PPT5-1：軸向拉伸與壓縮

壓力：與端面外法線方向相反的軸向載荷。拉力：與端面外法線方向相同的軸向載荷。軸向拉伸：桿件在拉力作用下軸向尺寸伸長(zhǎng)、橫向尺寸縮小?！?-1

軸向拉伸與壓縮的概念和工程實(shí)例F

軸向拉伸

軸向壓縮FFFF軸向載荷：作用在直桿上，作用線與軸線重合的外力。軸向壓縮：桿件在壓力作用下軸向尺寸縮短、橫向尺寸變大。§5-2

軸向拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力和應(yīng)力桿的受力特點(diǎn)：外力（或外力的合力）的作用線與桿件的軸線重合。變形特點(diǎn)：桿件產(chǎn)生沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。一、軸向拉壓桿的內(nèi)力-—軸力內(nèi)力：構(gòu)件在受到外力作用之前，為了保持構(gòu)件的固有形狀，分子間已存在著結(jié)合力，構(gòu)件受外力時(shí)發(fā)生變形，為了抵抗外力引起的變形，結(jié)合力增大了，這種由于外力作用而引起的內(nèi)力的改變量，稱為“附加內(nèi)力”，簡(jiǎn)稱內(nèi)力。截面法：欲求某截面mm上的內(nèi)力，可假想將桿沿該截面截開(kāi)，分成左、右兩段，任取其中一段為研究對(duì)象，將另一段對(duì)該段的作用以內(nèi)力FN

來(lái)代替，因?yàn)闃?gòu)件整體是平衡的，

所以它的任何一部

分也必須是平衡的。列出平衡方程，即可求出截面上內(nèi)力

的大小和方向。這種方法稱為截面法。mm軸力：因軸向拉壓引起的內(nèi)力也與桿的軸線一致，稱為軸向內(nèi)力，簡(jiǎn)稱軸力。約定：拉伸引起的軸力為正值，方向背離橫截面；壓縮引起的軸力為負(fù)值，指向向著橫截面。假截留半；內(nèi)力代換；內(nèi)外平衡。截面法求軸力的一般步驟軸力圖

為了直觀地表示整個(gè)桿件各橫截面軸力的變化情況，用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)按選定的比例表示對(duì)應(yīng)截面軸力的正負(fù)及大小。這種表示軸力沿軸線方向變化的圖形稱為軸力圖。

例5-1

直桿受外力作用如圖，求此桿各段的軸力，并作軸力圖。解（1）AB段112233（2）AC段（3）CD段繪制軸力圖：（壓）二、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力

兩根相同材料做成的粗細(xì)不同的直桿在相同拉力作用下，用截面法求得的兩桿橫截面上的軸力是相同的。若逐漸將拉力增大，則細(xì)桿先被拉斷。這說(shuō)明桿的強(qiáng)度不僅與內(nèi)力有關(guān)，還與內(nèi)力在截面上各點(diǎn)的分布集度有關(guān)。當(dāng)粗細(xì)二根桿軸力相同時(shí)，細(xì)桿內(nèi)力分布的密集程度較粗桿要大一些，可見(jiàn)，內(nèi)力的密集程度才是影響強(qiáng)度的主要原因。為此我們引入應(yīng)力的概念。平面假設(shè)：桿變形后各橫截面仍保持為平面，這個(gè)假設(shè)稱為平面截面假設(shè)。正應(yīng)力：橫截面上應(yīng)力的方向垂直于橫截面，稱為“正應(yīng)力”并以“

”表示：正應(yīng)力式中

為橫截面上的正應(yīng)力，F(xiàn)N為橫截面上的軸力，A為橫截面面積。說(shuō)明當(dāng)軸力為正時(shí)，

為拉應(yīng)力取正號(hào)；當(dāng)軸力為負(fù)時(shí)，

為壓應(yīng)力，取負(fù)號(hào)。應(yīng)力的國(guó)際單位為PakPaMPaGPa：（1Pa=1N/m2）、、、

例5-2一階梯桿如圖所示，AB段橫截面面積為：A1=100mm2，BC段橫截面面積為A2=180mm2，試求：各段桿橫截面上的正應(yīng)力。解（1）計(jì)算各段內(nèi)軸力，并繪制軸力圖BC段（2）確定應(yīng)力1122AB段BC段AB段壓力§5-3

材料在軸向拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能一、材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

在做拉伸試驗(yàn)時(shí)，要求將金屬材料按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《金屬材料拉伸試驗(yàn)法》制成標(biāo)準(zhǔn)試件。一般金屬材料采用圓形截面試件（圖a）或矩形截面試件（圖b）。

1、低碳鋼的拉伸試驗(yàn)

