等差數(shù)列前n項(xiàng)和優(yōu)質(zhì)課(正式)

課題:等差數(shù)列前n項(xiàng)和

復(fù)習(xí)回顧等差數(shù)列性質(zhì)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式:等差數(shù)列的定義：創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題1：若把問(wèn)題變成求：1+2+3+4+‥

‥+99=？可以用哪些方法求出來(lái)呢？

問(wèn)題2:求和:1+2+3+4+…+n=?記:Sn=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nSn=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1問(wèn)題3：現(xiàn)在把問(wèn)題推廣到更一般的情形：等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=a1

+a2+a3+…+an?解：因?yàn)閍1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

兩式左右分別相加，得倒序相加Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)變式：能否用a1,n,d表示Sn？an=a1+(n-1)d等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表：

a1dnan

sn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5兩個(gè)等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式，一共涉及到5個(gè)量，知三求二。

應(yīng)用公式時(shí)，要根據(jù)題目的具體條件，靈活選取這兩個(gè)公式。例1:解：由題意知，這個(gè)V型架自下而上是個(gè)由120層的鉛筆構(gòu)成的等差數(shù)列，記為｛an｝，答：V型架上共放著7260支鉛筆。如圖，一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支，最上面一層放120支.這個(gè)V形架上共放了多少支鉛筆？舉例應(yīng)用例2：等差數(shù)列－10，－6，－2，2，···前9項(xiàng)的和多少？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為{an}則a1=－10，能用公式（1）計(jì)算嗎？d=4,n=9變式：等差數(shù)列－10，－6，－2，2，·······前多少項(xiàng)和是54？

解:設(shè)題中的等差數(shù)列為{an},得n2-6n-27=0

故n1=9,n2=-3(舍去）。d=-4設(shè)Sn=54,則a1=-10,因此，等差數(shù)列－10，－6，－2，2·······前9項(xiàng)和是54。1、姚明剛進(jìn)NBA一周訓(xùn)練罰球的個(gè)數(shù)：第一天：600，第二天：650，第三天：700，第四天：750，第五天：800，第六天：850，第七天：900.所以姚明一周訓(xùn)練罰球的總個(gè)數(shù)為5250個(gè)鞏固練習(xí)2.求正整數(shù)列中前n個(gè)偶數(shù)的和.3.等差數(shù)列5,4,3,2,···前多少項(xiàng)和是–30？解：記等差數(shù)列為{an}

a1=5,d=-1,Sn=-30課堂小結(jié)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式在兩個(gè)求和公式中,各有五個(gè)元素,只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素.(運(yùn)用了

方程思想）公式的推證用的是倒序相加法作業(yè)布置再見(jiàn)

南北朝時(shí)，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在《張丘建算經(jīng)》里給出了幾個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題。例如：“今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問(wèn)共織幾何？”

再如：“今有女子善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞增，初日織五尺，計(jì)織三十日，共織九匹三丈，問(wèn)日增幾何？”

原書(shū)的解法是：“并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！?/p>

例1：等差數(shù)列－10，－6，2，·······前多少項(xiàng)和是54？得n2-6n-27=0

得n1=9,n2=-3(舍去）。

(五)數(shù)學(xué)運(yùn)用例題解析例2：等差數(shù)列{an}中,d=4,an=18,Sn=48,求a1的值。解：由an=a1+(n-1)d得：18=a1+(n-1)4解得：n=4或n=6a1=6或a1=-2例3.解：例4.

做一個(gè)梯子，最高一級(jí)寬為a,最低一級(jí)寬為b，中間還有10級(jí)，若各級(jí)的寬成等差數(shù)列。問(wèn)做中間各級(jí)，要準(zhǔn)備多長(zhǎng)材料？在a，b之間插入10個(gè)數(shù),使它們同這兩數(shù)成等差數(shù)列,求這10個(gè)數(shù)的和.等差數(shù)列{an}中，已知a1=a，a12=b，求a2+a3

+a4+…+a11.

課堂小練1.根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的練習(xí)1.

課堂小練2.(1)求正整數(shù)列中前n個(gè)數(shù)的和.

(2)求正整數(shù)列中前n個(gè)偶數(shù)的和.3.等差數(shù)列5,4,3,2,···前多少項(xiàng)和是30?練習(xí)2.

想一想

在等差數(shù)列{an}中，如果已知五個(gè)元素a1,an,n,d,Sn中的任意三個(gè),請(qǐng)問(wèn):能否求出其余兩個(gè)量?問(wèn)題1:問(wèn)題2:

已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎?

有最大值(至于是否在頂點(diǎn)處取得,要看頂點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)距離它最近的正整數(shù)處取得,一般情況下或一,或兩個(gè)最值),如右圖所示:2.當(dāng)公差d>0即a>0時(shí),

3.當(dāng)公差d=0即a=0時(shí),