2023年向量知識點歸納與常見總結(jié)

向量知識點歸納與常見題型總結(jié)一、向量知識點歸納1.與向量概念有關(guān)的問題⑴向量不同于數(shù)量,數(shù)量是只有大小的量(稱標(biāo)量）,而向量既有大小又有方向;數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才干比較大?。浱枴?gt;”錯了,而|｜＞｜|才故意義．⑵有些向量與起點有關(guān)，有些向量與起點無關(guān).由于一切向量有其共性（大小和方向）,故我們只研究與起點無關(guān)的向量（既自由向量）．當(dāng)碰到與起點有關(guān)向量時,可平移向量.⑶平行向量(既共線向量)不一定相等，但相等向量一定是平行向量⑷單位向量是模為1的向量,其坐標(biāo)表達(dá)為()，其中、滿足＝1(可用（cｏｓ,sｉn）（0≤≤2π)表達(dá)).特別:表達(dá)與同向的單位向量。例如:向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線);例1、O是平面上一個定點,A、B、C不共線，P滿足則點P的軌跡一定通過三角形的內(nèi)心。(變式)已知非零向量eq\o(AB，\s\ｕp６（→))與eq\o(ＡＣ,＼s\up6(→))滿足（eｑ\f(＼o(ＡB,＼s\up5(→)),|\o（ＡB，\ｓ\up5(→)）|）+eｑ\f(＼o（AC,\s\up5（→））,｜\ｏ(AC,\s＼ｕp５(→）)｜))·eq\o(BC,\s\up6(→）)=0且eq\f(\o(AB,\ｓ\ｕｐ５(→）)，|\o(AB,\s＼ｕp5(→))|)·eq\ｆ(＼o(AC,\s＼up5(→)),|\o(AC,＼ｓ\uｐ5(→））|)=ｅq＼f（1,２),則△AＢＣ為（）A.三邊均不相等的三角形B．直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形(０6陜西）⑸的長度為０，是有方向的，并且方向是任意的,實數(shù)0僅僅是一個無方向的實數(shù).⑹有向線段是向量的一種表達(dá)方法，并不是說向量就是有向線段.(7）相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)2．與向量運算有關(guān)的問題⑴向量與向量相加，其和仍是一個向量.（三角形法則和平行四邊形法則)①當(dāng)兩個向量和不共線時，的方向與、都不相同，且||<||+｜｜；②當(dāng)兩個向量和共線且同向時,、、的方向都相同，且;③當(dāng)向量和反向時,若||>｜｜,與方向相同,且||=||－｜|;若|｜<||時,與方向相同,且|＋|＝｜|-||.⑵向量與向量相減,其差仍是一個向量．向量減法的實質(zhì)是加法的逆運算.三角形法則合用于首尾相接的向量求和;平行四邊形法則合用于共起點的向量求和。；例2：P是三角形ABC內(nèi)任一點，若,則P一定在（)A、內(nèi)部B、AC邊所在的直線上C、AB邊上D、BC邊上例3、若,則△ABＣ是：A．Ｒt△Ｂ.銳角△C.鈍角△Ｄ.等腰Rｔ△例4、已知向量,求的最大值。分析:通過向量的坐標(biāo)運算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)（這里是三角)的最值問題，是通法。解：原式==。當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值評析:其實此類問題運用一個重要的向量不等式“”就顯得簡潔明快。原式=，但要注意等號成立的條件(向量同向）。⑶圍成一周（首尾相接)的向量（有向線段表達(dá))的和為零向量.如,,（在△ABC中).(□ABCD中)⑷鑒定兩向量共線的注意事項：共線向量定理對空間任意兩個向量a、ｂ(b≠0），ａ∥b存在實數(shù)λ使a=λｂ.假如兩個非零向量，,使＝λ（λ∈R)，那么∥;反之，如∥,且≠0,那么=λ．這里在“反之”中,沒有指出是非零向量，其因素為＝0時，與λ的方向規(guī)定為平行.⑸數(shù)量積的８個重要性質(zhì)①兩向量的夾角為0≤≤π.