基本圖形的生成與計算

第二章基本圖形的生成與計算2.3區(qū)域填充算法2.1直線的生成算法2.2圓的生成算法2.4字符的生成2.5圖形求交2.6圖形裁剪2.1直線的生成算法畫一條從(x1,y1)到(x2,y2)的直線，實質上是一個發(fā)現(xiàn)最佳逼近直線的像素序列，并填入色彩數(shù)據(jù)的過程。這過程也稱為直線光柵化。連續(xù)性粗細、亮度要均勻像素逼近待畫直線速度2.1直線的生成算法2.1.1直線DDA算法

(DigitalDifferentialAnalyser)

假設直線的起點坐標為P1(x1,y1)，終點坐標為P2(x2,y2)x方向的增量為△x＝x2－x1

；y方向上增量為△y＝y(tǒng)2－y1

直線的斜率為k＝△y／△x

當△x＞△y

時，讓x從x1

到x2變化，每步遞增1，那么，x的變化可以表示為xi+1＝xi＋1y的變化可以表示為yi+1＝y(tǒng)i＋k

用上式可求得圖中直線P1P2和y

向網格線的交點，但顯示時要用舍入找到最靠近交點處的象素點耒表示。當△x<△y

時，讓y遞增1，x作相應變化。

綜合考慮，按照從(x1,y1)到(x2,y2)方向不同，分8個象限(圖2.1)。對于方向在第1a象限內的直線而言，取增量值Dx=1，Dy=m。對于方向在第1b象限內的直線而言，取增量值Dy=1，Dx=1/m。2.1直線的生成算法2.1.1直線DDA算法（續(xù)）圖2.1直線方向的8個象限

象

限dx>dy?

Dx

Dy1atrue1

m1bfalse1/m12atrue-1m2bfalse-1/m13atrue-1-m3bfalse-1/m

-14atrue1

-m4bfalse1/m

-1表2.18個象限中的坐標增量值

研究表中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)兩個規(guī)律。⒈

當dx>dy時

Dx=1，Dy=m否則

Dx=1/m，Dy=1⒉

Dx、Dy的符號與dx、dy的符號相同。

2.1直線的生成算法2.1.1直線DDA算法（續(xù)）算法描述如下：dda_line(xa,ya,xb,yb,c)intxa,ya,xb,yb,c;{floatdelta_x,delta_y,x,y;intdx,dy,steps,k;dx=xbxa;dy=ybya;if(abs(dx)>abs(dy))steps=abs(dx);elsesteps=abs(dy);delta_x=(float)dx/(float)steps;delta_y=(float)dy/(float)steps;2.1直線的生成算法2.1.1直線DDA算法（續(xù)）x=xa;y=ya;set_pixel(x,y,c);for(k=1;k<=steps;k++){x+=delta_x;y+=delta_y;set_pixel(x,y,c);}}

使用DDA算法，每生成一條直線做兩次除法，畫線中每一點做兩次加法。因此，用DDA法生成直線的速度是相當快的。

2.1直線的生成算法2.1.2直線Bresenham算法

設直線從起點(x1,y1)到終點(x2,y2)。直線可表示為方程y=mx+b，其中

b=y1-m*x1,m=（y2-y1)/(x2-x1)=dy/dx;

此處的討論先將直線方向限于1a象限(圖2.1)，在這種情況下，當直線光柵化時，x每次都增加1個單元，即xi+1=xi

+1而y的相應增加值應當小于1。為了光柵化，yi+1只可能選擇圖2.2中兩種位置之一。圖2.2縱坐標的位置選擇

2.1直線的生成算法2.1.2直線Bresenham算法(續(xù)）

yi+1的位置選擇yi+1=yi或者yi+1=yi+1，選擇的原則是看精確值y與yi及yi+1的距離d1及d2的大小而定。計算公式為

y=m(xi

+1)+b(2.1)

d1=y

yi

(2.2)

d2=

yi+1

y

(2.3)如果d1d2>0，則yi+1=yi+1，否則yi+1=yi。將式(2.1)、(2.2)、(2.3)代入d1d2，再用dx乘等式兩邊，并以Pi=(d1d2)dx代入上述等式，得

