材料力學組合變形的強度問題

曾經請同學們復習2-6章關于基本變形的論述，并自行總結：1、軸向拉（壓）2、扭轉3、彎曲4、剪切這四種基本變形的：內力的名稱及符號、內力及內力圖；應力的計算公式和分布規(guī)律；最大應力的公式和強度條件；變形和應變的公式和剛度條件。第8章

組合變形1.組合變形：2.分類------①兩個平面彎曲的組合(斜彎曲)②拉伸(或壓縮)與彎曲的組合，以及偏心拉、壓

③扭轉與彎曲或扭轉與拉伸(壓縮)及彎曲的組合3.一般不考慮剪切變形；含彎曲組合變形，一般以彎曲為主，其危險截面主要依據Mmax，一般不考慮彎曲剪應力。一、概念桿件在外力作用下，同時發(fā)生兩種或兩種以上基本變形的組合。

§8-1組合變形的概念二、組合變形工程實例煙囪，傳動軸吊車梁的立柱煙囪：自重引起軸向壓縮+水平方向的風力而引起彎曲；傳動軸：在齒輪嚙合力的作用下，發(fā)生彎曲+扭轉

立柱：荷載不過軸線，為偏心壓縮=軸向壓縮+純彎曲組合變形工程實例----以下是什么組合？⑤用強度準則進行強度計算1.疊加原理：在線彈性、小變形下，每一組載荷引起的變形和內力彼此不受影響，可采用代數相加；三、基本解法(疊加法)2.基本解法：①外力分解或簡化：使每一組力只產生一個方向的一種基本變形②分別計算各基本變形下的內力及應力③將各基本變形應力進行疊加(主要對危險截面的危險點)④對危險點進行應力分析(s1≥s2≥s3)將組合變形分解成若干個基本變形，分別計算出每個基本變形下的內力和應力，然后進行應力疊加。①外力分解和簡化。②內力分析——確定危險面。③應力分析：確定危險面上的應力分布，建立危險點的強度條件。求解步驟四、可行性

由力作用的獨立性原理出發(fā)，在線彈性范圍內，可以假設作用在體系上的諸載荷中的任一個所引起的變形對其它載荷作用的影響忽略不計。實驗表明，在小變形情況下這個原理是足夠精確的。因此，可先分別計算每一種基本變形情況下的應力和變形，然后采用疊加原理計算所有載荷對彈性體系所引起的總應力和總變形。重申基本研究步驟1、分解：簡化荷載：用靜力等效的載荷，使每一組只引起一種基本變形。2、分別計算：按基本變形求解每組載荷作用下的應力、位移。3、疊加：按疊加原理疊加求出組合變形的解。

平面彎曲：對于橫截面具有對稱軸的梁，當橫向外力或外力偶作用在梁的縱向對稱面內時，梁發(fā)生對稱彎曲。這時，梁變形后的軸線是一條位于外力所在平面內的平面曲線。斜彎曲：雙對稱截面梁在水平和垂直兩縱向對稱平面內同時承受橫向外力作用的情況，這時梁分別在水平縱對稱面和鉛垂縱對稱面內發(fā)生對稱彎曲。（也稱為兩個相互垂直平面內的彎曲）

§8-2非對稱彎曲（斜彎曲）

當外力作用面不通過主慣性平面時,則彎曲變形后,梁的軸線不在外力作用面內。zyF

教材12-1FyFx應力計算中性軸的位置斜彎曲——荷載不作用在構件的縱向對稱面內，梁的軸線變形后不在位于外力所在平面內。矩形截面梁的斜彎曲C1、簡化外力：如何求C點的正應力？2、按基本變形求各自應力：C點總應力：確定中性軸的位置故中性軸的方程為設中性軸上某一點的坐標為y0、z0，則由中性軸上中性軸是一條通過截面形心的直線中性軸為中性軸與z軸夾角yzyz中性軸4）若截面為曲線周邊時，可作//于中性軸的切線，切點為yz注：1）中性軸仍過截面形心；2）中性軸把截面分為受拉、受壓兩個區(qū)域；3）同一橫截面上發(fā)生在離中性軸最遠處點D1、D2。1）危險截面：當x=0時，同時取最大故固定端截面為危險面2）危險點：危險截面上點強度計算式：強度計算

