流的方向而言，O2L2比O1L1向右傾斜得利害一些。同理，μ3＜μ2＜μ1，即，后產(chǎn)生的每一道膨脹波相對于原始氣流的傾斜角都比前面的小，所以每道膨脹波不可能彼此相交，因而形成了一個連續(xù)的膨脹區(qū)域。根據(jù)極限概念，曲線可以看作是無數(shù)條微元折線的極限。因而，超音速氣流繞外凸曲壁膨脹可看成連成一片的連續(xù)膨脹地帶。繞有限值外鈍角的流動也可看成從角點發(fā)出的連續(xù)膨脹波形成的（普朗特—邁耶流動Prandtl-MeyerFlow）由于變化是連續(xù)的，流場不會有很大的線變形率和角變形率，粘性作用可以忽略，同時也沒有很大的溫度梯度，氣體微團間也沒有顯著的熱傳導發(fā)生，流動可視為等熵的。值得指出的是，對于超音速繞多個微小內折直線段或凹曲面流動時必然進行壓縮變化。這個連續(xù)的曲面也可以看成是無限個微小直線段連成的折線璧面，每一線段轉折一個微小角度，產(chǎn)生一道微小壓縮波，這些微小壓縮波對當?shù)貧饬鞫云洳ń嵌际邱R赫角，但由于氣流經(jīng)每一道壓縮波后馬赫數(shù)都下降一次，再加上波后氣流沿璧向內轉折，兩種因素都使壓縮波在一定距離處聚攏，末端形成一道具有一定強度的突躍的壓縮波即斜激波，其波角不能用馬赫角計算。由于經(jīng)過激波時參數(shù)發(fā)生劇烈改變，粘性不能忽略，流動不等熵。當璧面在o點直接內折一個非微小量的角度δ時，形成從o點發(fā)出的始終具有一定強度的斜激波。我們已經(jīng)從物理概念上討論了膨脹波?，F(xiàn)在，我們來對膨脹波進行定量的討論，目的是求出折角與流速之間的函數(shù)關系根據(jù)超音速氣流外折無限小的角度dδ時，速度的改變量dV與折角dδ之間的關系：如果將上式右端表為速度系數(shù)λ或馬赫數(shù)M

的微分即可積分求出折角與流速之間的關系。對上式積分可得：式中C是積分常數(shù)，由初始條件確定。現(xiàn)在，我們規(guī)定：當λ=1時，氣流方向為δ=0。將此條件入上式，即得C=0上述關系可用速度系數(shù)λ表達為：對于原始氣流速度為音速（λ=1）的情況而言，膨脹波中任何地方的當?shù)厮俣认禂?shù)λ

與當?shù)氐臍饬髡劢铅模◤摩?1算起）之間的函數(shù)關系是：或代換成馬赫數(shù)的函數(shù)：只要知道了當?shù)氐臍饬髡劢铅?，就可以唯一地確定當?shù)厮俣认禂?shù)λ，反之亦然。取一系列λ去算出對應的δ比較容易，這樣只算一次，列成表格備查即可（表7－1）。又因膨脹過程是等熵過程，相對應的亦都列在表中。上述δ與λ的關系還可用積分推導。根據(jù)λ與M

的關系求微分可得：代入dδ的表達式：可得：積分可得（規(guī)定M＝1時δ＝0）：7.5.2超音速流繞外鈍角膨脹的計算膨脹馬赫波L1與L2

之間的夾角θ

可由幾何關系寫出：由于δ及μ都與膨脹后的馬赫波L2對應的速度λ2或M2有關，因此θ

角是唯一確定的，可列在數(shù)據(jù)表中。θ顯然λ是隨膨脹角δ的增大而增大的但是，當λ達到時，氣流理論上膨脹到真空，壓強降到零，即使增大δ，氣流也不可能再加速了。與之相對應的氣流折角，稱為最大折角δmax

