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文檔簡介
彩色圖象的二維變形
摘要該文討論了彩色圖像的變形扭曲技術(shù),并針對(duì)二維變形給出了一個(gè)速度、精度均令人滿意的算法。一、引言在圖像處理的應(yīng)用中,一般圖像所覆蓋區(qū)域邊界是規(guī)則的矩形。為獲得某種特殊效果,常常需要將圖像變換到具有任意不規(guī)則邊界的二維區(qū)域或映像到三維空間曲面,簡單地說,這就是所謂的圖像變形技術(shù)。本文重點(diǎn)討論了其中的任意二維多邊形區(qū)域的變形問題,并針對(duì)彩色圖像給出一個(gè)切實(shí)可行的算法。而三維情況下,則屬于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的紋理貼面范圍,一般均會(huì)牽涉到立體圖形消隱、明暗處理等技術(shù),比較復(fù)雜,本文未作深入探討。二、變換原理本文所要討論的二維變形問題可以形式化說明如下:圖像定義在矩形區(qū)域ABCD之上,源多邊形區(qū)域P=p1p2…pnp1(Pi為頂點(diǎn),i=1,2,…n)完全包含在ABCD內(nèi);變形就是通過變換f,將P上的圖像變換到目的多邊形區(qū)域Q=Q1Q2…QnQ1(Qi為頂點(diǎn),i=1,2,…n),其中,P與Q中的各頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),即有:Qi=f(Pi)(i=1,2…n)。圖1是變形的一個(gè)簡單例子:圖中的源多邊形區(qū)域是矩形區(qū)域ABCD,目的多邊形為任意四邊形EFGH,陰影部分在變換前后的變化清楚地說明了變形的效果。@@T5S13200.GIF;圖1@@那么,變換應(yīng)該如何進(jìn)行呢?一種直接的思路是顯式地求出變換f的表達(dá)式。而f的實(shí)施又分兩種方法;其一為正向變換法,即用f將P內(nèi)的任一像素點(diǎn)變換到Q內(nèi),取原像素值加以顯示。由于P與Q所包含像素點(diǎn)的數(shù)目一般不相同,甚至相差很大,造成Q中的像素點(diǎn)或者未被賦值,形成令人討厭的空洞,或者被多次賦值,浪費(fèi)了時(shí)間,總的效果不理想;其二利用f的反變換f-1,將Q內(nèi)的每一像素點(diǎn)反變換至P內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn),一般此點(diǎn)具有實(shí)數(shù)坐標(biāo),則可以通過插值,確定其像素值,這樣,結(jié)果圖像中的每一像素點(diǎn)均被賦值唯一的一次,既提高了精度,又可以避免不必要的賦值,使用效果較好。上述顯示求變換(或反變換)的表達(dá)式的思路,比較精確,但是這往往牽涉到復(fù)雜的多元方程求解問題,并非輕易可以完成。本文所給出的另外一條思路是:既然P與Q中各頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),組成變換對(duì),即源多邊形P中的任一頂點(diǎn)Pi(i=1,2…n)經(jīng)過變換f,得到目的多邊形Q中的頂點(diǎn)Qi(i=1,2…n),則Qi的反變換點(diǎn)也必為Pi。這樣,對(duì)Q內(nèi)(包括邊界)的各像素點(diǎn)A,可以利用各頂點(diǎn)的反變換點(diǎn)的坐標(biāo)值通過雙線性插值技術(shù)近似求出其反變換點(diǎn)B;再用點(diǎn)B的坐標(biāo)值在源圖像中進(jìn)行插值,最終求得結(jié)果像素值,用于顯示A。第二種方法在保留一定精度的前提下,避免了變換表達(dá)式的顯式求解,實(shí)現(xiàn)簡便。本文基于此思想,設(shè)計(jì)了一個(gè)快速變形算法;另外,算法中還借鑒了多邊形區(qū)域掃描轉(zhuǎn)換的掃描線算法的思路,以實(shí)現(xiàn)對(duì)Q內(nèi)各像素點(diǎn)的高效掃描。以下,本文首先介紹了插值技術(shù)及增量計(jì)算技術(shù),然后將給出二維變形算法的詳細(xì)步驟。三、插值技術(shù)已知目的多邊形Q各頂點(diǎn)Qi(i=1,2…n)的變換坐標(biāo)值,如何求出Q內(nèi)任一像素的反變換坐標(biāo)呢?雙線性插值法是一種簡單快速的近似方法。具體做法是:先用多邊形頂點(diǎn)Qi(i=1,2…n)的反變換坐標(biāo)線性插值出當(dāng)前掃描線與多邊形各邊的交點(diǎn)的反變換坐標(biāo),然后再用交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)線性插值出掃描線位于多邊形內(nèi)的區(qū)段上每一像素處的反變換坐標(biāo)值用于以后的計(jì)算。逐條掃描線處理完畢后,Q內(nèi)每一像素點(diǎn)的反變換坐標(biāo)值也就均求出來了。