Pi=2xidy2yidx+2dy+(2b1)dx

(2.4)d1d2是用以判斷符號的誤差。由于在1a象限，dx總大于0，所以Pi仍舊可以用作判斷符號的誤差。Pi+1為

Pi+1=Pi+2dy2(yi+1yi)dx

(2.5)2.1直線的生成算法2.1.2直線Bresenham算法(續(xù)）

求誤差的初值P1，可將x1、y1和b代入式(2.4)中的xi、yi而得到

P1=2dydx

綜述上面的推導，第1a象限內的直線Bresenham算法思想如下：⒈

畫點(x1,y1)，dx=x2x1，dy=y2y1，計算誤差初值P1=2dy

dx，i=1；⒉

求直線的下一點位置xi+1=xi+1

如果Pi>0，則yi+1=yi+1，否則yi+1=yi；⒊

畫點(xi+1,

yi+1)；⒋

求下一個誤差Pi+1，如果Pi>0，則Pi+1=Pi+2dy2dx，否則

Pi+1=Pi+2dy；⒌

i=i+1；如果i<dx+1則轉步驟2；否則結束操作。2.1直線的生成算法2.1.2直線Bresenham算法(續(xù)）

Bresenham算法的優(yōu)點如下：⒈

不必計算直線的斜率，因此不做除法。⒉

不用浮點數(shù)，只用整數(shù)。⒊

只做整數(shù)加減運算和乘2運算，而乘2運算可以用移位操作實現(xiàn)。Bresenham算法的運算速度很快，并適于用硬件實現(xiàn)。討論：以上討論的是0＜△y＜△x的情況，對于適用所有8個方向的直線(圖2.1)的生成算法，則要考慮以判斷條件|dx|>|dy|為分支，并分別將2a、3a象限的直線和3b、4b象限的直線變換到1a、4a和2b、1b象限方向去，以實現(xiàn)程序處理的簡潔。2.2圓的生成算法2.2.1基礎知識

給出圓心坐標(xc,

yc)和半徑r，逐點畫出一個圓周的公式有下列兩種：⒈

直角坐標法

(xxc)2+(yyc)2=r2由上式導出：

當xxc從r到r作加1遞增時，就可以求出對應的圓周點的y坐標。但是這樣求出的圓周上的點是不均勻的，xxc越大，對應生成圓周點之間的圓周距離也就越長。因此，所生成的圓不美觀。2.2圓的生成算法2.2.1基礎知識(續(xù)）

⒉

極坐標法

x=

xc+r·cosθ，y=

yc+r·sinθ當θ從0到π作遞增時，由此式便可求出圓周上均勻分布的360個點的(x,y)坐標。

利用圓周坐標的對稱性，此算法還可以簡化。將圓周分為8個象限(圖2.3)，只要將第1a象限中的圓周光柵點求出，其余7部分圓周就可以通過對稱法則計算出來。

圖2.3圓心在(0,0)點圓周生成時的對稱變換2.2圓的生成算法2.2.2圓的Bresenham算法

設圓的半徑為r。先考慮圓心在(0,0)，并從x=0、y=r開始的順時針方向的1/8圓周的生成過程。在這種情況下，x每步增加1，從x=0開始，到x=y結束。即有

xi+1=xi+1相應的yi+1則在兩種可能中選擇：

yi+1=

yi或者yi+1=

yi1選擇的原則是考察精確值y是靠近yi還是靠近yi1(圖2.4)，計算式為y2=r2(xi+1)2d1=yi2y2=yi2r2+(xi+1)2d2=y2(yi1)2=r2(xi+1)2(yi1)2圖2.4y的位置

2.2圓的生成算法2.2.2圓的Bresenham算法(續(xù)）

令pi=d1d2，并代入d1、d2，則有

pi=2(xi+1)2+yi2+(yi1)22r2

(2.6)pi稱為誤差。如果pi<0則yi+1=yi，否則yi+1=yi1。pi的遞歸式為

pi+1=pi+4xi

+6+2(yi2+1yi2)2(yi+1yi)(2.7)pi的初值由式(2.6)代入xi=0，yi=r而得

p1=32r

(2.8)根據(jù)上面的推導，圓周生成算法思想如下：⒈

求誤差初值，p1=32r，i=1，畫點(0,r)；⒉

求下一個光柵位置，其中xi+1=xi+1，如果pi<0則yi+1=yi，否則yi+1=yi1；⒊

畫點(xi+1,

yi+1)；⒋

計算下一個誤差，如果pi<0則pi+1=pi+4xi+6，否則pi+1=pi+4(xiyi)+10；⒌

i=i+1，如果x=y則結束，否則返回步驟2。2.2圓的生成算法2.2.2圓的Bresenham算法(續(xù)）圓的Bresenham算法的程序實現(xiàn)如下：

circle(xc,yc,radius,c)

intxc,yc,radius,c;

