平行線相似三角形性質(zhì)和判定

平行線相似三角形性質(zhì)和判定第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日平行線的定義、性質(zhì)和判定(1)定義

在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線(2)性質(zhì)a.若兩直線平行,則同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)b.平行線間的距離相等,夾在兩平行線間的平行線段相等c.平行公理:過(guò)直線外有且只有一條直線和這條直線平行(3)判定a.若同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ),則兩直線平行b.若a∥c,b∥c,則a∥bc.在同一平面內(nèi),若a⊥c,b⊥c,則a∥b第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日平行線的判定平行線的性質(zhì)條件結(jié)論條件結(jié)論同位角相等兩直線平行兩直線平行同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)在同一個(gè)平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日平行線的判定平行線的性質(zhì)條件結(jié)論條件結(jié)論同位角相等兩直線平行兩直線平行同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)在同一個(gè)平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日初學(xué)者容易混淆平行線的判定定理和性質(zhì)定理兩個(gè)方面加深理解：一是從意義上看平行的判定是“判定”平行就是說(shuō)，在已知兩角相等或互補(bǔ)或其它的題設(shè)下，得到兩直線平行的結(jié)果；平行線的性質(zhì)是“平行”以后才有的“性質(zhì)”就是說(shuō)，在已知兩直線平行的題設(shè)下，得出的平行線的某些性質(zhì)．二是從作用上看平行線的判定是證明兩直線平行的依據(jù)平行的性質(zhì)是作為證明兩角相等或互補(bǔ)的依據(jù)．表達(dá)時(shí)要特別注意因果關(guān)系．第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例1如圖，已知AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求證：AB∥CD．錯(cuò)證因?yàn)锳D∥BC(已知)，所以∠3=∠4(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．又∠BAD=∠BCD(已知)，所以∠1=∠2(等量減等量，差相等)，所以AB∥CD(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．診斷如果不考慮后面括號(hào)內(nèi)所注明的理由，那么上述全部推導(dǎo)過(guò)程是合理的．但是從論證整個(gè)過(guò)程來(lái)看，這是錯(cuò)誤的．原因在于對(duì)平行線的判定定理和性質(zhì)定理混淆不清，因而造成邏輯推理上的錯(cuò)誤．事實(shí)上，由兩直線平行推出兩角相等，是根據(jù)平行線的性質(zhì)定理；由兩角相等推出兩直線平行，則是根據(jù)平行線的判定定理．第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例27如圖2－19，已知OE，OF是兩條射線，AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且AB⊥OE于點(diǎn)B，CD⊥OF于點(diǎn)D，∠AOB=∠COD，求證：AB∥CD．錯(cuò)證因?yàn)锳B⊥OE，CD⊥OF(已知)，所以AB∥CD(如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行)．診斷這里的問(wèn)題在于：一是“如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”在義務(wù)教材中沒(méi)有作為定理，就不能作為證題的論據(jù)；二是沒(méi)有證明E，O，F(xiàn)在一條直線上，就默認(rèn)它們?cè)谝粭l直線上．這就犯了虛假論據(jù)的錯(cuò)誤．正確證法因?yàn)椤螦OB=∠DOC(已知)，∠AOD＋∠DOC=180°(平角定義)，所以∠AOD＋∠AOB=180°．又E，F(xiàn)分別在邊OB，OD上，所以E，O，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上．又因?yàn)锳B⊥OE，CD⊥OF(已知)，所以∠ABO=∠CDO=90°．所以AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例1.如圖是某市部分街道圖，比例尺是1:10000，請(qǐng)你估計(jì)三條道路圍成的三角形地塊ABC的實(shí)際周長(zhǎng)和面積.解：地圖上的比例尺為1：10000，就是地圖上的△ABC與實(shí)際三角形地塊的相似比為1：10000，量得地圖上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。∴三角形地塊的實(shí)際周長(zhǎng)為9.7×104cm，即970m?！嗳切蔚貕K的實(shí)際面積為4.18×108cm2,即41800m2答：估計(jì)三角形地塊的實(shí)際周長(zhǎng)為970米，實(shí)際面積為41800平方米?！逜BCD∵×3.8×2.2=4.18cm2∴地圖上△ABC的面積為則地圖上△ABC的周長(zhǎng)為3.4+3.8+2.5=9.7(cm)量得BC這上的高為2.2cm第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)判斷四條線段是否成比例的方法有兩種：

(1)把四條線段按大小排列好，判斷前兩條線段的比和后兩條線段的比是否相等。若第1，4兩個(gè)數(shù)的積等于第2，3兩個(gè)數(shù)的積，則四條線段成比例，否則不成比例。(2)查看是否有兩條線段的積等于其余兩條線段的積。四條線的單位要一致第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例2

如圖，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜邊ＡＢ上的高線，請(qǐng)找出一組比例線段，并說(shuō)明理由.ＡＢＣＤ分析：(1)根據(jù)比例基本性質(zhì)，要判斷四條線段是否成比例，只要采取什么方法?(看其中兩條線段的乘積是否等于另兩條線段的乘積)第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

比例基本性質(zhì)比例的靈活變形可助你達(dá)到希望的顛峰:

橫豎、上下都可比，惟有交叉只能乘.