如圖2中所示,掃描線Y(縱坐標(biāo)=Y)與多邊形相交于點(diǎn)A和B兩點(diǎn),D則是位于掃描線上位于多邊形內(nèi)的區(qū)段AB上的任一點(diǎn)。已知多邊形的3個(gè)頂點(diǎn)Qi(i=1,2,3)的反變換坐標(biāo)為(RXi,RYi);又令A(yù)、B及D各點(diǎn)的反變換坐標(biāo)分別是(RXa,RYa),(RXb,RYb)和(RXd,RYd)。則RXp可按以下公式求出:RXa=uRX1+(1-u)RX2式1RXb=vRX1+(1-v)RX3式2RXd=tRXa+(1-t)RXb式3其中,u=|AQ2|/|Q1Q2|,v=|BQ3|/|Q1Q3|,t=|DB|/|AB|,稱為插值參數(shù)。RYd的值亦可完全類似地求出,甚至不必改變插值參數(shù)的計(jì)算。(Rxd,Ryd)即是D點(diǎn)在原圖像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)近似值。@@T5S13201.GIF;圖2@@上述的雙線性插值過程可以通過增量計(jì)算方法提高速度。其中,在水平方向上,位于多邊形內(nèi)的各區(qū)段上的各像素的反變換坐標(biāo)可以沿掃描線從左至右遞增計(jì)算。仍以反變換的X坐標(biāo)為例。如圖2所示,在掃描線Y上,C與D是相鄰兩像素點(diǎn),對(duì)C點(diǎn),插值參數(shù)tc=|CB|/|AB|,對(duì)D點(diǎn),td=|DB|/|AB|,則插值參數(shù)之差△t=|CD|/|AB|,由于C與D相鄰,且在同一掃描線上,|CD|=1,即△t=1/|AB|,在AB區(qū)段上為常數(shù)。根據(jù)式1~式3,不難推得D點(diǎn)的反變換X坐標(biāo)Rxd與C點(diǎn)的反變換X坐標(biāo)Rxc之間的關(guān)系如下:Rxd=Rxc+(Rxa-Rxb)·△t=Rxc+△Rxx由于△Rxx在AB區(qū)段仍為常數(shù),故AB區(qū)段上各像素點(diǎn)的反變換X坐標(biāo)均可由A點(diǎn)的Rxa依次遞增求得,而反變換Y坐標(biāo)的遞增求法亦是相同。這樣,AB區(qū)段上各像素點(diǎn)的反變換坐標(biāo)值的計(jì)算簡化為兩次加法,時(shí)間的節(jié)省是驚人的。事實(shí)上,在垂直方向,每條邊也可在相鄰掃描線間遞增計(jì)算其與掃描線交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)。如圖2中的Q1Q2邊,其與相鄰的兩條掃描線Y與Y-1分別交于A點(diǎn)和E點(diǎn)。則兩點(diǎn)的插值參數(shù)之差△u=|AE|/|Q1Q2|,而Q1Q2邊與掃描線交角固定為θ,且A和E兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)之差為1,則有:|AE|=1/Sinθ,對(duì)于Q1Q2邊而言是常量,因此△u對(duì)此邊也是常量,于是推得兩點(diǎn)反變換X坐標(biāo)關(guān)系如下:Rxa=Rxe+(Rx1-Rx2)△u=Rxe+△Rxy顯然,△Rxy沿Q1Q2邊亦是常數(shù),故而可知,相鄰掃描線與各邊交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)也只要兩次浮點(diǎn)加法的計(jì)算量。這樣,區(qū)域內(nèi)每一像素點(diǎn)的反變換均可通過增量計(jì)算高效地完成,這大大提高了整個(gè)變形算法的速度。另外,前面提到,經(jīng)過反變換后的點(diǎn)一般具有實(shí)數(shù)坐標(biāo),無法直接在原圖像中獲得顏色值。但我們知道,一幅所謂數(shù)字圖像,其實(shí)質(zhì)是對(duì)連續(xù)圖像在整數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)格點(diǎn)上的離散采樣,因而可以用插值的方法,得到區(qū)域內(nèi)具有任意坐標(biāo)的點(diǎn)的顏色值。插值即是對(duì)任意坐標(biāo)點(diǎn)的顏色值,用其周圍的若干像素(具有整值坐標(biāo)值,顏色值確定)的顏色值按一定插值公式近似計(jì)算。一般有最近鄰點(diǎn)法、雙線性插值法及3次樣條函數(shù)法等插值方法,出于精度與速度的折衷要求,選用雙線性插值方法對(duì)絕大多數(shù)的應(yīng)用場合是適宜的。需特別指出的是,應(yīng)該對(duì)顏色的3原色分量分別進(jìn)行插值,而不要直接使用讀像素點(diǎn)得到的顏色索引號(hào)。詳細(xì)討論見文獻(xiàn)[1]。四、算法細(xì)節(jié)下面將要給出的彩色圖像的二維變形算法以多邊形區(qū)域掃描轉(zhuǎn)化的掃描線算法為框架,且使用相仿的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),對(duì)目的多邊形區(qū)域高效地進(jìn)行逐點(diǎn)掃描,同時(shí)實(shí)現(xiàn)前面討論的各種技術(shù)。