{

intx,y,p;

x=0;

y=radius;

p=32*radius；

while(x<y){

plot_circle_points(xc,yc,x,y,c);

if(p<0)p=p+4*x+6;

else{

p=p+4*(xy)+10;

y=1;

}

x+=1;

}

if(x==y)

plot_circle_points(xc,yc,x,y,c);

}

2.2圓的生成算法2.2.2圓的Bresenham算法(續(xù)）plot_circle_points(xc,yc,x,y,c)intxc,yc,x,y,c;{set_pixel(xc+x,yc+y,c);set_pixel(xcx,yc+y,c);set_pixel(xc+x,ycy,c);set_pixel(xcx,ycy,c);set_pixel(xc+y,yc+x,c);

set_pixel(xcy,yc+x,c);set_pixel(xc+y,ycx,c);set_pixel(xcy,ycx,c);}2.3區(qū)域填充算法2.3.1基礎知識

區(qū)域填充即給出一個區(qū)域的邊界，要求對邊界范圍內的所有像素單元賦予指定的顏色代碼。區(qū)域填充中最常用的是多邊形填色。

多邊形的表示方法頂點表示點陣表示圖2.5掃描線與多邊形相交

圖2.6光柵化后直線變成離散點

多邊形填色一個首要的問題，是判斷一個像素是在多邊形內還是多邊形外。數(shù)學上提供的方法是“掃描交點的奇偶數(shù)判斷法”。

2.3區(qū)域填充算法2.3.1基礎知識(續(xù)）

2.3區(qū)域填充算法2.3.1基礎知識(續(xù)）

填色算法分為兩大類：⒈

掃描線填色(Scan-LineFilling)算法。這類算法建立在多邊形邊界的矢量形式數(shù)據(jù)之上，可用于程序填色，也可用于交互填色。⒉

種子填色(SeedFilling)算法。這類算法建立在多邊形邊界的圖像形式數(shù)據(jù)之上，并還需提供多邊形邊界內一點的坐標。所以，它一般只能用于人機交互填色，而難以用于程序填色。2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法

算法的基本思想。多邊形以n、x_array、y_array的形式給出，其中，x_array、y_array中存放著多邊形的n個頂點的x，y坐標。用水平掃描線從上到下掃描由點線段構成的多段定義成的多邊形。每根掃描線與多邊形各邊產生一系列交點。這些交點按照x坐標進行分類，將分類后的交點成對取出，作為兩個端點，以所需要填的色彩畫水平直線。多邊形被掃描完畢后，填色也就完成。2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法(續(xù)）

上述基本思想中，有幾個問題需要解決或改進：⒈

左、右頂點處理。當以1、2、3的次序畫多邊形外框時，多邊形的左頂點和右頂點如圖2.7中所示的頂點2。它們具有以下性質。左頂點2：y1<y2<y3右頂點2：y1>y2>y3

其中y1、y2、y3是3個相鄰的頂點的y坐標。圖2.7多邊形的頂點

當掃描線與多邊形的每個頂點相交時，會同時產生2個交點。這時，填色就會因掃描交點的奇偶計數(shù)出錯而出現(xiàn)錯誤。因此，對所有左、右頂點作如下處理：2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法(續(xù)）

左、右頂點的入邊(以該頂點為終點的那條邊，即1–2邊)之終點刪去。對于左頂點，入邊端點(x1,y1)、(x2,y2)修改為(x1,y1)、(

,y21)；對于右頂點，入邊端點(x1,y1)、(x2,y2)修改為(x1,y1)、(

,y2+1)；其中，，即入邊的斜率。對于多邊形的上頂點(y2>y1、y2>y3)或下頂點(y2<y1、y2<y3)，奇偶計數(shù)保持正確。⒉

水平邊處理。水平邊(y1=y2)與水平掃描線重合無法求交點。因此，將水平邊畫出后刪去，不參加求交點及求交點以后的操作。

2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法(續(xù)）

⒊

掃描線與邊的求交點方法采用遞歸算法。以(x1,y1)、(x2,y2)為端點的邊與第i+1條掃描線的交點為此式表示交點不為(x1,y1)。否則，交點為(x1,y1)。⒋

