基本數(shù)學(xué)運(yùn)算1

第一章基本的數(shù)值運(yùn)算§1.1數(shù)值微分§1.2數(shù)值積分§1.3函數(shù)方程求根§1.4雙原子分子振動(dòng)能級的半經(jīng)典量子化§1.5中心位勢的散射在數(shù)值運(yùn)算的大多數(shù)計(jì)算中,有三種最基本的數(shù)值運(yùn)算,那就是數(shù)值微分,數(shù)值積分,數(shù)值求根.§1.0插值方法§1.0插值方法當(dāng)我們需要從一些分離的數(shù)據(jù)推斷他的局部信息時(shí),就需要插值.拉格朗日(Lagrange)插值已知分離點(diǎn)要求y(x)的最簡單方法是線性插值如果用三點(diǎn)來插值如果是n+1點(diǎn)插值拉格朗日n次插值公式牛頓插值法由拉格朗日法,如果增減節(jié)點(diǎn)數(shù),要重新計(jì)算基函數(shù).用牛頓法可以解決這個(gè)問題.系數(shù)a由以下插值條件決定一階差商同理可得二階差商若定義k階差商為那么有這樣我們就得到牛頓插值公式牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是:當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),只要增加一項(xiàng)就行了,且有遞推關(guān)系如果不僅給出各點(diǎn)的函數(shù)值,而且給出各點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值.這時(shí)可使用2n+1階Hermite插值.§1.1數(shù)值微分利用泰勒級數(shù)來求數(shù)值微分公式差分公式①對(1.2)式取一級近似，得②如果對(1.2)式取二級近似(假設(shè)f”i存在)，所得兩式相減，得③如果對(1.2)、(1.3)式取四級近似，容易證明下述公式④對(1.2)式取三級近似，容易證明，二階導(dǎo)數(shù)的三點(diǎn)中心差分公式為⑤若函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都存在，利用(1.2)、(1.3)式的適當(dāng)組合，就可得到各階導(dǎo)數(shù)的4點(diǎn)、5點(diǎn)差分公式，其表達(dá)式見表1.2。高階差分公式不一定比低階差分公式好。如果函數(shù)具有連續(xù)高階導(dǎo)數(shù)選取高階差分公式較好，如果不具高階導(dǎo)數(shù)選取低階差分公式較好。表1.2⑥如果不是等間隔格點(diǎn)，或者所求導(dǎo)數(shù)不在格點(diǎn)上，則常用拉格朗日插值公式來計(jì)算微分。三點(diǎn)拉格朗日插值公式為§1.2數(shù)值積分①梯形積分：對于積分②定步長辛卜生積分：若利用泰勒展開式(1.2)和差分公式(1.6)(1.8)式，得這就是定步長辛卜生積分公式，其誤差關(guān)于h是五階的。它要求被積函數(shù)必須存在1階和2階導(dǎo)數(shù)。辛卜生積分方法：定步長方法，變步長方法，自適應(yīng)積分方法。更高階的積分方法：龍貝格積分方法，高斯型積分方法，…。積分方法選取原則：(1).若被積函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且無很大的尖峰存在，通常使用高階的龍貝格積分方法。若想使積分花最少的時(shí)間，最好使用固定的N點(diǎn)高斯積分(見第三章)方法。因?yàn)樗姆e分精度最高。但條件是能預(yù)知N取多大，就能滿足精度要求。(2).若被積函數(shù)具有少數(shù)幾個(gè)較高較窄的峰或谷，往往采用自適應(yīng)辛卜生積分方法。因?yàn)檫@種方法是專門為這種情況設(shè)計(jì)的。(3).若被積函數(shù)不具有高階導(dǎo)數(shù)，但仍具有1階導(dǎo)數(shù)，通常采用變步長辛卜生積分方法。(4).若被積函數(shù)不光滑，甚至不連續(xù)，一般采用梯形積分方法較為可靠。另外，對于高振蕩函數(shù)，還有專門的積分方法?！?.3函數(shù)方程求根簡單搜索法、牛頓法、弦割法和連分式方法。其它十幾種方法。一、簡單搜索法(即對分法或二分法)。

SQR1.FORCALLSQR1(2.0,1.E-5)ENDFUNCTIONF(X)F=X*X-5.N=N+1WRITE(7,*)N,X,FENDSUBROUTINESQR1(X,EPS)DX=.5F1=F(X)10IF(DX.LE.EPS)GOTO20X=X+DXI=I+1F2=F(X)IF(F1*F2.GT.0.)GOTO10X=X-DXDX=.5*DXGOTO1020CONTINUEEND

Nxf(x)12.000000-1.00000022.5000001.25000032.2500006.250000E-0242.125000-4.843750E-0152.2500006.250000E-0262.187500-2.148438E-0172.2500006.250000E-0282.218750-7.714844E-0292.2500006.250000E-02102.234375-7.568359E-03112.2500006.250000E-02122.2421882.740479E-02132.2382819.902954E-03142.2363281.163483E-03152.235352-3.203392E-03162.2363281.163483E-03172.235840-1.020193E-03182.2363281.163483E-03192.2360847.158518E-05202.235962-4.743189E-04212.2360847.158518E-05222.236023-2.013706E-04232.2360847.158518E-05242.236053-6.489363E-05252.2360847.158518E-05262.2360693.345544E-06但使用該法必須滿足下述幾個(gè)條件：a.f’(x),f”(x)必須存在，f’(x)不等于零，且能求出f’(x)的解析表達(dá)式。b.必須有

f”(x)不變號，即單調(diào)凸函數(shù)或單調(diào)凹函數(shù)，否則迭代不收斂而失敗。這種條件有時(shí)很難滿足，這是該法的最大缺陷

ROOT.FOR

SUBROUTINEROOT(X1,X2,E1,E2,RT)FL=F(X1)FH=F(X2)IF(ABS(FL).LE.E1)GOTO20IF(ABS(FH).LE.E1)GOTO20IF(FL.LT.0.)THENXL=X1XH=X2ELSEXL=X2XH=X1SW=FLFL=FHFH=SWENDIFDX=XH-XL

DO10I=1,30RT=XL+DX*FL/(FL-FH)FC=F(RT)IF(FC.LT.0.)THENDEL=XL-RTXL=RTFL=FCELSEDEL=XH-RTXH=RTFH=FCENDIFDX=XH-XLIF(ABS(DEL).LT.E2)GOTO20IF(ABS(FC).LE.E1)GOTO2010CONTINUEPAUSE'計(jì)算超過30次'20RETURNEND四、連分式解法其它求根方法還有黃金分割法，拋物插值法等十多種方法。每種方法各有優(yōu)點(diǎn)和不足，要針對不同的情況，選用不同的方法。有如下的原則：a.二分法的優(yōu)點(diǎn)是可靠，但效率太低。b.牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，但若不滿足那些條件，求根將失敗。若計(jì)算導(dǎo)函數(shù)所花的時(shí)間較