對于周邊具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，最大拉、壓應力必然發(fā)生在截面的棱角處?？芍苯痈鶕旱淖冃吻闆r，確定截面上的最大拉、壓應力所在位置，無需確定中性軸位置。例1矩形截面的懸臂梁受荷載如圖示。試確定危險截面、危

險點所在位置；計算梁內最大正應力及AB段的中性軸位

置；若將截面改為直徑D=50mm的圓形，試確定危險點

的位置，并計算最大正應力。例1圖解（一）外力分析梁在P1作用下繞z軸彎曲（平面彎曲），在P2作用下繞y軸彎曲（平面彎曲），故此梁的彎形為兩個平面彎曲的組合——斜彎曲。受力簡圖如圖示。例1圖受力簡圖（二）內力分析受力簡圖分別繪出Mz(x)和My(x)圖如圖示。兩個平面內的最大彎矩都發(fā)生在固定端A截面上，A截面為危險截面。（三）應力分析和最大應力繪出A截面的應力分布圖，從應力分布圖可看出a、b兩點為最大拉應力和最大壓應力點，即為危險點。應力分布圖（四）計算中性軸位置及最大正應力AB段中性軸與z軸的夾角為：（坐標原點可設在C截面處）從上式可看出，中性軸位置在AB段內是隨x的變化而變化的。在A截面處（x=1m），中性軸位置為：解得：（見圖）應力分布圖A截面中性軸確定后可繪出總應力分布圖（見圖）。最大和最小正應力為：如以合成后的總彎矩以矢量表示，中性軸與M的矢量不重合，說明荷載作用平面與中性軸不垂直，這是斜彎曲的特征之一。應力分布圖（五）改為圓截面時的計算合成后總變矩為：矩形截面改為圓截面后，受力圖不變，內力圖也不變。此時對于圓截面來說，不存在斜彎曲問題，兩個平面彎曲合成后，還是一個平面彎曲的問題。危險截面A截面上彎矩的合成由矢量來表示（見圖）?？倧澗氐氖噶糠较蚺c中性軸重合，說明總彎矩是繞中性軸彎曲（荷載作用平面與中性軸垂直）離中性軸最遠的兩點（c,d）是正應力最大和最小的點。A截面應力分布圖此時Mz引起的最大拉應力在圖中a點；My引起

的應力在圖中b點，顯然將不同點處的應力進行相加，作為該截面上的最大正應力是錯誤的。

容易出現的一種計算錯誤：A截面應力分布圖ab例：矩形截面木梁跨長l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷載集度q=0.96KN/m,試設計該梁的截面尺寸。許用應力qhbqzy解:跨中為危險截面h/b=3/2b=0.0876m,h=0.131m可選b=90mm,h=135mm請注意計算單位！你知道危險點在何處嗎？斜彎曲梁的位移——疊加法zyF總撓度：大小為：設總撓度與y軸夾角為：一般情況下，即撓曲線平面與荷載作用面不相重合，為斜彎曲，而不是平面彎曲。中性軸§8-3軸向拉（壓）與彎曲的組合變形LABqFFABFFABq+彎曲拉伸LABq1.求內力xLABFFx2.求應力3.建立強度條件彎曲與拉伸（壓縮）組合變形：當桿上的外力除橫向力外，還受有軸向拉（壓）力時，所發(fā)生的組合變形。一、計算方法：1.分別計算軸向力引起的正應力和橫向力引起的正應力；2.按疊加原理求正應力的代數和。二、注意事項：1.如果材料許用拉應力和許用壓應力不同，且截面部分區(qū)域受拉，部分區(qū)域受壓，應分別計算出最大拉應力和最大壓應力，并分別按拉伸、壓縮進行強度計算。2.如果橫向力產生的撓度與橫截面尺寸相比不能忽略，則軸向力在橫截面上引起附加彎矩DM=Pw亦不能忽略，這時疊加法不能使用，應考慮橫向力與軸向力之間的相互影響。xqPPw這種情況稱為縱橫彎曲，可參看§9-7。RAHAFcCABP24kN_FNB2m1m1.5mPACFcxFcy12kN·m_M例圖示起重機的最大吊重P=12kN，材料許用應力[s]=100MPa，試為AB桿選擇適當的工字梁。