。因為：代入：可得：空氣的=1.4，=130.45o=130°27’。物理面速度面如果實際折角大于，氣流在折轉了以后就不再貼著物面流動了，而與等物面“分離”了，形成了一定的真空區(qū)如下圖：不過，這個“分離”與上兩章講的粘流分離現(xiàn)象在本質上是不同的。例題：參看下圖，已知λ=1.0的氣流（γ=1.4）繞外鈍角折轉100

，p1=1大氣壓(絕對)，試求膨脹結束后氣流的λ2及p2

。解：由數(shù)值表查得，當δ=10°時又因故得大氣壓（絕對）根據(jù)給定的值從數(shù)值表上查出對應于λ1=1的假想折角

；把與給定的δ相加，得總折角；按到表上查找對應的流動參數(shù)，就是λ1＞1的氣流外折δ角后所達到數(shù)值。例題：參看下圖，已知λ1=1.323，在C點外折10°試求M2

（給定=1.4）。當λ1≠1，計算步驟為：雖然數(shù)值表是根據(jù)λ1=1作出來的，但並不是說λ1≠1時就不能用。怎樣用呢？只要設想實際的λ1是由λ=1折轉了某一個角度δ′而來的就行了。請看下例。解：將左圖可以想象成右圖那樣，λ1=1.323是相當于λ=1的氣流預先轉折了δ′得到的。由數(shù)值表查得，λ1=1.323的氣流對應著δ′=10°，因此，λ2是相當于λ=1的氣流一共外折了：由數(shù)值表查得，λ=1的氣流折轉δ=20°得到的速度系數(shù)是λ2=1.523，即M2=1.775?？梢赃@樣做的原因在于超音速時擾動不逆?zhèn)?。超音速氣流中的兩種基本現(xiàn)象：膨脹波，激波激波：超音速流中的強擾動現(xiàn)象，強壓縮波正激波，斜激波，圓錐激波如果在一根長管中充滿了靜止氣體，壓強為

p1，密度為ρ1

，溫度為T1。管之左端用一個活塞封住從t=0

起到

t=t1

為止，活塞向右做急劇的加速運動，t1以后以勻速前進。從t=0

到t=t1的加速過程中，活塞以右的氣體受到越來越強的壓縮，假設t1

時與活塞接觸的氣體壓強由原來的

p1上升到

p2，AA界面是第一個擾動所達到的地方，其右是未經(jīng)擾動的氣體，以左是已經(jīng)被壓縮過的氣體，而且越靠活塞壓縮越厲害，氣體的壓強由AA處的

p1連續(xù)地上升到活塞處的

p2。我們可以把這個連續(xù)的變化看作是無數(shù)個微小的壓縮波，每一道波使壓強提高一個，每一小步的壓縮波都以當?shù)氐囊羲傧蛴彝七M?；钊鮿訒r的第一道小波以的速度向右推進，該波掃過的氣體，壓強和溫度都有微小提高。第二道小波向右推進的速度，比第一道波快。第三道波又在第二道之后，每道居后的波都在追趕它前面的波。t1時AA到BB的長度，必隨時間的前進越來越短再經(jīng)過一定時間，所有后產(chǎn)生的波都追上了第一道波，整個波區(qū)A-B的長度縮短為零，無數(shù)多道微弱壓縮波疊在一起，形成一張具有一定強度的突躍壓縮面S-S。在S-S未到之處，氣體完全沒有受到壓縮，而只要S-S一到，氣體就突然受到壓縮，壓強由p1突然增大到p2。這樣一個突躍的壓縮面S-S，稱為激波。因S-S面與氣流方向垂直，這種激波稱為正激波上面討論時未考慮氣體微團的運動速度，氣體原來靜止，經(jīng)第一道波壓縮之后，氣體微團多少有了一點向右的運動速度，所以第二道波的速度還應疊加該氣體運動速度，兩個因素都是使第二道波比第一道波快。激波形成是必然的。正激波一旦形成就會以一定速度Vs（必大于a1）向右推進，激波掃過的氣體壓強、密度、溫度均突躍升高，同時氣體微團速度也突然升高為Vg

