平行線相似三角形性質(zhì)和判定

平行線相似三角形性質(zhì)和判定第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日平行線的定義、性質(zhì)和判定(1)定義

在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線(2)性質(zhì)a.若兩直線平行,則同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)b.平行線間的距離相等,夾在兩平行線間的平行線段相等c.平行公理:過直線外有且只有一條直線和這條直線平行(3)判定a.若同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ),則兩直線平行b.若a∥c,b∥c,則a∥bc.在同一平面內(nèi),若a⊥c,b⊥c,則a∥b第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日平行線的判定平行線的性質(zhì)條件結(jié)論條件結(jié)論同位角相等兩直線平行兩直線平行同位角相等內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)在同一個平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日平行線的判定平行線的性質(zhì)條件結(jié)論條件結(jié)論同位角相等兩直線平行兩直線平行同位角相等內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)在同一個平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日初學(xué)者容易混淆平行線的判定定理和性質(zhì)定理兩個方面加深理解：一是從意義上看平行的判定是“判定”平行就是說，在已知兩角相等或互補(bǔ)或其它的題設(shè)下，得到兩直線平行的結(jié)果；平行線的性質(zhì)是“平行”以后才有的“性質(zhì)”就是說，在已知兩直線平行的題設(shè)下，得出的平行線的某些性質(zhì)．二是從作用上看平行線的判定是證明兩直線平行的依據(jù)平行的性質(zhì)是作為證明兩角相等或互補(bǔ)的依據(jù)．表達(dá)時要特別注意因果關(guān)系．第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日例1如圖，已知AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求證：AB∥CD．錯證因為AD∥BC(已知)，所以∠3=∠4(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．又∠BAD=∠BCD(已知)，所以∠1=∠2(等量減等量，差相等)，所以AB∥CD(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．診斷如果不考慮后面括號內(nèi)所注明的理由，那么上述全部推導(dǎo)過程是合理的．但是從論證整個過程來看，這是錯誤的．原因在于對平行線的判定定理和性質(zhì)定理混淆不清，因而造成邏輯推理上的錯誤．事實上，由兩直線平行推出兩角相等，是根據(jù)平行線的性質(zhì)定理；由兩角相等推出兩直線平行，則是根據(jù)平行線的判定定理．第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日例27如圖2－19，已知OE，OF是兩條射線，AC經(jīng)過點O，且AB⊥OE于點B，CD⊥OF于點D，∠AOB=∠COD，求證：AB∥CD．錯證因為AB⊥OE，CD⊥OF(已知)，所以AB∥CD(如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行)．診斷這里的問題在于：一是“如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”在義務(wù)教材中沒有作為定理，就不能作為證題的論據(jù)；二是沒有證明E，O，F(xiàn)在一條直線上，就默認(rèn)它們在一條直線上．這就犯了虛假論據(jù)的錯誤．正確證法因為∠AOB=∠DOC(已知)，∠AOD＋∠DOC=180°(平角定義)，所以∠AOD＋∠AOB=180°．又E，F(xiàn)分別在邊OB，OD上，所以E，O，F(xiàn)三點在同一直線上．又因為AB⊥OE，CD⊥OF(已知)，所以∠ABO=∠CDO=90°．所以AB∥CD(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日例1.如圖是某市部分街道圖，比例尺是1:10000，請你估計三條道路圍成的三角形地塊ABC的實際周長和面積.解：地圖上的比例尺為1：10000，就是地圖上的△ABC與實際三角形地塊的相似比為1：10000，量得地圖上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm?！嗳切蔚貕K的實際周長為9.7×104cm，即970m。∴三角形地塊的實際面積為4.18×108cm2,即41800m2答：估計三角形地塊的實際周長為970米，實際面積為41800平方米?！逜BCD∵×3.8×2.2=4.18cm2∴地圖上△ABC的面積為則地圖上△ABC的周長為3.4+3.8+2.5=9.7(cm)量得BC這上的高為2.2cm第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日小結(jié)判斷四條線段是否成比例的方法有兩種：

(1)把四條線段按大小排列好，判斷前兩條線段的比和后兩條線段的比是否相等。若第1，4兩個數(shù)的積等于第2，3兩個數(shù)的積，則四條線段成比例，否則不成比例。(2)查看是否有兩條線段的積等于其余兩條線段的積。四條線的單位要一致第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日例2

如圖，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜邊ＡＢ上的高線，請找出一組比例線段，并說明理由.ＡＢＣＤ分析：(1)根據(jù)比例基本性質(zhì)，要判斷四條線段是否成比例，只要采取什么方法?(看其中兩條線段的乘積是否等于另兩條線段的乘積)第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日

比例基本性質(zhì)比例的靈活變形可助你達(dá)到希望的顛峰:

橫豎、上下都可比，惟有交叉只能乘.