解：(1)根據AB桿的受力簡圖，由平衡條件，得：

(2)作AB桿的彎矩圖和軸力圖：C點左截面上，彎矩為極值而軸力與其它截面相同，故為危險截面。

(3)計算時暫不考慮軸力影響，只按彎曲正應力強度條件確定工字梁的抗彎截面模量，有：

(4)查型鋼表，選取W=141cm3的16號工字梁，然后按壓彎組合變形進行校核。易知，在C截面下緣的壓應力最大，且有：

最大壓應力小于許用應力，選取16號工字梁是合適的。

例圖示壓力機，最大壓力P=1400kN，機架用鑄鐵作成，許用拉應力[sL]=35MPa，許用壓應力[sy]=140MPa，試校核該壓力機立柱部分的強度。立柱截面的幾何性質如下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。在偏心拉力P作用下橫截面上的內力及各自產生的應力如圖：最大組合正應力發(fā)生在截面內、外側邊緣a、b處，其值分別為

解：由圖可見，載荷P偏離立柱軸線，其偏心距為：e=yc+500=200+500=700mm。可見，立柱符合強度要求。

Pe500PPhzycycN=PM=PeN=PsNy2ycbcasa'sb'M=Pesasb例圖示壓力機，最大壓力P=1400kN，機架用鑄鐵作成，許用拉應力[sL]=35MPa，許用壓應力[sy]=140MPa，試校核該壓力機立柱部分的強度。立柱截面的幾何性質如下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。解：位置？例：一折桿由兩根圓桿焊接而成，已知圓桿直徑d=100mm，試求圓桿的最大拉應力和最大壓應力。

例：三角架如圖示，在AB桿端點受集中荷載P=8KN，若AB桿橫截面為工字鋼，試選擇其型號。許用應力1.5m2.5mPDCBA解:研究AB作AB內力圖12KN·mM圖22.17KN⊕C稍左截面彎矩、軸力均最大危險截面1.5m2.5mPDCBA12KN·mM圖⊕試算法選18號工字鋼代入上式強度足夠選16號工字鋼符合要求§8-4偏心拉伸（壓縮）截面核心1、偏心壓縮最大壓應力點：右上角最大拉應力點（如存在）：左下角OzyOOxyzAPezPyPyPzPAyBzPMz=PyPMy=PzPD1azD2ay1.構件外力與軸線平行但不與軸線重合時，即為偏心拉伸或壓縮。

