EMF8 cont 庫(kù)侖定律及場(chǎng)強(qiáng)

第8講電位函數(shù)授課內(nèi)容靜電場(chǎng)旋度和環(huán)路定律電位函數(shù)高斯通量定理8.1靜電場(chǎng)旋度和環(huán)路定律

1).

靜電場(chǎng)旋度（從物理角度）8.1.1

靜電場(chǎng)的旋度

分析當(dāng)電荷q0在電場(chǎng)從P點(diǎn)沿路徑C移至Q(P0)點(diǎn)時(shí)所做的功。

定義P、Q兩點(diǎn)間的電壓為：

分析點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，P、Q兩點(diǎn)間的電壓：可見(jiàn)，UPQ只與P和Q點(diǎn)的位置有關(guān)，而與所取路徑無(wú)關(guān)。對(duì)于任何電荷分布，該結(jié)論都成立。

2).

靜電場(chǎng)的無(wú)旋性（從數(shù)學(xué)角度）

點(diǎn)電荷電場(chǎng)

矢量恒等式：故，靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。取旋度0

2’).

靜電場(chǎng)的無(wú)旋性（從數(shù)學(xué)角度）

分布電荷電場(chǎng)故靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。利用

當(dāng)取電場(chǎng)E沿閉合路徑的線(xiàn)積分時(shí)，有在靜電場(chǎng)中，沿任一閉合路徑繞一周移動(dòng)單位正電荷，電場(chǎng)力做的功為0，這意味著當(dāng)所有電荷分布一定時(shí)，電場(chǎng)能量即為一定值，故靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)。右式表明靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)。由斯托克斯定理，得

在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān),靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。

二者等價(jià)。QPmn8.1.2

靜電場(chǎng)的環(huán)路定律8.2電位函數(shù)1)

電位的引出根據(jù)靜電場(chǎng)的無(wú)旋性，可以定義另一個(gè)表征靜電場(chǎng)特性的場(chǎng)量---標(biāo)量電位。如果取Q點(diǎn)作為電位參考點(diǎn)(電位為0)，則P點(diǎn)電位定義為：

電位的單位與電壓相同，為V(伏)。物理含義:與將電荷從一點(diǎn)移至另一點(diǎn)所做的功有關(guān)。在靜電場(chǎng)中，將單位電荷從P1點(diǎn)移P2點(diǎn)，克服電場(chǎng)力所做的功為：2)

電位參考點(diǎn)的選擇原則

場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。任意兩點(diǎn)的電壓就是兩點(diǎn)間的電位差。

同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。

選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。在實(shí)際工作中，常常把大地表面作為電位參考點(diǎn)。而在理論分析中，只要引起電場(chǎng)的全部電荷都在有限的空間區(qū)域內(nèi)，都可取無(wú)窮遠(yuǎn)處作為電位參考點(diǎn)。

參考點(diǎn)的選取是任意的，參考點(diǎn)不同，各點(diǎn)的電位都增加(或減少)一個(gè)常數(shù)。3)

已知電荷分布，求電位：點(diǎn)電荷群連續(xù)分布電荷設(shè)參考點(diǎn)在無(wú)究遠(yuǎn)處，真空中一個(gè)位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q在離它R遠(yuǎn)處的電位為：4)

電位與電場(chǎng)強(qiáng)度關(guān)系：根據(jù)靜電場(chǎng)的無(wú)旋性微分關(guān)系：右式說(shuō)明，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。是對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的微分算符，積分是對(duì)源點(diǎn)進(jìn)行，可提到積分號(hào)外設(shè)P0為電位參考點(diǎn)，即，則P點(diǎn)電位為電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系線(xiàn)積分所以式中5)

電力線(xiàn)與等位線(xiàn)（面）

E線(xiàn)：曲線(xiàn)上每一點(diǎn)切線(xiàn)方向應(yīng)與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向一致，若是電力線(xiàn)的長(zhǎng)度元，E

矢量將與方向一致，故電力線(xiàn)微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線(xiàn)E的方程。當(dāng)取不同的

