高等量子力學-chapter6

第六章二次量子化理論研究由全同粒子構成的相互作用多粒子體系,二次量子化方法是一種有效的方法1.波函數(shù)的二次量子化表象考慮系統(tǒng)由N個相互作用的全同粒子組成相互作用能動能含時Schrodinger方程引入單粒子力學量完全集的共同本征函數(shù)滿足正交歸一化和完備性條件各種不同單粒子函數(shù)的乘積構成粒子態(tài)的完全集,任意一個粒子態(tài)可以展開成全同粒子波函數(shù)具有對稱性對稱波函數(shù)(玻色子體系)反對稱波函數(shù)(費米子體系)表示任意交換二個粒子坐標時,波函數(shù)必須是對稱的,或是反對稱的.由波函數(shù)的對稱性要求給出:展開系數(shù)自身在交換相應量子數(shù)時,也必須是對稱或反對稱的(一)玻色子波函數(shù)是對稱的,引入對稱化函數(shù)乘積

為對處于不同量子態(tài)的粒子置換可以證明任意的對稱波函數(shù)可寫成的線性組合函數(shù)的性質:它對下標的任意一個置換是對稱的;可以用一組整數(shù)來標記它,

其中表示在中遇到量子態(tài)1的次數(shù);

表示…

量子態(tài)2的次數(shù);

表示…量子態(tài)f的次數(shù);這組數(shù)稱為狀態(tài)占據(jù)數(shù)，函數(shù)完全被這組占據(jù)數(shù)確定

記函數(shù)為：占據(jù)數(shù)可取任意正整數(shù)但應滿足一個條件:

(為總粒子數(shù))函數(shù)組對不同的占據(jù)數(shù)組是彼此正交的.歸一化后,得到一組正交歸一化對稱函數(shù)系對稱波函數(shù)可以按它們展開這就是二次量子化表象,以占據(jù)數(shù)為自變量的函數(shù)是二次量子化表象中的波函數(shù).存在關系式:波函數(shù)的歸一化:可以把看作是系統(tǒng)處于某一特定單粒子態(tài)占據(jù)數(shù)分布狀態(tài)的幾率(二)費米子波函數(shù)是反對稱的,引入反對稱化的函數(shù)乘積其中

為偶置換為奇置換這個函數(shù)可以表示成大家熟悉的行列式形式函數(shù)中有任意兩個函數(shù)相同,

則反對稱函數(shù)乘積恒等于0,因此下標中沒有二個是相同的.

通過置換可使下標按從小到大排列

任意一個反對稱波函數(shù)可以表示為用占據(jù)數(shù)組來表示

表示量子態(tài)在

中出現(xiàn)的次數(shù)由于各不相同,所以即在費米統(tǒng)計情況下:并且每一個可能的占據(jù)數(shù)分布與函數(shù)一一對應記對于不同的占據(jù)數(shù)組函數(shù)是正交的歸一化后,得到一組正交歸一化函數(shù)基:它們構成反對稱波函數(shù)空間的完備基任意反對稱波函數(shù)可展開為這是費米子系統(tǒng)的二次量子化表象,展開系數(shù)就是二次量子化表象中的波函數(shù)同樣有:

表示某一單粒子態(tài)分布出現(xiàn)的幾率既然,則,所以有與玻色統(tǒng)計中的關系式完全相似2.二次量子化表象中的Schrodinger方程（一）玻色子系統(tǒng)的二次量子化引入與時間無關的態(tài)矢量表示在量子態(tài)上有個粒子，在有個粒子，等等要求這組基矢是完備的和正交歸一化的，即引入與時間無關的產(chǎn)生算符和消滅算符（玻色子對易關系）這正是諧振子的產(chǎn)生和消滅算符的對易規(guī)則，它具有性質：

是粒子數(shù)算符的本征態(tài)，本征值為（為真空態(tài)）推廣到無窮多個所有量子態(tài)的情況既占據(jù)數(shù)表象中基矢是某個量子態(tài)粒子數(shù)本征態(tài)的直接乘積下面考慮態(tài)矢量的滿足的Schrodinger方程，令寫在x表象中即其中即為前面討論過的對稱歸一化基矢

滿足的方程方程對時間的依賴關系都包含在系數(shù)中通過求出所滿足的方程，最終可以得到Schrodinger方程的二次量子化形式

是占據(jù)數(shù)表象中的算符，它與產(chǎn)生算符和消滅算符有關，即是哈密頓量的二次量子化形式其中矩陣元是普通的c數(shù)其它任意力學量都可以在占據(jù)數(shù)表象中表示成算符形式例如，坐標表象中，單體算符二體算符表示為二次量子化形式：引入所謂“量子化的波函數(shù)”

其實是Schrodinger場算符，則有用來表示力學量哈密頓算符哈氏量的上述形式指出了二次量子化這個名稱的來由．用幾率波描述粒子運動時，我們考慮了粒子的波粒二象性，進行過一次量子化，現(xiàn)在將當作場，又把它看成算符，相當于又進行了一次量子化．所以稱為二次量子化．（二）費米子系統(tǒng)的二次量子化波函數(shù)反對稱類似于玻色子，引入抽象的占據(jù)數(shù)空間則這里，反映費米子統(tǒng)計性質