首先給出的是用C語言描述的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu):structEdge{floatx;/*在邊的分類表ET中表示邊的下端點(diǎn)的x坐標(biāo);在邊的活化鏈表AEL中則表示邊與掃描線的交點(diǎn)的x坐標(biāo);*/floatdx;/*邊的斜率的倒數(shù);即沿掃描線間方向X的增量值*/intYmax;/*邊的上端點(diǎn)的y坐標(biāo)*/floatRx;/*在ET中表示邊的下端點(diǎn)*/floatRy;/*的反變換坐標(biāo);在AEL中則表示邊與掃描線交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)*/表floatdRx;/*沿掃描線間方向,反變*/floatdRy;/*換坐標(biāo)(Rx,Ry)的增量值*/structEdge*next;/*指向下一條邊的指針*/};/*多邊形的邊的信息*/structEdge*ET[YResolution];/*邊的分類表,按邊的下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)Y對(duì)非水平邊進(jìn)行分類的指針數(shù)組。下端點(diǎn)的Y值等于i的邊歸入第i類,同一類中,各邊按X值及△X的值遞增順序排列;YResolution為掃描線數(shù)目*/structEdye*AEL;表/*邊的活化鏈表,由與當(dāng)前掃描線相交的所有多邊形的邊組成,記錄了多邊形邊沿當(dāng)前掃描線的交點(diǎn)序列。*/structPolygon{intnpts;/*多邊形頂點(diǎn)數(shù)*/structPoint*Pts;/*多邊形的頂點(diǎn)序列*/};/*多邊形信息*/structPoint{intX;intY;/*頂點(diǎn)坐標(biāo)*/floatRx;floatRy;/*頂點(diǎn)的反變換坐標(biāo)*/};/*多邊形各頂點(diǎn)的信息*/注意以上注釋中邊的下端點(diǎn)指縱坐標(biāo)值較小的一端,另一端即為上端點(diǎn)。以下則為算法的詳細(xì)步驟:1.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備對(duì)于每一條非水平邊QiQi+1,設(shè)Qi與Qi+1的坐標(biāo)分別為(Xi,Yi)及(Xi+1,Yi+1);其反變換坐標(biāo)為(Rxi,Ryi)及(RXi+1,RYi+1)。則按以下各式對(duì)此邊的信息結(jié)構(gòu)各域進(jìn)行填寫:X=Xi,Yi<Yi+1Xi+1,Yi>Yi+1RX=RXi,Yi<Yi+1RXi+1,Yi>Yi+1RY=RYi,Yi<Yi+1RYi+1,Yi>Yi+1dx=(xi-xi+1)/(yi-yi+1)Ymax=max(yi,yi+1)dRx=(Rxi-Rxi+1)/(yi-yi+1)dRy=(Ryi-Ryi+1)/(yi-yi+1)然后將其插入鏈表ET[min(yi,yi+1)]中?;罨叡鞟EL置空。當(dāng)前掃描線縱坐標(biāo)y取為0,即最小序號(hào)。2.掃描轉(zhuǎn)換反復(fù)作以下各步,直到y(tǒng)等于YResolution(1)若ET[y]非空,則將其內(nèi)所有邊插入AEL。(2)若AEL非空,則將其按X及dx的值從小到大排列各邊,接(3);否則轉(zhuǎn)(3)將AEL內(nèi)各邊按排列順序兩兩依次配對(duì)。則沿當(dāng)前掃描線Y組成若干水平區(qū)間[xLeft,xRight],其左右端點(diǎn)的反變換坐標(biāo)分別為:(lRx,lRy),(rRx,rRy)。則對(duì)于每一個(gè)這樣的區(qū)間作以下各步:dRxx=(lRx-rRx)/(xleft-xRight)dRyx=(lRy-rRy)/(xleft-xRight)又設(shè)原圖像已讀入二維數(shù)組Image之中。令XX=xleft,Rxy=lRx,Ryx=lRy則對(duì)于每個(gè)滿足xLeft≤xX≤xRight的坐標(biāo)為(xx,y)的像素,其反變換坐標(biāo)(Rxy,Ryx)可按下式增量計(jì)算:Rxx=Rxx+dRxxRyx=Ryx+dRyy用(Rxx,Ryx)在數(shù)組Image之中插值,(參見文獻(xiàn)[1]),按所得顏色值顯示該像素。然后邊x=x+1,計(jì)算下一像素。(4)將AEL中滿足y=Ymax的邊刪去,然后按下式調(diào)整AEL中各邊的信息。X=X+dxRx=Ry+dRxRy=Ry+dRy(5)y=y+1,重復(fù)下一點(diǎn)。五、討論上述算法針對(duì)彩色圖像的二維變形問題,給出了一個(gè)簡單快速的實(shí)現(xiàn)方案。至于三維變形,由于一般會(huì)牽涉到隱藏
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