，Vg遠遠小于Vs，活塞停止加速后，也必須以Vg

跟著向右運動，否則活塞與氣體之間就會發(fā)生真空。7.6.1正激波2.正激波的推進速度與蘭金－雨貢紐關系式取如圖與激波固連的控制體，由質量方程：動量方程：可解出激波推進速度Vs

與波后氣體速度Vg分別為：絕對坐標相對坐標實際上激波前后密度變化是根據(jù)壓強變化確定的。由能量方程：將上述Vs和Vg的關系代入上能量方程可解出密度比：這個關系稱為蘭金－雨貢紐關系式（Rankine–Hugoniot）

，它規(guī)定了激波的密度比由壓強比所決定也稱為突躍絕熱關系。2.正激波的推進速度與蘭金－雨貢紐關系式由此圖看出：（—）當壓強比不大，即激波強度不大時，突躍絕熱線與等熵線幾乎是重合的。這表明，跨過弱激波的過程非常接近于等熵過程；（二）壓強比愈大，即激波愈強時，突躍絕熱過程與等熵過程的差別愈大；（三）在突躍絕熱過程中，即使，密度比也只能趨于有限值，但等熵過程密度比趨于無限大。蘭金－雨貢紐關系與等熵關系的比較見圖：2.正激波的推進速度與蘭金－雨貢紐關系式激波推進速度和波后氣體速度式還可寫為：激波相對于波前氣流是超音速的，激波推進速度越大則激波強度就越強，當激波很弱時p2/p1≈1，激波推進速度無限接近波前未受擾動氣流的音速a1。激波相對于波后氣流是亞音速的，激波越強時激波相對于波后氣體的推進速度就越小。2.正激波的推進速度與蘭金－雨貢紐關系式例：長管中靜止空氣的壓強p1=1大氣壓，ρ1=1.225kg/m2,T1=288K。用活塞壓縮空氣產(chǎn)生正激波，p2=2大氣壓。求激波Vs、

Vg和a2。解：可見Vs>

a1，即正激波相對于波前的氣體其推進速度是超音速的，Vs-Vg<a2，即相對于波后氣體則是亞音速的。注意在管道中產(chǎn)生正激波并不需要活塞以超音速運動。2.正激波的推進速度與蘭金－雨貢紐關系式對于二維和三維流場上物體產(chǎn)生的正激波，例如超音速飛機頭部產(chǎn)生的正激波，物體（飛機）以亞音速運動時不能像管中活塞那樣產(chǎn)生激波，因為沒有橫向璧面的限制，氣體在物體到達之前就從橫向繞開了，不能形成突躍壓縮。物體須以超音速運動才能形成與物體相同的超音速前進的激波。這樣形成的正激波與管中正激波性質上相同，前面的公式都能用。p1ρ1

λ1p2ρ2

λ2激波3.正激波前后的參數(shù)計算

為了進一步計算激波前后的參數(shù)關系，我們仍然用如圖的相對座標來處理問題，其好處是可以直接應用定常流的基本方程來進行分析。（1）波前波后速度系數(shù)關系對虛線控制面應用動量方程，得：用連續(xù)方程除以上式得：其中的壓強密度比可用絕熱能量方程表為速度和臨界音速的函數(shù)，由：即：3.正激波前后的參數(shù)計算p1ρ1

λ1p2ρ2

λ2激波將p/ρ的表達代入前式，化為全由V1、V2和a*表達的式子：上式有兩個解：一個是V1=V2，這表示沒有激波，所以這個解沒有意義。另一個解是：由此得：這就是說：該式稱為普朗特激波關系式，說明超音速經(jīng)正激波后必為亞音速。3.正激波前后的參數(shù)計算