試件的有效工作總長(zhǎng)度稱為標(biāo)距。低碳鋼的拉伸圖（FN-l曲線

）低碳鋼的拉伸時(shí)的應(yīng)力–應(yīng)變曲線圖（-曲線

）彈性階段：由直線段oa

和微彎段ab

組成。oa

段稱為比例階段或線彈性階段，在此階段內(nèi)，材料服從胡克定律，即=E

適用，a點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值稱為材料的比例極限，并以“P

”表示。

曲線ab段稱為非線彈性階段，只要應(yīng)力不超過(guò)b點(diǎn)，材料的變形仍是彈性變形。所以b點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為彈性極限，以“e

”表示。屈服階段：bc段近似水平，既應(yīng)力幾乎不再增加，而變形卻增加很快，表明材料暫時(shí)失去了抵抗變形的能力。這種現(xiàn)象稱為屈服現(xiàn)象或流動(dòng)現(xiàn)象。bc段最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為屈服極限，以“s

”表示。低碳鋼的應(yīng)力–應(yīng)變曲線可分成四個(gè)階段：強(qiáng)化階段：過(guò)了屈服階段，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使試件繼續(xù)變形必須再增加載荷，這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化，故

-

曲線圖中的

ce

段稱為強(qiáng)化階段，最高點(diǎn)

e

點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為材料的強(qiáng)度極限，以“b”表示，它是材料所能承受的最大應(yīng)力，所以b是衡量材料強(qiáng)度的另一個(gè)重要指標(biāo)。頸縮階段：載荷達(dá)到最高值后，可以看到在試件的某一局部范圍內(nèi)的橫截面迅速收縮變細(xì)，形成頸縮現(xiàn)象。應(yīng)力應(yīng)變曲線圖中的ef段稱為頸縮階段。

試件拉斷后，彈性變形消失，只剩下殘余變形，殘余變形標(biāo)志著材料的塑性。工程中常用延伸率

和斷面收縮率作為材料的兩個(gè)塑性指標(biāo)。分別為材料的兩個(gè)塑性指標(biāo)一般把>5%的材料稱為塑性材料，把

<5%的材料稱為脆性材料。低碳鋼的延伸率

=20~30%，是典型的塑性材料。截面收縮率也是衡量材料塑性的重要指標(biāo)，低碳鋼的截面收縮率約為60%左右。2、鑄鐵的拉伸試驗(yàn)

鑄鐵是典型的脆性材料，其拉伸-曲線如圖所示，圖中無(wú)明顯的直線部分，但應(yīng)力較小時(shí)接近于直線，可近似認(rèn)為服從胡克定律。工程上有時(shí)以曲線的某一割線斜率作為彈性模量。鑄鐵拉伸時(shí)無(wú)屈服現(xiàn)象和頸縮現(xiàn)象，斷裂是突然發(fā)生的。強(qiáng)度指標(biāo)b是衡量鑄鐵強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。二、材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼的壓縮試驗(yàn)

壓縮試驗(yàn)所用的金屬試件常做成短圓柱形試件，高度是直徑的1.5~3.0倍。低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖所示。圖中虛線是為了便于比較而繪出的拉伸的

-

曲線。從圖中可以看出，低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量與拉伸時(shí)相同，但由于是塑性材料，所以試件愈壓愈扁，可以產(chǎn)生很大的塑性變形而不破壞，因而沒(méi)有抗壓強(qiáng)度極限。2、鑄鐵的壓縮試驗(yàn)

鑄鐵壓縮時(shí)的

–

曲線如圖所示。其線性階段不明顯，強(qiáng)度極限b比拉伸時(shí)高2~4倍，破壞突然發(fā)生，斷口與軸線大致成45～55的傾角。

由于脆性材料抗壓強(qiáng)度高，宜用于制作承壓構(gòu)件。一、安全系數(shù)的概念

為了保證構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度，構(gòu)件在外力作用下的最大工作應(yīng)力必須小于材料的極限應(yīng)力。在強(qiáng)度計(jì)算中，把材料的極限應(yīng)力除以一個(gè)>1的系數(shù)

n

—

稱為安全系數(shù)，作為構(gòu)件工作時(shí)所允許的最大應(yīng)力，稱為材料的許用應(yīng)力，以[

]表示。

安全系數(shù)的確定除了要考慮載荷變化，構(gòu)件加工精度不夠，計(jì)算不準(zhǔn)確，工作環(huán)境的變化等因素外，還要考慮材料的性能差異（塑性材料或脆性材料）及材質(zhì)的均勻性等。§5-4

失效、安全因數(shù)和強(qiáng)度條件二、安全系數(shù)的選取

安全系數(shù)的選取，必須體現(xiàn)既安全又經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)思想，通常由國(guó)家有關(guān)部門制訂，公布在有關(guān)的規(guī)范中供設(shè)計(jì)時(shí)參考，一般在靜載下：脆性材料塑性材料

、分別為脆性材料、塑性材料對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)。三、軸向拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算設(shè)計(jì)截面尺寸強(qiáng)度校核確定許用載荷

為了保證構(gòu)件在外力作用下安全可靠地工作，必須使構(gòu)件的最大工作應(yīng)力小于材料的許用應(yīng)力，即：強(qiáng)度計(jì)算三類問(wèn)題桿件受軸向拉伸或壓縮時(shí)的強(qiáng)度條件