減少求交計算量，采用活性邊表。對于一根掃描線而言，與之相交的邊只占多邊形全部邊的一部分,每根掃描線與多邊形所有邊求交的操作是一種浪費，需要加以改進。

活性邊表(ActiveListofSide)的采用將多邊形的邊分成兩個子集：與當前掃描線相交的邊的集合，以及與當前掃描線不相交的邊的集合。對后者不必進行求交運算，這樣就提高了算法的效率。2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法(續(xù)）

圖2.8活性邊表及其指針的表示

掃描線填充算法是一種非常有效的算法，它對于每個象素只訪問一次，其缺點是對于各種表的維持和排序的耗費大。2.3區(qū)域填充算法種子填色又稱邊界填色(BoundaryFilling)。它的功能是，給出多邊形光柵化后的邊界位置及邊界色代碼boundary_color，以及多邊形內的一點(x,y)位置，要求將顏色fill_color填滿多邊形。2.3.3種子填色算法算法要求區(qū)域是連通的連通性4連通、8連通4連通：從區(qū)域內任意一點出發(fā)，可通過上、下、左、右四個方向到達區(qū)域內的任意象素；

8連通從區(qū)域內任意一點出發(fā)，可通過上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八個方向到達區(qū)域內的任意象素；

2.3區(qū)域填充算法2.3.3種子填色算法(續(xù)）

2.3區(qū)域填充算法圖2.10四鄰法和八鄰法種子填色

2.4字符的生成2.4.1點陣式字符

點陣式字符將字符形狀表示為一個矩形點陣，由點陣中點的不同值表達字符的形狀。使用點陣式字符時，需將字庫中的矩形點陣復制到緩沖器中指定的單元中去。在復制過程中，可以施加變換，以獲得簡單的變化。圖2.11(b)~(d)列出了以字母P為原型的一些變化例子。圖2.11點陣式字符及其變化

2.4字符的生成2.4.2矢量式字符

矢量式字符將字符表達為點坐標的序列，相鄰兩點表示一條矢量，字符的形狀便由矢量序列刻畫。圖2.12示出用矢量式表示的字符“B”?！癇”是由頂點序列{a,b,c,d,e,f,e,g,h,i,j,k,j,

a,l}的坐標表達。圖2.12矢量式表示字符“B”2.4字符的生成2.4.3方向編碼式字符

方向編碼式字符用有限的若干種方向編碼來表達一個字符。圖2.13示出8個方向的編碼為0~7。圖2.14(a)示出字母“B”的方向矢量構成。這樣，“B”就表示為8方向編碼{0000123444000123444406666}。方向編碼式字符很容易被填入幀暫存寄存器中予以顯示(圖2.14(b))，方向編碼所占的空間比較小，它也能接受一些特定的變換操作。圖2.13字符的8方向編碼

圖2.14方向編碼式字符的實例2.4字符的生成2.4.4輪廓字形技術直接使用點陣式字符方法將耗費巨大的存儲空間。壓縮方法有多種，最簡單的有黑白段壓縮法。另一種方法是部件壓縮法。三是輪廓字形法，這種方法壓縮比大，且能保證字符質，是當今國際上最流行的一種方法。

輪廓字形法采用直線、或者二次Bezier曲線、三次Bezier曲線的集合來描述一個字符的輪廓線。輪廓線構成一個或若干個封閉的平面區(qū)域。輪廓線定義和一些指示橫寬、豎寬、基點、基線等的控制信息，就構成了字符的壓縮數(shù)據(jù)。2.5圖形求交在計算機圖形學中常常會遇到求交計算。求交運算是比較復雜的，為了減少計算量，在進行真正的求交計算之前，往往先用凸包等輔助結構進行粗略地比較，排除那些顯然不相交的情形。。