等比性質(zhì):合比性質(zhì):用“設(shè)k法”，計算。(b=0,d=0)線段a、d

叫做比例外項，線段b、c

叫做比例內(nèi)項，線段d

叫做a、b、c的第四比例項.第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日例.已知:如圖,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.

試問:成立嗎?為什么?ABCDEFABCEFABCDE等比代換第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日例.已知:如圖,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.

試問:成立嗎?ABCDEFABCEFABCDE等線代換第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日三角形一邊的平行線平行線分線段成比例性質(zhì)定理判定定理定理(沒有逆定理）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例.如果一條直線截三角形的兩邊,截得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.平行于三角形的一邊的直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.如果一條直線截三角形的兩邊的延長線(這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)),所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.平行線等分線段定理兩條直線被三條平行線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等與比例有關(guān)定理第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日字母型A平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例.1.三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理復(fù)習(xí)字母型X第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日平行于三角形的一邊的直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.EADBCX字母

型ADEBCA字母型2.三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理的推論第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日如果一條直線截三角形的兩邊,截得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.1.三角形一邊的平行線的判定定理∥∥∥第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日如果一條直線截三角形的兩邊的延長線(這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)),所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.2.三角形一邊的平行線的判定定理的推論∥∥∥第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日2023/2/5一、平行線分線段成比例定理：

三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

（關(guān)鍵要能熟練地找出對應(yīng)線段）小結(jié)二、要熟悉該定理的幾種基本圖形ABCDEFABCDEF第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日2023/2/5平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的線段對應(yīng)成比例.推論第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。AB.E.F.GCDP推論1推論2平行線等分線段定理的應(yīng)用把線段n等分證明同一直線上的線段相等第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日2023/2/5ab平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等。L1L2L3ABCDEFDE=EF,AB=BC因為：第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日2023/2/5平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理有何聯(lián)系？ABCDEFABCDEF結(jié)論：后者是前者的一種特殊情況！第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日!

注意:應(yīng)用平行線分線段成比例定理得到的比例式中,四條線段與兩直線的交點位置無關(guān)!平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.平移BACABFECDM(D)EF平移ABC平移ABCEDNFDF(E)第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日2023/2/5作平行線是構(gòu)造比例線段的主要手段，在比例式變形過程中要注意靈活運用合比、等比的性質(zhì)對于中點，常過中點作平行線以等分線段或利用中位線定理第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日1.形狀相同的圖形

①表象：大小不等，形狀相同.

②實質(zhì)：各對應(yīng)角相等、各對應(yīng)邊成比例.三個角對應(yīng)相等,三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形,叫做相似三角形.△ABC與△DEF相似,就記作:△ABC∽△DEF.

注意:要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上！性質(zhì)：相似三角形的各對應(yīng)角相等,各對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.如果△ABC∽△DEF,那么∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.小結(jié)拓展①.兩個三角形相似，一定有角相等。當(dāng)特殊位置時才有平行，而一旦有了平行就一定有相似三角形對應(yīng)邊以外的成比例的線段。②.對應(yīng)邊成比例提供了等量關(guān)系，我們可以借助方程的思想來解決問題。.圖形的相似第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日1.相似圖形三角形的判定方法：

通過定義平行于三角形一邊的直線（預(yù)備定理）三邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等兩角對應(yīng)相等兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例（三邊對應(yīng)成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）相似三角形第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日

對應(yīng)角相等。對應(yīng)邊成比例。對應(yīng)高的比等于相似比。對應(yīng)中線的比等于相似比。對應(yīng)角平分線的比等于相似比。相似三角形的性質(zhì)：周長比等于相似比。

面積比等于相似比的平方。第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日ABCDE相似具有傳遞性△ADE∽△ABCMN

如果再作MN∥DE，共有多少對相似三角形？△AMN∽△ADE△AMN∽△ABC共有三對相似三角形。第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日相似三角形的8類基本模型第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日相似三角形的8類基本模型第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日常用的成比例的線段：常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACDBDAC模型“雙垂直”三角形直角三角形斜邊上的高

分直角三角形所成的兩個直角三角形與原三角形相似.△ACD∽△CBD∽△ABC.直角三角形中的射影定理第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日公邊共角已知：如圖，△ABC中，D是AC上一點，∠ABD=∠C。