等比性質(zhì):合比性質(zhì):用“設(shè)k法”，計(jì)算。(b=0,d=0)線段a、d

叫做比例外項(xiàng)，線段b、c

叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段d

叫做a、b、c的第四比例項(xiàng).第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例.已知:如圖,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.

試問(wèn):成立嗎?為什么?ABCDEFABCEFABCDE等比代換第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例.已知:如圖,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.

試問(wèn):成立嗎?ABCDEFABCEFABCDE等線代換第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日三角形一邊的平行線平行線分線段成比例性質(zhì)定理判定定理定理(沒(méi)有逆定理）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如果一條直線截三角形的兩邊,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行于三角形的一邊的直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線(這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.平行線等分線段定理兩條直線被三條平行線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等與比例有關(guān)定理第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日字母型A平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.1.三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理復(fù)習(xí)字母型X第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日平行于三角形的一邊的直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.EADBCX字母

型ADEBCA字母型2.三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理的推論第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日如果一條直線截三角形的兩邊,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.1.三角形一邊的平行線的判定定理∥∥∥第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線(這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.2.三角形一邊的平行線的判定定理的推論∥∥∥第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/5一、平行線分線段成比例定理：

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

（關(guān)鍵要能熟練地找出對(duì)應(yīng)線段）小結(jié)二、要熟悉該定理的幾種基本圖形ABCDEFABCDEF第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/5平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例.推論第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。AB.E.F.GCDP推論1推論2平行線等分線段定理的應(yīng)用把線段n等分證明同一直線上的線段相等第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/5ab平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等。L1L2L3ABCDEFDE=EF,AB=BC因?yàn)椋旱诙?yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/5平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理有何聯(lián)系？ABCDEFABCDEF結(jié)論：后者是前者的一種特殊情況！第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日!

注意:應(yīng)用平行線分線段成比例定理得到的比例式中,四條線段與兩直線的交點(diǎn)位置無(wú)關(guān)!平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平移BACABFECDM(D)EF平移ABC平移ABCEDNFDF(E)第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/5作平行線是構(gòu)造比例線段的主要手段，在比例式變形過(guò)程中要注意靈活運(yùn)用合比、等比的性質(zhì)對(duì)于中點(diǎn)，常過(guò)中點(diǎn)作平行線以等分線段或利用中位線定理第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日1.形狀相同的圖形

①表象：大小不等，形狀相同.

②實(shí)質(zhì)：各對(duì)應(yīng)角相等、各對(duì)應(yīng)邊成比例.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形,叫做相似三角形.△ABC與△DEF相似,就記作:△ABC∽△DEF.

注意:要把表示對(duì)應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上！性質(zhì)：相似三角形的各對(duì)應(yīng)角相等,各對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.如果△ABC∽△DEF,那么∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.小結(jié)拓展①.兩個(gè)三角形相似，一定有角相等。當(dāng)特殊位置時(shí)才有平行，而一旦有了平行就一定有相似三角形對(duì)應(yīng)邊以外的成比例的線段。②.對(duì)應(yīng)邊成比例提供了等量關(guān)系，我們可以借助方程的思想來(lái)解決問(wèn)題。.圖形的相似第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日1.相似圖形三角形的判定方法：

通過(guò)定義平行于三角形一邊的直線（預(yù)備定理）三邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等兩角對(duì)應(yīng)相等兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例（三邊對(duì)應(yīng)成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）相似三角形第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)應(yīng)角相等。對(duì)應(yīng)邊成比例。對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比。對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比。相似三角形的性質(zhì)：周長(zhǎng)比等于相似比。

面積比等于相似比的平方。第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日ABCDE相似具有傳遞性△ADE∽△ABCMN

如果再作MN∥DE，共有多少對(duì)相似三角形？△AMN∽△ADE△AMN∽△ABC共有三對(duì)相似三角形。第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日相似三角形的8類基本模型第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日相似三角形的8類基本模型第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日常用的成比例的線段：常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACDBDAC模型“雙垂直”三角形直角三角形斜邊上的高

分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似.△ACD∽△CBD∽△ABC.直角三角形中的射影定理第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日公邊共角已知：如圖，△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，∠ABD=∠C。