求交問題可以分為兩類：

求交點求交線

2.5圖形求交

2.5.1求交點算法

求交點可以分兩種情況，即求線與線的交點以及求線與面的交點。⒈

直線段與直線段的交點假設兩條直線的端點分別為P1、P2和Q1、Q2，則直線可以用向量形式表示為P(t)=A+Bt，

0≤t≤1Q(s)=C+Ds，

0≤s≤1其中，A=P1，B=P2P1，C=Q1，D=Q2Q1。構造方程

A+Bt=C+Ds(2.9)

對三維空間中的直線段來說，上述方程組實際上是一個二元一次方程組，由3個方程式組成?？梢詮钠渲袃蓚€解出s、t，再用第三個驗證解的有效性。當所得的解(ti,

si)是有效解時，可用兩個方程之一計算交點坐標，例如P(ti)=A+Bti。

2.5圖形求交

2.5.1求交點算法（續(xù)）

根據(jù)向量的基本性質，可直接計算s與t。對方程(2.9)兩邊構造點積得

(CD)·(A+Bt)=(CD)·(C+Ds)由于CD同時垂直于C和D，等式右邊為0。故有類似地有2.5圖形求交

2.5.1求交點算法（續(xù)）

⒉

直線段與二次曲線的交點考慮平面上一條直線與同平面的一條二次曲線的交點。假設曲線方程為f(x,y)=0直線段方程為(x,y)=(x1+tdx,y1+tdy)則在交點處有

f(x1+tdx,y1+tdy)=0當曲線為二次曲線時，上述方程可寫為

at2+bt+c=0用二次方程求根公式即可解出t值。⒊

圓錐曲線與圓錐曲線的交點在進行一對圓錐曲線的求交時，把其中一條圓錐曲線用代數(shù)法或幾何法表示為隱函數(shù)形式，另一條表示為參數(shù)形式(如二次NURBS曲線)。將參數(shù)形式代入隱函數(shù)形式可得到關于參數(shù)的四次方程，2.5圖形求交

2.5.1求交點算法（續(xù)）

下面討論線與面的交點的求法。⒈

直線段與平面的交點圖2.15線段與平面求交

如圖2.15所示。把平面上的點表示為P(u,w)=A+uB+wC，直線段上的點表示為Q(t)=D+tE，二者的交點記為R。假設線段不平行于平面，則它們交于

R=P(u,w)=Q(t)，即A+uB+wC=D+tE2.5圖形求交

2.5.1求交點算法（續(xù)）

等式兩邊點乘(BC)，得

(BC)·(A+uB+wC)=(BC)·(D+tE)由于BC既垂直于B，又垂直于C，故有

(BC)·A=(BC)·(D+tE)可解出類似求得如果是直線與平面區(qū)域求交點，則要進一步判斷交點是否在平面的有效區(qū)域中，其算法可參見2.5.3節(jié)。2.5圖形求交

2.5.1求交點算法（續(xù)）

⒉

圓錐曲線與平面的交點圓錐曲線與平面求交點時，可以把圓錐曲線表示為參數(shù)形式，并把圓錐曲線的參數(shù)形式代入平面方程，即可得到參數(shù)的二次方程，從而進行求解。⒊

圓錐曲線與二次曲面的交點圓錐曲線與二次曲面求交點時，可把圓錐曲線的參數(shù)形式代入二次曲面的隱式方程，得到參數(shù)的四次方程，用四次方程求根公式求解。2.5圖形求交

2.5.2

求交線算法

⒈

平面與平面的交線先考慮最簡單的情形。兩個平面區(qū)域分別由P(u,w)，Q(s,t)，u，w，s，t[0,1]定義。如果它們不共面而且不分離，則必交于一直線段。這條直線必落在P(u,w)Q(s,t)=0所定義的無限直線上。這是個含有4個未知數(shù)，3個方程式的方程組，只要分別與8條邊界線方程：u=0，u=1，w=0，w=1，s=0，s=1，t=0，t=1聯(lián)立，即可求出線段的兩個端點的參數(shù)。