采用Jordan和Wigner方法，引入滿足反對易規(guī)則的產(chǎn)生和消滅算符（費米子對易關系）這里性質：，因此，制止兩個粒子占據(jù)同一狀態(tài)，因此粒子數(shù)算符具有本征值０或１直接可證使得集合可以同時對角化，使占據(jù)數(shù)態(tài)矢量的定義成為可能反對易規(guī)則給出升降算符的性質定義消滅算符作用于這個態(tài)的效果其中而與玻色子系統(tǒng)類似,可以將Schrodinger方程用二次量子化表示為：＊注意哈密頓函數(shù)的最后兩個消滅算符的次序同樣可以引入費米子系統(tǒng)的場算符則哈氏量可表示為注意勢能中最后二個場算符的次序，它保證了是厄密的．３．二次量子化應用舉例（一）簡并電子氣體將討論一個簡單的模型，它提供金屬或等離子體的一個粗略近似．考慮的系統(tǒng)是處于均勻正電背景中的相互作用電子氣體．正電背景保證整個系統(tǒng)是電中性的．系統(tǒng)總的哈密頓量其中是正電背景的粒子密度，為收斂因子最終?。畬τ诰鶆蛘姳尘?，容易求出

由于庫侖長程相互作用，在時發(fā)散利用平移不變性,也可以計算出因此，總哈密頓量為下面討論如何按二次量子化改寫哈氏量選單粒子波函數(shù)為平面波自旋波函數(shù)箱歸一化，周期性邊界條件動能項矩陣元動能算符可解釋為每個量子態(tài)的動能乘以相應的粒子數(shù)算符對于勢能項，需要計算矩陣元最后一個Kronecker

表示均勻系統(tǒng)中的動量守恒

可改寫為動量求和限制了對的求和，只有三個獨立變量而不是四個．作變量代換保證

且是兩粒子相互作用中的動量轉移方程最后一項為將它分成和的兩項式中第一個求和號旁的一撇代表除去的項，第二個求和項等于處理粒子數(shù)固定的系統(tǒng)，算符可以用它的本征值代替．該項貢獻為第一項與中第一項抵消，而第二項在熱力學極限下可以忽略．最終得到二次量子化哈密頓量這里已取極限，且假設

引入無量綱變量先用每個粒子的體積來定義一個長度

實質是粒子間距．另有Bohr半徑這兩個量之比是無量綱的表征系統(tǒng)密度可以證明在高密度極限下（），勢能成為一個微擾，因此相互作用能可以用微擾論來計算將哈密頓量分成兩部分：

是無微擾哈密頓量，表示沒有相互作用的費米系統(tǒng)，是微擾項．相應基態(tài)能量

是自由Fermi氣體的基態(tài)能量是一級微擾能量由Pauli不相容原理，在每個動量本征態(tài)上只容許占據(jù)一個自旋向上，一個自旋向下電子

的基態(tài)是一個動量空間的一個Fermi球Fermi動量

,

由系統(tǒng)總粒子數(shù)確定

的期待值在自由Fermi氣體中，每個粒子的平均基態(tài)能量是Fermi能的倍計算能量一級修正矩陣元不為0,要求消滅算符與產(chǎn)生算符配成對,這只有二種可能性:or第一種配對是不允許的，因為在求和中排除了

項，于是矩陣元為給出作變量代換化為對稱形式對積分有貢獻，要求和都小于，即和都在Fermi球內(nèi)．積分區(qū)域如圖所示陰影部分體積在高密度極限下，每個粒子基態(tài)能量近似為方程中第一項是Fermi電子氣體的動能,在高密度極限下()成為主要項.第二項通常稱為交換能,并且是負的,它來源于波函數(shù)的反對稱性.微擾展開可以計算到更高級的項其中,及更高級系數(shù)的計算相當困難,需用Green函數(shù)和費曼圖方法現(xiàn)在僅考慮前兩項,作為的函數(shù)

能量曲線有負的極小值,因此系統(tǒng)處于束縛態(tài)實驗室條件下,金屬Na:當考慮低密度極限()時,Wigner證明:電子將構成點陣結構,稱為”Wigner晶體”.這是由于與電子定域化相聯(lián)系的零點動能遠小于構成點陣的電子靜電能.Wigner證明這種固體中每個粒子的能量為(Wigner晶體)(二)超導BCS理論超導現(xiàn)象是Kamerlingh

Onnes

在1911年發(fā)現(xiàn)的(1)超導現(xiàn)象Lead(Pb)

Lanthanum(La)

Tantalum(Ta)

Mercury(Hg)

Tin(Sn)

Indium(In)

7.196K

4.88K

4.47K

4.15K

3.72K

3.41K

3.3K

TcMeissnereffect（２）模型哈密頓量Bardeen-Cooper-Schrieff

提出超導體中電子系統(tǒng)哈密頓量為其中矩陣元若其它情況即假設動能在費米面兩側范圍內(nèi),并且具有相反動量和自旋的一隊電子之間存在弱吸引力把矩陣元記為,則上式稱為BCS約化哈密頓量（３）BCS基態(tài)及變分法由于吸引相互作用，費米海是不穩(wěn)定的，形成Cooper束縛對，基態(tài)由動量和自旋相反的電子構成對式中表示一對狀態(tài)被占據(jù)的幾率為,沒有占據(jù)的幾率為系數(shù)和可用變分法確定考慮巨正則系綜,基態(tài)自由能自由能極小記,即取動能的零點為類似,相互作用項可直接計算證明此式.注意到相互作用項是從的狀態(tài)散射到的狀態(tài)過程,這就要求初態(tài)狀態(tài)被占據(jù),態(tài)空缺,末態(tài)恰好相反.這樣的初態(tài)的幾率振幅為

,末態(tài)則為,相乘得到上面的結果.因此取和為實數(shù),滿足約束條件