復(fù)變函數(shù)留數(shù)

CH5

留數(shù)1、孤立奇點(diǎn)

2、留數(shù)(Residue)

3、留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用§5.1

孤立奇點(diǎn)1.定義2.分類3.性質(zhì)4.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系5.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài)1.定義例如----z=0為孤立奇點(diǎn)----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點(diǎn)----z=1為孤立奇點(diǎn)定義~~~~~~~~~xyo這說明奇點(diǎn)未必是孤立的.2.分類以下將f(z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類.考察：特點(diǎn)：沒有負(fù)冪次項(xiàng)特點(diǎn)：只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)特點(diǎn)：有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)定義設(shè)z0是f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在z0

的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級(jí)數(shù)沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為可去奇點(diǎn);只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為m階極點(diǎn);有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為本性奇點(diǎn).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性質(zhì)若z0為f(z)的可去奇點(diǎn)若z0為f(z)的m(m1)

階極點(diǎn)例如：z=1為f(z)的一個(gè)三階極點(diǎn)，z=i為f(z)的一階極點(diǎn).若z0為f(z)的本性奇點(diǎn)4.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m階零點(diǎn).例如：性質(zhì)1事實(shí)上，必要性得證！充分性略！例如性質(zhì)2性質(zhì)3:證明“”

若z0為f(z)的m階極點(diǎn)推論:極點(diǎn)的判定方法小結(jié)：的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開式中含有限項(xiàng).在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價(jià)形式判別(3)利用極限判斷.(4)利用零點(diǎn)和極點(diǎn)關(guān)系判斷.例解顯然，z=i是(1+z2)的一階零點(diǎn)綜合解(8)

函數(shù)除點(diǎn)外,所以這些點(diǎn)都是的一階零點(diǎn),故這些點(diǎn)中除1,2外,都是的三階極點(diǎn).內(nèi)解析.在都是的三階零點(diǎn),那么是的可去奇點(diǎn).不是的孤立奇點(diǎn).由無窮點(diǎn)孤立奇點(diǎn)定義5.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài)定義令變換規(guī)定此變換將:映射為擴(kuò)充z

平面擴(kuò)充t平面映射為映射為映射為規(guī)定1.留數(shù)的定義

2.留數(shù)定理

3.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則

4.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)§5.2留數(shù)(Residue)1.留數(shù)的定義設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn);內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù):在.的某去心鄰域C為鄰域內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)定義設(shè)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)(z-z0)–1的系數(shù)c–1

稱為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]

或Resf(z0).由留數(shù)定義,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)2.留數(shù)定理定理證明Dcznz1z3z2由復(fù)合閉路定理得：用2i除上式兩邊得:得證！

求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點(diǎn)的留數(shù).

一般求Res[f(z),z0]是采用將f(z)在z0鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)c–1的方法,但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利.以下就三類孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：3.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則規(guī)則I規(guī)則II事實(shí)上，由條件當(dāng)m=1時(shí)，式(5)即為式(4).規(guī)則III事實(shí)上，例1解例2解例3解例4解故由留數(shù)定理得：

(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則.如是f(z)的三階極點(diǎn).---該方法較規(guī)則II更簡單！

(2)由規(guī)則II的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則II時(shí)，可將m取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，這可使計(jì)算更簡單.如3.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義由此得注意積分路線取順時(shí)針方向定理如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），那么f(z)在所有孤立奇點(diǎn)

的留數(shù)和等于零......證由留數(shù)定義有:(繞原點(diǎn)的并將內(nèi)部的正向簡單閉曲線)包含在[證畢]說明:由定理得(留數(shù)定理)計(jì)算積分計(jì)算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).計(jì)算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)的方法.練習(xí)解在內(nèi)§5.3留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用在數(shù)學(xué)分析中，以及許多實(shí)際問題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；例如或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜，例如（2）利用留數(shù)計(jì)算積分，沒有一些通用的方法，我們主要通過例子進(jìn)行討論；利用留數(shù)計(jì)算積分的特點(diǎn)：（1）利用留數(shù)定理，我們把計(jì)算一些積分的問題，轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，從而大大化簡了計(jì)算；例1.

計(jì)算積分思想方法

:封閉路線的積分

.兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條解：令而且當(dāng)t從0增加到時(shí)，z按逆時(shí)針方向繞圓C:|z|=1一周.因此于是應(yīng)用留數(shù)定理，只需計(jì)算在|z|<1內(nèi)極點(diǎn)處的留數(shù)，就可求出I.上面的被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)：顯然因此被積函數(shù)在|z|<1內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z1，而它在這點(diǎn)的留數(shù)是：于是求得結(jié)論1.

計(jì)算形如的積分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零時(shí)可得：

z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內(nèi)的孤立奇點(diǎn).例2.

計(jì)算積分2.

積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.

被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).解：首先，這是一個(gè)廣義積分，它顯然是收斂的.我們應(yīng)用留數(shù)定理來計(jì)算它.考慮函數(shù)這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)二階極點(diǎn)，在上半平面上的一個(gè)是z=i.作以O(shè)為心、r為半徑的圓盤.xy..其中表示Cr上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的.考慮這一圓盤在上半平面的部分，設(shè)其邊界為Cr.取r>1，那么z=i包含在Cr的內(nèi)區(qū)域內(nèi),沿

Cr取的積分，得xy..現(xiàn)在估計(jì)積分我們有因此令，就得到xy..結(jié)論2.應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次.例3.

計(jì)算積分解：取r>0，則有函數(shù)在時(shí)有一階極點(diǎn)z=i外，在其他每一點(diǎn)都解析,取積分區(qū)域如圖，而只要取r>1.于是我們有xy..于是我們有其中表示Cr上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的.xy..結(jié)論3.應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高1次.xy..其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零.

結(jié)論1：其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次.結(jié)論2：其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高1次.結(jié)論3：

練習(xí).

計(jì)算下列積分.在上半平面只有一階極點(diǎn)又

例4.

計(jì)算積分函數(shù)只是在z=0有一個(gè)一階極點(diǎn).解：取，使于是我們有作積分路徑如右圖,在上半平面上作以原點(diǎn)為心,為半徑的半圓

的積分分別是按幅角減小與增加的方向取的.現(xiàn)在求當(dāng)趨近于0時(shí)，的極限.圍道積分法其中h(z)是在z=0的解析函數(shù).因此由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一個(gè)鄰域內(nèi)，|h(z)|有上界當(dāng)時(shí)于是當(dāng)充分小時(shí)從而令，應(yīng)用結(jié)論3的推導(dǎo)過程，可以得到所求積分收斂，并且本章作業(yè)1.（3），（5），（9）；8.（3），（5），（6），（7）；9.（1），（