2.5圖形求交2.5.2

求交線算法

（續(xù)）

⒉

平面與二次曲面的交線

代數(shù)法:把二次曲面表示為代數(shù)形式

Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Eyz+2Fxz+2Gx+2Hy+2Iz+J=0

通過平移與旋轉坐標變換把平面變?yōu)閤Oy平面，對二次曲面進行同樣的坐標變換。由于在新坐標系下平面的方程為z=0，所以新坐標系下二次曲面方程中，把含z項都去掉即為平面與二次曲面的交線方程。對該交線方程進行一次逆坐標變換即可獲得在原坐標系下的交線方程。

幾何法:幾何法存儲曲線的類型(橢圓、拋物線或雙曲線)，以及定義參數(shù)(中心點、對稱軸、半徑等)的數(shù)值信息，使用局部坐標系到用戶坐標系的變換，把局部坐標系下的定義參數(shù)變換到用戶坐標系直接使用。當平面與二次曲面的交線需要精確表示時，往往采用幾何法求交。2.5圖形求交2.5.2

求交線算法

（續(xù)）

下面以平面—球求交為例，說明幾何法求交算法。平面用一個記錄p表示，p的兩個子域p.b、p.w分別代表平面上一點、平面法向量。球面用記錄s表示，它的兩個子域s.c、s.r分別代表球面中心和半徑。則可寫出平面與球面相交的算法如下：plane_sphere_intersect(p,s)planep;spheres;{d=球面中心到平面的有向距離；if(abs(d)==s.r){2個面相交于一(切)點s.cd*p.w;}elseif(abs(d)>s.r){兩個面無交；}2.5圖形求交2.5.2

求交線算法

（續(xù)）

else{所求交線是圓。其圓心、半徑、圓所在平面法向量為c=s.cd*p.w;r=sqrt(s.r2d2);w=p.w;}}

2.5圖形求交2.5.2

求交線算法（續(xù)）

⒊

平面與參數(shù)曲面的交線求平面與參數(shù)曲面的交線，最簡單的方法是把表示參數(shù)曲面的變量(x(s,t),y(s,t),z(s,t))代入平面方程

ax+by+cz+d=0得到用參數(shù)曲面的參數(shù)s、t表示的交線方程

ax(s,t)+by(s,t)+cz(s,t)+d=0

另一種方法是，用平移和旋轉對平面進行坐標變換，使平面成為新坐標系下的xOy平面。再將相同的變換應用于參數(shù)曲面方程，得到參數(shù)曲面在新坐標系下的方程

(x*,y*,z*)=(x*(s,t),y*(s,t),z*(s,t))由此得交線在新坐標系下的方程為z*(s,t)=0。2.5圖形求交2.5.3包含判定算法在進行圖形求交時，常常需要判定兩個圖形間是否有包含關系。如點是否包含在線段、平面區(qū)域或三維形體中，線段是否包含在平面區(qū)域或三維形體中，等等。許多包含判定問題可轉化為點的包含判定問題，如判斷線段是否在平面上的問題可以轉化為判斷線段兩端點是否在平面上。判斷點與線段的包含關系，也就是判斷點與線的最短距離是否位于容差范圍內。造型中常用的線段有3種，即直線段、圓錐曲線段(主要是圓弧)和參數(shù)曲線(主要是Bezier曲線、B樣條與NURBS曲線)。點與面的包含判定也類似地分為3種情況。下面分別予以討論。2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）⒈

點與直線段的包含判定假設點坐標為P(x,y,z)，直線段端點為P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)，則點P到線段P1P2的距離的平方為

d2=(xx1)2+(yy1)2+(zz1)2[(x2x1)(xx1)+(y2y1)(yy1)+

(z2z1)(zz1)]2/[(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2]

當d2<2時，認為點在線段(或其延長線)上，這時還需進一步判斷點是否落在直線段的有效區(qū)間內。對坐標分量進行比較，假設線段兩端點的x分量不等(否則所有分量均相等，那么線段兩端點重合，線段退化為一點)，那么當xx1與xx2異號時，點P在線段的有效區(qū)間內。2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）⒉

點與圓錐曲線段的包含判定以圓弧為例，假設點的坐標為(x,y,z)，圓弧的中心為(x0,y0,z0)，半徑為r，起始角為1，終止角為2。圓弧所在平面為

ax+by+cz+d=0

先判斷點是否在該平面上；若點在該平面上，則通過坐標變換，把問題轉換成二維空間中的問題。

對于平面上一點P(x,y)，判斷P是否在圓弧上，可分兩步進行。第一步判斷P是否在圓心為(x0,y0)，半徑為r的圓的圓周上，即下式是否成立第二步判斷P是否在有效的圓弧段內。2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）⒊