（2）正激波前后馬赫數(shù)關系由λ與M的關系：代入λ1λ2＝1得：M1M2113.正激波前后的參數(shù)計算（3）密度比與M1

的關系由：將λ與M的關系代入得：（4）壓強比與M1

的關系由動量方程：通除以p1，得：M111λ1λ123.正激波前后的參數(shù)計算代入密度比關系並整理后，得：

可見與密度比為有限值不同，壓強比正比于M12，當M1

足夠大之后將變得很大。

（5）溫度比與M1

的關系由狀態(tài)方程：，代入壓強比和密度比關系得：

M111ρ2/ρ1T2/T1p2/p13.正激波前后的參數(shù)計算（6）總溫比因為是絕熱流，總溫不變，即：或，與M1無關。

（7）總壓比與M1

的關系由一維等熵關系式：

將上述p2/p1~M1的關系和M2~M1（或T1/T2~M1

）的關系代入可得：3.正激波前后的參數(shù)計算如圖，M1越大則總壓損失越大：M1p02/p0111（8）總密度比由絕熱關系T02＝T01和狀態(tài)方程，對于M1>1的超音速流：3.正激波前后的參數(shù)計算3.正激波前后的參數(shù)計算（9）正激波的熵增量與總壓損失的關系由熵增公式：利用總靜參數(shù)之間關系可得：經(jīng)過激波可看成絕熱流動有T02=T01：由于經(jīng)過M>1

的正激波是熵增過程，ΔS>

0,顯然經(jīng)過正激波后總壓下降，σ<1。上式將經(jīng)過正激波的總壓下降程度與熵增量在數(shù)值上密切聯(lián)系起來了。3.正激波前后的參數(shù)計算

將激波前后總壓比代入熵增關系：

可得：當M1>1時，經(jīng)過激波熵增量總是正的；而當M1<1時，熵增量總是負的。說明只有在超音速流中才可能產(chǎn)生激波。且M1不大時熵增很小。而在亞音速流中根本不可能產(chǎn)生激波。亞音速氣流突躍變?yōu)槌羲贇饬鞯那樾问遣豢赡馨l(fā)生的，如果在亞音速流中產(chǎn)生激波的話，就直接違反了熱力學第二定律。3.正激波前后的參數(shù)計算（10）熵與激波強度的關系——弱激波可以看作等熵波

激波強度P定義為通過激波的壓強增量與波前壓強之比：可見激波強度正比于（M2

－1）所謂弱激波指的是強度P趨近于零的激波。由上式看出弱激波的M1

必趨近于1。而弱激波可以被看作等熵波。可以證明：3.正激波前后的參數(shù)計算當激波強度很弱時，通過激波所引起的熵增量是與激波強度的三次方同階的。因而在一級近似計算中，完全可以不考慮弱激波引起的熵增量，可以將激波作為等熵波看待。究竟M1多大時可以算作弱激波?

若規(guī)定總壓損失不超過1%，則波前馬赫數(shù)允許達到1.2。或：3.正激波前后的參數(shù)計算關于熵增與激波強度關系的證明*：將蘭金－雨貢紐關系寫為：代入熵增表達得：展開并化簡得：（11）超音速風速管測速原理和計算公式超音速飛機上使用的風速管與低速風速管形狀基本相同。此時頭部總壓孔測出的不是來流的總壓而是正激波后的總壓。飛行馬赫數(shù)可用下式計算：代入M2與M1的關系可得：對于空氣，γ＝1.4，代入得：皮托－瑞雷公式，只要測量出p02

和p1即可計算出M1值。3.正激波前后的參數(shù)計算

正如前面已經(jīng)指出，對于超音速繞多個微小內折直線段或凹曲面流動時必然進行壓縮變化。這個連續(xù)的曲面也可以看成是無限個微小直線段連成的折線璧面，每一線段轉折一個微小角度，產(chǎn)生一道微小壓縮波，這些微小壓縮波對當?shù)貧饬鞫云洳ń嵌际邱R赫角，但由于氣流經(jīng)每一道壓縮波后馬赫數(shù)都下降一次，再加上波后氣流沿璧向內轉折，兩種因素都使壓縮波在一定距離處聚攏，末端形成一道具有一定強度的突躍的壓縮波即斜激波，其波角不能用馬赫角計算。由于經(jīng)過激波時參數(shù)發(fā)生劇烈改變，粘性不能忽略，流動不等熵。當璧面在o點直接內折一個非微小量的角度δ時，形成從o點發(fā)出的始終具有一定強度的斜激波。7.6.2斜激波斜激波波面與來流