求證：（1）△ABD∽△ACB（2）AB2=AD·AC

由公邊共角的兩個相似三角形中，公邊是兩個三角形中落在一條直線上的兩邊的比例中項，即若△ABD∽△ACB，則AB2=AD·AC。第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日判定兩個三角形相似的基本思路已知條件中有平行線截線時，先考慮用預(yù)備定理已知兩個三角形中有一個角對應(yīng)相等時證明另一個角對應(yīng)相等證明夾這一對角的兩組邊對應(yīng)成比例已知兩個三角形中有兩邊對應(yīng)成比例時證明這兩邊的夾角對應(yīng)相等證明第三對邊與其余兩邊中的一對邊對應(yīng)成比例證明有一對角是直角證明兩個直角三角形相似的方法有兩個證明有一個銳角相等證明有兩條邊對應(yīng)成比例條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等，或找一對底角相等，或找底和腰對應(yīng)成比例。第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日證明比例式或等積的常用方法先看這些線段確定哪兩個可能是相似三角形再找這兩個三角形相似所需條件如果這兩個三角形不相似，則采用其它辦法（如找中間比代換等）注意：當(dāng)無法用三角形相似來證明線段成比例時，可試著用引平行線的方法，實質(zhì)是構(gòu)造“A”型或“X”型基本圖形。

一般是選過已知點（或求證）中比在同一直線的點作為引平行線的出發(fā)點。還可以直接運用射影定理第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日基本圖形：“A”字形基本圖形：“x”字形第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日①已知角相等；②已知角度計算得出相等的對應(yīng)角；③公共角；④對頂角；⑤同（等）角的余（補(bǔ)）角相等；⑥兩直線平行，同位角（內(nèi)錯角）相等；1、通過證明三角形全等，從而證明角相等。2、直角三角形余角。3、分別通過求證對應(yīng)角的tan相等相似三角形證明中常用找對應(yīng)角的方法第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日例1。如圖：AB∥DE，BC∥EF求證：△ABC∽△DEF△ABC∽△DEFAB∥DEBC∥EF（條件）（結(jié)論）引申：證明一個結(jié)論，可以從條件出發(fā)，圍繞條件找條件，直到找到所需的條件。也可以從結(jié)論開始分析，證此結(jié)論需要什么條件，從題中證出所需條件，從而找到解題思路。第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日練習(xí)1：如圖:∠ACB=90°,CD⊥AB于D,以AC、BC為邊向外作等邊三角形△ACE和△BCF，求證：①△ADE∽△CDF，②DE⊥DF分析:DE⊥DFCD⊥AB需證∠ADE=∠CDF需證△ADE∽△CDFRt△ABC,∠ACB=90°CD⊥ABRt△ACD∽Rt△CBD等邊△ACE和△BCFAC=AEBC=CF需證∠DAE=∠DCF已知……結(jié)論2結(jié)論1第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形相似的判定定理的綜合運用。證明有關(guān)問題可以從兩個方面（即條件和結(jié)論）尋找解題途徑。條件結(jié)論1在結(jié)合條件結(jié)論2…………要求證的結(jié)論已有條件還需的條件解題時，如果我們能將上述兩種途徑有機(jī)結(jié)合，雙管齊下，“圍繞條件找條件”，“圍繞結(jié)論找條件”，必可很快找到解題的思路，收到事半功倍的效果。第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日2.AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于F，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日1.相似三角形的應(yīng)用主要有兩個方面：（1）測高

測量不能到達(dá)兩點間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解。（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接測量的兩點間的距離）

測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決。（2）測距相似三角形應(yīng)用舉例第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日講解新課校園里有一棵大鐵樹，要測量樹的高度，你有什么方法？

第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日

把一小鏡子放在離樹（AB）8米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE=2.8m，觀察者目高CD=1.6m。這時樹高多少？你能解決這個問題嗎？ABEDC第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日

把長為2.40m的標(biāo)桿CD直立在地面上，量出樹的影長為2.80m，標(biāo)桿的影長為1.47m。這時樹高多少？你能解決這個問題嗎？ABCD第四十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日

現(xiàn)在有一棵很高的古樹，欲測出它的高度，但又不能爬到樹尖上去直接測量，你有什么好的方法嗎？例4ABCA′B′C

′第四十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日

比如，量得樹AB的影長BC=20m，木桿長A′B′=

1.5m，影長B′C′=

2.5