點與參數(shù)曲線的包含判定設點坐標為P(x,y,z)，參數(shù)曲線方程為Q(t)=(x(t),y(t),z(t))。點與參數(shù)曲線的求交計算包括3個步驟。⑴

計算參數(shù)t的值，使P到Q(t)的距離最小。⑵

判斷t是否在有效參數(shù)區(qū)間內(通常為[0,1])。⑶

判斷Q(t)與P的距離是否小于。若第(2)、(3)步的判斷均為“是”，則點在曲線上；否則，點不在曲線上。第一步應計算參數(shù)t，使得|PQ(t)|最小，即R(t)=(PQ(t))(PQ(t))=|PQ(t)|2最小。根據(jù)微積分知識，在該處R(t)=0，即Q(t)[PQ(t)]=0。用數(shù)值方法解出t值，再代入曲線參數(shù)方程，可求出曲線上對應點的坐標。第(2)、(3)步不再贅述。2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）⒋

點與平面區(qū)域的包含判定設點坐標為P(x,y,z)，平面方程為ax+by+cz+d=0。則點到平面的距離為若d<，則認為點在平面上；否則，認為點不在平面上。對落在平面上的點還應進一步判別它是否落在有效區(qū)域內。下面以平面區(qū)域多邊形為例，介紹有關算法。判斷平面上的一個點是否包含在該平面的一個多邊形內，有多種算法，這里僅介紹常用的3種，即叉積判斷法、夾角之和檢驗法以及交點計數(shù)檢驗法。

2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）⑴

叉積判斷法假設判斷點為P0，多邊形頂點按順序排列為P1，P2，…，Pn，如圖2.16所示。令Vi=PiP0，其中，i=1,2,…,n，Vn+1=V1。那么，P0在多邊形內的充要條件是叉積ViVi+1(i=1,2,…,n)的符號相同。叉積判斷法僅適用于凸多邊形。當多邊形為凹多邊形時，可采用后面介紹的兩種方法。圖2.16叉積判斷法2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）⑵

夾角之和檢驗法假設某平面上有點P0和多邊形P1P2P3P4P5，如圖2.17所示。將點P0分別與Pi相連，構成向量Vi=PiP0，假設PiP0Pi+1=i。如果，則點P0在多邊形之外，如圖2.17(a)所示。如果，則點P0在多邊形之內，如圖2.17(b)所示。i可通過公式計算。令Si=ViVi+1，Ci=Vi·Vi+1，則tan(i)=Si/Ci。所以，i=arctan(Si/Ci)且i的符號即代表角度的方向。圖2.17夾角之和檢驗法

2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）在多邊形邊數(shù)不超過43的情況下，可以采用下列近似公式計算i：

Si≤Ci

Si>Ci其中，常數(shù)d=0.0355573。當i≥π時，可判定P0在多邊形內。當i＜π時，可判定P0在多邊形外。⑶

交點計數(shù)檢驗法當多邊形是凹多邊形，甚至還帶孔時，可采用交點計數(shù)法判斷點是否在多邊形內。具體做法是，從判斷點作一射線至無窮遠2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）求射線與多邊形邊的交點個數(shù)。若交點個數(shù)為奇數(shù)，則點在多邊形內；否則，點在多邊形外。如圖2.18所示，射線a、c與多邊形分別交于2個點和4個點，為偶數(shù)，故判斷點A、C在多邊形外。而射線b、d與多邊形分別交于3個點和1個點，為奇數(shù)，所以點B、D在多邊形內。圖2.18交點計數(shù)法

當射線穿過多邊形頂點時，必須特殊對待。若共享頂點的兩邊在射線的同一側，則交點計數(shù)加2，否則加1。按這種方法，交點計數(shù)為偶數(shù)時點在多邊形外；交點計數(shù)為奇數(shù)時點在多邊形內。

2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）⒌

點與二次曲面/參數(shù)曲面的包含判定假設點坐標為P(x0,y0,z0)，二次曲面方程為Q(x,y,z)=0，則當|Q(x0,y0,z0)|<時，認為點在該二次曲面上。有時還要判斷點是否在曲面有效范圍內。⒍