2.橫截面上任意點B的應力：

OzyOOxyzAPezPyPyPzPAyBzPMz=PyPMy=PzPD1azD2ay1.構件外力與軸線平行但不與軸線重合時，即為偏心拉伸或壓縮。

2.橫截面上任意點B的應力：

①對于受偏心壓縮的短柱，y、z軸為形心主慣性軸，P作用點坐標為yP、zP，將P向形心簡化，則各內力在(y,z)點引起的應力分別為：負號表示為壓應力；

②組合應力：

式中：

—截面對z、y軸的慣性半徑。

OzyyPzPAyBzD1azD2ay3.中性軸方程：

①利用中性軸處的正應力為零，得中性軸方程y0=f(z0)為：

—直線方程

②中性軸在y、z軸上的截距分別為：

1)ay、az分別與yP、zP符號相反，故中性軸與偏心壓力P的作用點位于截面形心的兩側。2)中性軸將截面分成兩個區(qū)，壓力P所在區(qū)受壓，另一區(qū)受拉。在截面周邊上，D1和D2兩點切線平行于中性軸，它們是離中性軸最遠的點，應力取極值。例：圖示鋼板受集中力P=128KN作用，當板在一側切去深4cm的缺口時，求缺口截面的最大正應力？若在板兩側各切去深4cm的缺口時，缺口截面的最大正應力為多少?(不考慮應力集中)4cmPP10360解:1、一側開口時是偏心拉伸，即軸向拉伸與彎曲的組合40MPa15MPa4cmPP2、兩側開口時是軸向拉伸36010本題中：兩側開口好于一側開口，為什么？

例

圖示一夾具。在夾緊零件時，夾具受到的外力為P＝2kN。已知：外力作用線與夾具豎桿軸線間的距離為e=60mm，豎桿橫截面的尺寸為b=10mm，h=22mm，材料的許用應力[σ]＝170MPa。試校核此夾具豎桿的強度。解：對于夾具的豎桿，P力是一對偏心拉力。對豎桿的作用相當于圖b中所示的一對軸向拉力P和一對在豎桿的縱向對稱平面內的力偶；拉伸和彎曲的組合變形。豎桿的危險點在橫截面的內側邊緣處。都是拉應力。危險點處的正應力為:強度條件滿足，所以豎桿在強度上是安全的。2.研究意義：

①工程中的混凝土柱或磚柱，其抗拉性很差，要求構件橫截面上不出現拉應力；②地基受偏心壓縮，不允許其上建筑物某處脫離地基。

3.求截面核心方法：

①基本方法：將截面周界上一系列點的切線作為中性軸，反求出相應壓力P作用點位置，其連線即為截面核心的周界。設y、z軸為形心主慣性軸，周界某一點切線為中性軸時，在y、z軸上的截距分別為ay、az，則壓力P作用點坐標為：

1.定義：當壓力P作用在截面的某個區(qū)域內時，整個截面上只產生壓應力，該區(qū)域通常就稱為截面核心。

②特殊情況：

截面核心的概念

4.例題：求矩形截面的截面核心。

解（1）中性軸在①位置時，有截矩ay=h/2，az=∞：

zybh則壓力作用點的坐標1(-h/6,0)。

同理可求中性軸②所對應的壓力作用點2(0,b/6)；

中性軸③所對應的壓力作用點3(h/6,0)；

中性軸④所對應的壓力作用點4(0,-b/6)。

1)截面周界有直線段時，對應的壓力作用點只是一點；2)截面周界有棱角時，對應壓力作用點為一直線；3)中性軸不能穿過截面，則當截面周界有內凹時，取中性軸為跨過內凹部分的切線。ybhzB(yB，zB)⑤④①②③12354

(3)所形成的菱形(陰影部分)即為矩形截面的截面核心。圖中的1、3點正處在截面寬度的三分點處，因此又稱“均三分法則”。B點對應壓力作用點在直線12上，連接1、2，同理將2、3、4、1點順序相連；

(2)將定點B的坐標(yB,zB)代入中性軸方程得：

—直線方程

討論：1.中性軸與F力作用點總是位于截面形心o的兩側；2.中性軸若與截面相割，將截面分成受壓和受拉兩部分；3.當F力作用點越接近截面形心o時（即偏心程度減?。?，則中性軸離截面形心越遠，可以與截面相切，甚至移出截面以外，這時截面上只有一種性質的應力。截面核心：當偏心力作用在截面上一定區(qū)域內時，在截面上只引起一種性質的應力，此區(qū)域稱為截面核心。截面核心的確定：作若干條與截面邊界相切的中性軸，分別求出其截距，然后代入下式求得偏心力的作用點，這些點的連線就是截面核心的周界線。zyD例