V1

不垂直，而是成某個夾角β,β

稱為激波斜角或簡稱為激波角，激波角不能按馬赫波方法計算。斜激波波后的氣流方向既不與激波面垂直，也不與波前氣流方向平行而是呈某個夾角δ，稱為氣流折角，指氣流經(jīng)過斜激波后所折轉的角度。超音速氣流流過半尖劈的流譜如圖所示，這種由流動的幾何邊界規(guī)定了流動方向的斜激波稱為方向決定的激波：菱形產(chǎn)生的附著斜激波、膨脹波與尾波(M=1.4)切向分速:

（切向無壓差，由動量方程可證）法向分速:

（利用法向連續(xù)、動量和能量方程可證）不難理解，由于斜激波前后切向分速相等，而沿法向可以寫出與正激波時類似的連續(xù)方程、動量方程和能量方程，差別在于其中的速度用的是法向分量Vn=Vsinβ，從而斜激波前后的參數(shù)關系在形式上與正激波十分相似，不過是用波前法向馬赫數(shù)M1sinβ

代替了正激波的M1。斜激波V1V2β-δV1tV2tβδV2nV1n7.6.2斜激波

1.波前波后氣流參數(shù)的關系突躍絕熱關系，斜激波與正激波時完全一樣，都是蘭金－許貢紐關系式:事實上不論正激波還是斜激波，上述突躍絕熱關系都可以利用壓強比和密度比公式中消去M1sinβ

得到。

7.6.2斜激波

1.波前波后氣流參數(shù)的關系總壓比:馬赫數(shù)關系：由可解出：可見用波前法向馬赫數(shù)M1sinβ

代替正激波的M1

這個辦法不適用于波后馬赫數(shù)M2

的計算，這是因為馬赫數(shù)不僅僅取決于法向關系。上述公式都可把正激波作為一個特例（β＝π/2）包含進去

總溫比:（因為跨過斜激波可視為絕熱流動）7.6.2斜激波

1.波前波后氣流參數(shù)的關系正激波是最強的激波由壓強比公式可知：一定M1下則當β愈大時，斜激波的強度愈大，當β=90°時（正激波），激波強度達到同一

M1下的最大?？梢姰攣砹鱉1不變時，正激波是最強的激波。最弱的激波是馬赫波當P→0時，=1，得： 可見最弱的激波就是馬赫波，而斜激波則是介于馬赫波與正激波之間的一定強度的激波。

7.6.2斜激波

1.波前波后氣流參數(shù)的關系

激波斜角β

與氣流折角δ的關系諸公式中都有sinβ

這個參數(shù)，β是激波斜角。因為事先只知道M1及δ，還不知道β

是多大，故使用上不方便。為此，需要找出δ與β的函數(shù)關系。由速度幾何關系可得：給定M1及δ后要根據(jù)上式計算β，并根據(jù)β去進一步確定相應的參數(shù)關系仍然是不方便的，為此將上述關系制成圖線，方便查閱。斜激波V1V2β-δV1tV2tβδV2nV1nββp2/p1M1對于同一個M1和δ，都有兩個不同的β、、M2

及值。

原因是：對于一定的M1，氣流經(jīng)過正激波時，方向不變，即δ=0°；而氣流經(jīng)過馬赫波（無限微弱的壓縮波）時，仍然δ=0°。因此，當激波斜角β由馬赫角μ增大到90°時，中間必存在某個最大折角δmax。當激波斜角β由μ開始逐漸增大時，δ相應地由0°逐漸增到δmax；而β繼續(xù)增大到90°時，氣流折角δ卻相應地由δmax