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個向量的長度乘以另歷來量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可認(rèn)為零，故向量的數(shù)量積是一個實數(shù).②設(shè)、都是非零向量，是單位向量，是與的夾角，則③(∵＝90°,④在實數(shù)運算中=０=0或b＝0.而在向量運算中==或=是錯誤的,故或是=0的充足而不必要條件.⑤當(dāng)與同向時=(=0,cos＝１);當(dāng)與反向時,=-(=π,coｓ=-１)，即∥的另一個充要條件是.當(dāng)為銳角時，>0,且不同向,是為銳角的必要非充足條件；當(dāng)為鈍角時，<0，且不反向，是為鈍角的必要非充足條件；例5.如已知,,假如與的夾角為銳角，則的取值范圍是_____＿(答：或且);例6、已知,為互相垂直的單位向量，,。且與的夾角為銳角,求實數(shù)的取值范圍。分析：由數(shù)量積的定義易得“”,但要注意問題的等價性。解:由與的夾角為銳角，得有而當(dāng)即兩向量同向共線時，有得此時其夾角不為銳角。故.評析：特別提醒的是:是銳角與不等價；同樣是鈍角與不等價。極易疏忽特例“共線”。特殊情況有=?；颍?=.假如表達(dá)向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為(,）,(,),則=⑥。(因)⑦數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如（由于與共線,而與共線）⑧數(shù)量積的消去律不成立.若、、是非零向量且并不能得到這是由于向量不能作除數(shù)，即是無意義的．（6)向量b在方向上的投影︱b︱cos=（7)和是平面一組基底,則該平面任歷來量(唯一)特別：.=則是三點P、A、B共線的充要條件.注意：起點相同,系數(shù)和是1。基底一定不共線例７、已知等差數(shù)列{an｝的前ｎ項和為，若，且Ａ、Ｂ、Ｃ三點共線(該直線但是點O）,則S２0０＝()A.５０B．５1C.1０0D.101例８、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點,,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_＿_(dá)＿_(dá)__（直線AB)例9、已知點A，，B，C的坐標(biāo)分別是.若存在實數(shù),使,則的值是:A.0B．１C．０或1Ｄ.不擬定例10下列條件中，能擬定三點不共線的是：Ａ．?B．?Ｃ. D．分析:本題應(yīng)知：“共線，等價于存在使且”。(８)①在中,為的重心，特別地為的重心；則過三角形的重心;例11、設(shè)平面向量、、的和。假如向量、、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（D)(０６河南高考)A.BC.D．②為的垂心；③向量所在直線過的內(nèi)心（的角分線所在直線）；④的內(nèi)心;(選）⑤S⊿AOB＝;例12、若Ｏ是所在平面內(nèi)一點,且滿足，則的形狀為＿_(dá)__（答:直角三角形);例１3、若為的邊的中點,所在平面內(nèi)有一點,滿足,設(shè),則的值為___（答：2）;例14、若點是的外心，且,則內(nèi)角為_＿＿_(dá)（答:);（９)、Ｐ分的比為,則=,>0內(nèi)分;<０且≠-1外分.=;若λ=１則＝（＋）;設(shè)Ｐ(x,ｙ),P1(x1，y1），Ｐ2(ｘ２,y２)則;中點重心說明：特別注意各點的順序,分子是起點至分點,分母是分點至終點，不能改變順序和分子分母的位置。例１5、已知A（4,-3),B（-2,6),點P在直線AB上,且，則P點的坐標(biāo)是（）(２,0)，（6,－6)(10)、點按平移得,則＝或函數(shù)按平移得函數(shù)方程為：說明：（１）向量按向量平移，前后不變；（2)曲線按向量平移，分兩步:ⅰ擬定平移方向----與坐標(biāo)軸的方向一致；ⅱ按左加右減，上加下減（上減下加）例16、把函數(shù)的圖象按向量平移后得到的解析式是＿_(dá)_______。例１7、函數(shù)的圖象按向量平移后,所得函數(shù)的解析式是,則=___＿_(dá)_＿_(dá)（答:）結(jié)論：已知，過的直線與交