分別確定圓截面與矩形截面的截面核心。中性軸(a)圓截面C根據對稱性,它的截面核心亦為一圓。如中性軸與C點相切,則相應的載荷作用點在K,截面核心為一直徑為D/4的圓.K截面核心(b)矩形截面Czybh11223344AK(h/6,0)L

(-h/6,0)m(b/6,0)n(-b/6,0)可證明:當中性軸分別繞四個棱角從一個位置轉到另一個位置時,與之對應的偏心力作用點必沿著直線從一點移到另外一點。一、單向彎曲與扭轉組合變形

1.引例：以鋼制搖臂軸為例。

①外力向形心簡化(建立計算模型)：②作彎矩、扭矩圖(找危險截面)：由彎矩圖知：A截面|M|→max；全梁T處處相同，∴A截面為危險截面：

③危險截面的危險點：A截面K1、K2點，t、s數值均為最大，∴K1、K2點均為危險點：K2點：

K1點：§8-5彎曲與扭轉組合變形PaPLMT_一xLayzAPCBdPPaAssttK1K2sstsK1tsK2xLayzAPCBdxLayzAPCBd④對危險點進行應力分析：(從K1、K2點取單元體，因它們的s、t數值分別相同，危險程度也相同，不妨取K1點研究)：⑤進行強度計算：(圓軸：Wt=2Wz)

2.討論：

公式1)、3)可用于一般構件中只有一對s的平面應力狀態(tài)；

公式2)、4)只能用于圓軸單向彎扭變形。

二、雙向彎曲和扭轉強度計算(基本步驟與前相同)分析AB強度PABCɑlA截面為危險截面一、簡化外力：P彎曲變形Mx=-Pa扭轉變形二、分析危險截面：三、分析危險點：MPlTPaPPaBAl三、分析危險點：Wt=2Wt圓截面桿彎扭組合變形時的相當應力：注意：1、公式只適用于圓桿或圓環(huán)截面桿。2、對于非圓截面桿由于Wt≠2W,公式不適用。第三強度理論第四強度理論相當彎矩例圖示皮帶輪傳動軸，傳遞功率N=7kW，轉速n=200r/min。皮帶輪重量Q=1.8kN。左端齒輪上嚙合力Pn與齒輪節(jié)圓切線的夾角(壓力角)為20o。軸材料的許用應力[s]=80MPa，試按第三強度理論設計軸的直徑。解：①外力簡化(建立計算模型)：外力向AB軸軸線簡化，并計算各力大小。

zyD1ABCD200200400f300f500D2MyMz0.446kN·m0.8kN·m0.16kN·m0.36kN·mF1=2F2F220oPnxyQPyPz3F2MxMxQQPyPz②作軸的扭矩圖和彎矩圖(確定軸的危險截面)：

因全軸上扭矩相等，所以扭矩圖略。作xz平面內的My圖和作xy平面的Mz圖，可以看出D截面為危險截面，其上的內力為③最后根據第三強度理論設計軸的直徑：

討論：

①對于圓軸，由于對稱性，其橫截面上的兩方向彎矩可以矢量合成②合成彎矩可能最大點在各方向彎矩圖的尖點處，如上題，可能合彎矩最大值在C、D處；

計算公式

計算公式圓截面桿彎扭組合變形時的相當應力：注意：1、公式只適用于圓桿或圓環(huán)截面桿。2、對于非圓截面桿由于Wt≠2W,公式不適用。第三強度理論第四強度理論相當彎矩例圖示傳動軸，傳遞功率P=7.5Kw,軸的轉速n=100r/min。A、B為帶輪。輪A帶處于水平位置；輪B帶處于鉛垂位置。F’p1=Fp1、F’p2=Fp2為帶拉力。已知Fp1>

Fp2，Fp2=1500N,兩輪直徑均為D=600mm,軸材料的許用應力[σ]=80Mpa。試按第三強度理論設計軸的直徑。解：一、簡化外力：求出各支