求證：（1）△ABD∽△ACB（2）AB2=AD·AC

由公邊共角的兩個(gè)相似三角形中，公邊是兩個(gè)三角形中落在一條直線上的兩邊的比例中項(xiàng)，即若△ABD∽△ACB，則AB2=AD·AC。第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日判定兩個(gè)三角形相似的基本思路已知條件中有平行線截線時(shí)，先考慮用預(yù)備定理已知兩個(gè)三角形中有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)證明另一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明夾這一對(duì)角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例已知兩個(gè)三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)證明這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等證明第三對(duì)邊與其余兩邊中的一對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例證明有一對(duì)角是直角證明兩個(gè)直角三角形相似的方法有兩個(gè)證明有一個(gè)銳角相等證明有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等，或找一對(duì)底角相等，或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例。第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日證明比例式或等積的常用方法先看這些線段確定哪兩個(gè)可能是相似三角形再找這兩個(gè)三角形相似所需條件如果這兩個(gè)三角形不相似，則采用其它辦法（如找中間比代換等）注意：當(dāng)無(wú)法用三角形相似來(lái)證明線段成比例時(shí)，可試著用引平行線的方法，實(shí)質(zhì)是構(gòu)造“A”型或“X”型基本圖形。

一般是選過(guò)已知點(diǎn)（或求證）中比在同一直線的點(diǎn)作為引平行線的出發(fā)點(diǎn)。還可以直接運(yùn)用射影定理第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日基本圖形：“A”字形基本圖形：“x”字形第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日①已知角相等；②已知角度計(jì)算得出相等的對(duì)應(yīng)角；③公共角；④對(duì)頂角；⑤同（等）角的余（補(bǔ)）角相等；⑥兩直線平行，同位角（內(nèi)錯(cuò)角）相等；1、通過(guò)證明三角形全等，從而證明角相等。2、直角三角形余角。3、分別通過(guò)求證對(duì)應(yīng)角的tan相等相似三角形證明中常用找對(duì)應(yīng)角的方法第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例1。如圖：AB∥DE，BC∥EF求證：△ABC∽△DEF△ABC∽△DEFAB∥DEBC∥EF（條件）（結(jié)論）引申：證明一個(gè)結(jié)論，可以從條件出發(fā)，圍繞條件找條件，直到找到所需的條件。也可以從結(jié)論開(kāi)始分析，證此結(jié)論需要什么條件，從題中證出所需條件，從而找到解題思路。第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)1：如圖:∠ACB=90°,CD⊥AB于D,以AC、BC為邊向外作等邊三角形△ACE和△BCF，求證：①△ADE∽△CDF，②DE⊥DF分析:DE⊥DFCD⊥AB需證∠ADE=∠CDF需證△ADE∽△CDFRt△ABC,∠ACB=90°CD⊥ABRt△ACD∽R(shí)t△CBD等邊△ACE和△BCFAC=AEBC=CF需證∠DAE=∠DCF已知……結(jié)論2結(jié)論1第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形相似的判定定理的綜合運(yùn)用。證明有關(guān)問(wèn)題可以從兩個(gè)方面（即條件和結(jié)論）尋找解題途徑。條件結(jié)論1在結(jié)合條件結(jié)論2…………要求證的結(jié)論已有條件還需的條件解題時(shí)，如果我們能將上述兩種途徑有機(jī)結(jié)合，雙管齊下，“圍繞條件找條件”，“圍繞結(jié)論找條件”，必可很快找到解題的思路，收到事半功倍的效果。第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日2.AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，且交AD于F，你能從中找出幾對(duì)相似三角形？BCAEDF第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日1.相似三角形的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：（1）測(cè)高

測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解。（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離）

測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決。（2）測(cè)距相似三角形應(yīng)用舉例第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日講解新課校園里有一棵大鐵樹(shù)，要測(cè)量樹(shù)的高度，你有什么方法？

第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

把一小鏡子放在離樹(shù)（AB）8米的點(diǎn)E處，然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹(shù)梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE=2.8m，觀察者目高CD=1.6m。這時(shí)樹(shù)高多少？你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ABEDC第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

把長(zhǎng)為2.40m的標(biāo)桿CD直立在地面上，量出樹(shù)的影長(zhǎng)為2.80m，標(biāo)桿的影長(zhǎng)為1.47m。這時(shí)樹(shù)高多少？你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ABCD第四十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

現(xiàn)在有一棵很高的古樹(shù)，欲測(cè)出它的高度，但又不能爬到樹(shù)尖上去直接測(cè)量，你有什么好的方法嗎？例4ABCA′B′C

′第四十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

比如，量得樹(shù)AB的影長(zhǎng)BC=20m，木桿長(zhǎng)A′B′=

1.5m，影長(zhǎng)B′C′=

2.5