例5-3如圖所示一結(jié)構(gòu)由鋼桿1和銅桿2在A、B、C處鉸接而成，在節(jié)點(diǎn)A點(diǎn)懸掛一個(gè)G=40kN的重物。鋼桿AB的橫截面面積為A1=150mm2，銅桿的橫截面面積為A2=300mm2。材料的許用應(yīng)力分別為[1]=160MPa，[2]=98MPa，試校核此結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度。

解：1）求各桿的軸力：取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象,作出其受力圖1）求各桿的軸力故：此結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度足夠。2）求各桿橫截面上的應(yīng)力解得：

例5-4如圖所示，三角架受載荷F

=

50kN作用，AC

桿是鋼桿，其許用應(yīng)力[1]

=

160MPa；BC桿的材料是木材，其許用應(yīng)力[2]

=

8MPa，試設(shè)計(jì)兩桿的橫截面面積。

解：1）求各桿的軸力：取節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象,作出其受力圖1）求各桿的軸力2）設(shè)計(jì)各桿的截面解得：（拉）（壓）

例5-5如圖所示的三角架由鋼桿AC和木桿BC在A、B、C處鉸接而成，鋼桿AC的橫截面面積AAC

=

6cm2，許用應(yīng)力[1]

=

160MPa，木桿BC的橫截面面積ABC

=

100cm2，許用應(yīng)力[2]

=

8MPa，求C點(diǎn)允許起吊的最大載荷F為多少？解：取節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象,作出其受力圖1）求各桿的軸力2）求許可的最大載荷F解得：（拉）（壓）故：一、縱向變形和胡克定律

直桿在軸向拉力或壓力作用下，桿件產(chǎn)生的變形是軸向伸長(zhǎng)或縮短。同時(shí)，桿件的橫向尺寸還會(huì)產(chǎn)生縮小或增大。前者稱為縱向變形，后者稱為橫向變形?？v向變形

縱向變形反映的是與桿件原長(zhǎng)有關(guān)的絕對(duì)變形?！?-5

軸向拉壓桿的變形

為了消除桿件原長(zhǎng)度的影響，采用單位長(zhǎng)度的變形量來(lái)度量桿件的變形程度，稱為縱向線應(yīng)變，用表示。對(duì)于均勻伸長(zhǎng)的拉桿，有：縱向線應(yīng)變相對(duì)變形

是無(wú)綱量的量，其正負(fù)號(hào)與

l

相同，即在軸向拉伸時(shí)

>

0，稱為拉應(yīng)變；在壓縮時(shí)

<

0，稱為壓應(yīng)變。胡克定律引入比例常數(shù)E

胡克定律胡克定律

實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)軸向拉（壓）桿件橫截面上的正應(yīng)力不大于某一極限值時(shí)，桿件的縱向變形量與軸力

及桿長(zhǎng)成正比，而與橫截面面積

成反比，即胡克定律：在彈性范圍內(nèi)，桿件上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比。E

稱為材料的彈性模量，與應(yīng)力單位相同，不同的材料，E

的數(shù)值不同，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得。彈性模量

E的單位與應(yīng)力的相同，常用Pa、kPa、MPa、GPaEA稱為桿件的抗拉（或抗壓）剛度。它反映了桿抵抗拉伸（壓縮）變形的能力。胡克定律二、橫向變形與彈性模量

E

一樣，泊松比

也是材料的彈性常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。橫向應(yīng)變泊松比

橫向變形系數(shù)材料名稱彈性模量E（GPa）

泊松比

鑄鐵碳鋼合金鋼鋁合金銅及其合金80～160196～216206～21670～7272～128

0.23～0.270.24～0.280.25～0.300.26～0.330.31～0.42表4-1幾種常用材料的E

和

的值

例5-6鋼制階梯桿如圖，已知軸向外力F1=50kN，F(xiàn)2=20kN，各段桿長(zhǎng)為l1=150mm，l2=l3=120mm，橫截面面積為：A1=A2=600mm2，A3=300mm2，鋼的彈性模量E=200GPa。求各段桿的縱向變形和線應(yīng)變。解（1）作軸力圖（2）計(jì)算縱向變形

112233（3）計(jì)算各段桿的線應(yīng)變

112233§5-6

軸向拉壓的超靜定問(wèn)題

超靜定問(wèn)題：若未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則未知量不能全部由平衡方程求出，這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題（或稱超靜定問(wèn)題），總未知量數(shù)與總獨(dú)立平衡方程數(shù)兩者之差稱為靜不定次數(shù)。（a）靜定（b）超靜定求解超靜定問(wèn)題的方法：求解超靜定問(wèn)題，除了根據(jù)靜力平衡方程列出平衡方程外，還必須根據(jù)桿件變形之間的相互關(guān)系，稱為變形諧調(diào)條件，列出變形的幾何方程，再由力和變形之間的物理?xiàng)l件（胡克定律）建立所需的補(bǔ)充方程。

例4-7