點與三維形體的包含判定判斷點是否被三維形體所包含，可先判斷點是否在三維形體的表面上，然后判斷點是否在形體內部，其方法因形體不同而異。以凸多面體為例。設凸多面體某個面的平面方程為ax+by+cz+d=0，調整方程系數(shù)的符號，使當ax+by+cz+d<0時，點(x,y,z)位于該平面兩側方向包含該凸多面體的一側。于是要檢驗一個點是否在凸多面體內部，只要檢驗它是否對凸多面體的每一個面均滿足以上的不等式即可。2.5圖形求交2.5.4

重疊判定算法

判斷空間一點與另一點是否重疊，只要判斷兩點之間的距離是否等于0即可。判斷兩條線段是否重疊，可先判斷它們是否共線，即判斷一條線段上的任意兩點是否在另一條線段所在的直線上，或是比較兩條線段的方向向量并判斷一條線段上的任意一點是否在另一條線段所在的直線上。若兩條線段不共線，則它們不可能重疊；否則，可通過端點坐標的比較來判斷兩線段的重疊部分。判斷兩個平面的重疊關系，一種方法是判斷一個平面上不共線的3個點是否在另一個平面上；另一種方法是先比較兩個平面的法向量，再判斷一個平面上的某點是否在另一個平面上。2.5圖形求交2.5.5

凸包計算

一個圖形的凸包，就是包含這個圖形的一個凸的區(qū)域。例如，一個平面圖形的凸包可以是一個凸多邊形，一個三維物體的凸包可以是一個凸多面體。一個圖形的凸包不是惟一的。在進行圖形求交計算時，如果兩個圖形的凸包不相交，顯然它們不可能相交。否則，需要進一步計算。包圍盒是一種常用的凸包。二維包圍盒是二維平面上的一個矩形，它的兩條邊分別與兩條坐標軸x、y平行，可以表示xmin≤x≤xmax、ymin≤y≤ymax。三維空間中的包圍盒是一個長方體，可表示為3個不等式，即xmin≤x≤xmax、ymin≤y≤ymax、zmin≤z≤zmax。兩個包圍盒相交的充要條件是它們在每一個坐標軸方向上都相交。2.5圖形求交2.5.5

凸包計算

求多邊形或多面體的包圍盒是相當簡便的。只要遍歷其所有頂點，就的方法求出包圍盒。對于一般的幾何形體，則要根據(jù)其具體性質來求。

對含有曲線、曲面的幾何體進行求交時，常常先求它們的一個凸多邊形或凸多面體的凸包。由于凸多邊形和凸多面體間的求交相對簡單，因此可以節(jié)省一定的計算量。例如，Bezier曲線、B樣條和NURBS曲線、曲面具有凸包性質，其控制多邊形或控制網格是其本身的凸包一般的凸包的求法因具體情況而異，下面舉一個求圓弧凸包的例子。設圓弧段的圓方程為(xx0)2+(yy0)2=r2，圓弧起始角為1，終止角為2。對圓弧計算凸包如圖2.19所示。先根據(jù)起始角1與終止角2求出相應的弧端點P1、P2坐標，進而求出弧的弦中點Pm=(P1+P2)/2。

2.5圖形求交2.5.5

凸包計算（續(xù)）

再用下式計算弧中點Pc：

則該弧的包圍盒頂點為P1、P1+(PcPm)、P2+(PcPm)、P2。圖2.19圓弧的凸包

2.6圖形裁剪裁剪(clipping)是裁去窗口之外物體或物體部分的一種操作。2.6.1直線的剪裁

Cohen-Sutherland算法；2.6.2多邊形的剪裁

Sutlerland_Hodgman算法2.6.3字符串的剪裁

2.6圖形裁剪2.6.1

直線的剪裁

直線和窗口的關系可以分為如下3類(圖2.20)：⑴

整條直線在窗口內。此時，不需剪裁，顯示整條直線。⑵

整條直線在窗口外，此時，不需剪裁，不顯示整條直線。⑶

部分直線在窗口內，部分直線在窗口外。此時，需要求出直線與窗框的交點，并將窗口外的直線部分剪裁掉，顯示窗口內的直線部分。

直線剪裁算法有兩個主要步