逐漸減小到0°。因此，在同一M1之下，一個δ值對應著兩個β。β大者代表較強的激波稱為強波；β小者代表較弱的激波稱為弱波。同樣，M2，σ也都有兩個值與同一個δ相對應。圖中的虛線表示對應于δmax各點的聯(lián)線，這條虛線把各圖分成兩部分，一部分是強波，一部分是弱波。實際問題中出現(xiàn)的究竟是強波還是弱波，再由產(chǎn)生激波的具體邊界條件來確定。根據(jù)實驗觀察，方向決定的斜激波，永遠是只出現(xiàn)弱波，不出現(xiàn)強波。氣流參數(shù)經(jīng)過激波的基本變化趨勢對于弱波而言，在同樣δ之下，M1

愈大，β愈??；對于強波而言，在同一δ之下，則是M1愈大β愈大在同一δ角之下，不論是強波還是弱波，除了在δmax附近以外，激波強度P

都是隨著M1的增大而增強的，表現(xiàn)在增大和σ

減小（損失增大）。由圖看出，強波后的氣流都是亞音速的（M2<1）而弱波后的氣流，除了δmax

附近以外，則是超音速的（M2>1）。因而，一般地可以認為，弱波后的氣流是超音速流使超音速氣流折轉同一角度時，分兩次折轉比一次折轉的損失小。因為這時每一次的氣流折角都比較小，激波弱，雖然經(jīng)過兩次激波，但這是兩道比較弱的激波，總的損失還是比經(jīng)過一道較強的激波小。折轉次數(shù)分得越多，總壓損失就越小。如果用一個連續(xù)內折的內壁使超音速流連續(xù)地內折，則必產(chǎn)生無數(shù)道微弱的壓縮波，使氣流受到等熵壓縮，沒有總壓損失。當然，這是理想情況，但卻是實際設計努力爭取的目標。激波損失的這一特性在設計超音速飛機的進氣擴壓器時很有用。當M1一定時，存在著某個最大折角δmax。當實際折角超過了δmax以后，在激波圖線上找不到任何解答。如令折角δ是定值，那么，必存在M1的某個最小值M1min，當實際

M1

小于M1min時，在激波圖線上也找不到解答。實驗觀察表明，實際出現(xiàn)的是離體的曲面激波除了超音速氣流受到內折時會產(chǎn)生斜激波之外，當超音速氣流在停滯或減速提高壓強時也會產(chǎn)生斜激波，例如從噴管中流出的超音速氣流壓強低于環(huán)境壓強時，在噴管的出口邊緣處產(chǎn)生兩道激波，使波后壓強提高到反壓的大小。與方向決定的激波唯一不同的是，激波強度現(xiàn)在是由確定的壓強比所規(guī)定，如果壓強比規(guī)定的激波是強波，那么就查圖線中的強波部份；如規(guī)定的是弱波則查圖線中的弱波部份。超音速氣流流過圓錐時，若圓錐的頂角δ錐不是太大，則產(chǎn)生一道附體的圓錐形的激波，其頂點與固體圓錐的頂點重合。δ錐δ錐=30o圓錐激波與平面斜激波有什么相同之處與不同之處？相同之處：二者都是斜激波，因而，如M1

和激波角相同的話，激波前后的氣流參數(shù)亦相同，斜激波公式及圖表都可用。不同之處：波后的流場不同：超音速氣流經(jīng)過平面斜激波后，立即折轉到與尖劈表面平行的方向，波后流線保持為直線，波后氣流參數(shù)是均一的。在相同半頂角下，由于圓錐的三維效應使擾動變弱，圓錐激波角小于平面斜激波。故超音速氣流經(jīng)過圓錐激波以后，氣流方向折轉的角度δ，比圓錐的半頂角δ錐小。氣流在圓錐激波下游連續(xù)地進行等熵壓縮，繼續(xù)改變流速大小及方向，逐漸地趨向于與圓錐表面平行（無限遠處）。流線上各點切線與對稱軸的夾角則由δ逐漸變大，一直到等于半錐角。剛跨過圓錐激波下游的流線不是直線，而是曲線。圓錐激波后是錐型流