C值時(shí)，可得到不同的等位線(xiàn)（面）。

在靜電場(chǎng)中電位相等的點(diǎn)的曲面稱(chēng)為等位面，即等位線(xiàn)(面)方程:例:畫(huà)出電偶極子的等位線(xiàn)和電力線(xiàn)。電偶極子：相距很近的兩個(gè)等值異號(hào)電荷。(其與場(chǎng)點(diǎn)距離遠(yuǎn)大于其正負(fù)電荷距離)電偶極子的電矩：

(p的方向由-q指向q)采用球坐標(biāo)系：電力線(xiàn)微分方程（球坐標(biāo)系）：代入上式，得解得Ｅ線(xiàn)方程為將和代入上式，等位線(xiàn)方程（球坐標(biāo)系）：

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子

當(dāng)R很大，且d<<R,r1,r2和R近似平行。r1r2電力線(xiàn)與等位線(xiàn)（面）的性質(zhì)：

E線(xiàn)不能相交;

E線(xiàn)起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;

E線(xiàn)愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大;

E線(xiàn)與等位線(xiàn)（面）正交；電偶極子的等位線(xiàn)和電力線(xiàn)點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場(chǎng)點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)均勻場(chǎng)中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場(chǎng)均勻場(chǎng)中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場(chǎng)點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場(chǎng)點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場(chǎng)例2-3：下圖表示真空中平面上一半徑為a的圓形線(xiàn)電荷，其線(xiàn)密度為，求軸線(xiàn)上離圓心z處P點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。

由于電荷分布的對(duì)稱(chēng)性，該處的電場(chǎng)強(qiáng)度僅有z方向的分量，即應(yīng)用圓柱坐標(biāo)系，P點(diǎn)電位為解：取一線(xiàn)元，其上所帶電荷量為，源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離為解：在圓盤(pán)上取一半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，由于dr

很小，源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離即為，圓環(huán)上的元電荷，它在軸線(xiàn)上P點(diǎn)所產(chǎn)生的電位為例2-4：求電荷密度為、半徑為a的均勻帶電圓盤(pán)（見(jiàn)圖）軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度。并代入a=r

，則同樣可得或者利用前例中圓形線(xiàn)電荷在軸線(xiàn)上產(chǎn)生的電位的公式，將dr

很小形成的圓環(huán)看成是圓形線(xiàn)電荷，其相應(yīng)的線(xiàn)電荷密度滿(mǎn)足：整個(gè)圓盤(pán)上的電荷在P點(diǎn)的電位（z>0）可見(jiàn)，只要z有限，則E是均勻的，且與z無(wú)關(guān)。當(dāng)時(shí)，相當(dāng)與無(wú)限大帶電荷平面在其一側(cè)（z>0）附近產(chǎn)生的場(chǎng)：應(yīng)用圓柱坐標(biāo)系中的梯度表達(dá)式，可得到電場(chǎng)強(qiáng)度為8.3.1高斯通量定理的微分形式8.3真空中的高斯定理（靜電場(chǎng)中場(chǎng)與源的關(guān)系）作散度運(yùn)算高斯定理的微分形式說(shuō)明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電荷是電場(chǎng)的通量源。8.3.2高斯定理的積分形式

在無(wú)限大真空中有一點(diǎn)電荷，以該點(diǎn)電荷的在處為球心作一任意半徑為r的球面，則由該球面穿出的E通量應(yīng)為：

在如果包圍點(diǎn)電荷的是一個(gè)任意形狀的閉合面，則由該閉合面穿出的E能量應(yīng)為：

E對(duì)任意閉合面的通量只與面內(nèi)包含的電荷多少有關(guān)，而與閉合面的形狀無(wú)關(guān)。高斯定理：在真空電場(chǎng)中，由任意閉合面穿出的E通量，應(yīng)等于該閉合面所包圍的電荷的代數(shù)和與真空電容率的比值

如果在無(wú)限大真空的電場(chǎng)中，閉合面S包圍了N個(gè)點(diǎn)電荷，根據(jù)疊加原理，可得：真空中高斯通量定理的積分形式靜電場(chǎng)中任一閉合面上E的通量不恒等于0，說(shuō)明靜電場(chǎng)是有通量源的場(chǎng)，通量源為電荷。通過(guò)計(jì)算立體角的方法8.3.3

E的通量閉合曲面的電通量閉合面外的電荷對(duì)場(chǎng)的影響散度定理

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。

E的通