4 解的存在性與連續(xù)性 課件

PAGEPAGE30第4章解的存在性與連續(xù)性4.1連續(xù)性的概念 4.2解的性質(zhì)

參數(shù)約束最優(yōu)化問題(PCOP)的前兩個問題：解的存在性：對每個參數(shù)，問題是否有解？解的連續(xù)性：解集和值函數(shù)是否隨參數(shù)連續(xù)變動？

4.1連續(xù)性的概念4.1.1函數(shù)的連續(xù)性 4.1.2對應(yīng)的連續(xù)性

4.1.1函數(shù)的連續(xù)性在處連續(xù)，，，時，在點處連續(xù)中的每一序列，在處連續(xù)連續(xù)

圖4.1連續(xù)性的檢驗

例4.1不連續(xù)的凹函數(shù)凹(凸)函數(shù)在定義域的內(nèi)部連續(xù)，但可能在定義域的邊界上不連續(xù)。經(jīng)濟(jì)生活經(jīng)常在凸集的邊界上發(fā)生例：在上是凸的，但在點0處不連續(xù)。

4.1.2對應(yīng)的連續(xù)性對應(yīng)(correspondence)是對應(yīng)，將映射進(jìn)表示為：對應(yīng)是多值映射

圖4.2上的對應(yīng)

非空值，非空凸值，凸緊值，緊

連續(xù)的對應(yīng)圖4.3連續(xù)的對應(yīng)

下半連續(xù)在點處下半連續(xù)對每個開集，存在包含的開集，對，滿足。對應(yīng)下半連續(xù)，下半連續(xù)。下半連續(xù)性表明，對應(yīng)中的任意元素都可以從所有方向“靠近”。

上半連續(xù)、但非下半連續(xù)的對應(yīng)圖4.4上半連續(xù)、但非下半連續(xù)的對應(yīng)

上半連續(xù)在點處上半連續(xù)對每個開集，存在包含的開集，對，滿足。對應(yīng)上半連續(xù)它在處上半連續(xù)。上半連續(xù)性意味著，經(jīng)過某點移動時，對應(yīng)不會“突然包含新的點”。

下半連續(xù)、但非上半連續(xù)的對應(yīng)圖4.5下半連續(xù)、但非上半連續(xù)的對應(yīng)

對應(yīng)的連續(xù)性在點處連續(xù)在處既是上半連續(xù)的，又是下半連續(xù)的連續(xù)在處既是上半連續(xù)的，又是下半連續(xù)的。

單值對應(yīng)定理4.1設(shè)單值的，且函數(shù)由給定，則：是連續(xù)的是上半連續(xù)的是下半連續(xù)的是連續(xù)的

4.2解的性質(zhì)4.2.1解的存在性4.2.2最大值定理4.2.3解的凹凸性

4.2.1解的存在性參數(shù)約束最優(yōu)化問題的一般假定可行集為中的(非空)緊集目標(biāo)函數(shù)為連續(xù)的實值函數(shù)在這些假定下，問題有解!原因：韋氏定理+確界定理

韋氏定理：緊集的連續(xù)映射的像是緊集。確界定理：中的緊集必取得上確界和下確界緊，連續(xù)在中緊在取得確界定理4.4解的存在性任意參數(shù)，是非空緊集，連續(xù)有解

4.2.2最大值定理定理4.5問題滿足(i)約束對應(yīng)連續(xù)且緊值(ii)連續(xù)，解集非空；上半連續(xù)；若單值連續(xù)；值函數(shù)連續(xù)。

定理中的假設(shè)條件的作用不是緊值的對有些參數(shù)，問題無解。比如，假設(shè)，，，則對于任意，。下半連續(xù)而非上半連續(xù)，結(jié)果怎樣？設(shè)，，并且解集為函數(shù)，但不連續(xù)。值函數(shù)也不連續(xù)。

上半連續(xù)而非下半連續(xù)，結(jié)果會怎樣？設(shè)，，并且解集也是不連續(xù)函數(shù)。

不連續(xù)，結(jié)果會怎樣？設(shè)，，并且 解集為 同時值函數(shù)為由圖4.6可以看出，在處，不是上半連續(xù)的，不是連續(xù)的。圖4.6當(dāng)不連續(xù)時最大值原理不成立

定理4.3中的第二個結(jié)果能不能加強(qiáng)為保證是連續(xù)的，而不只是上半連續(xù)的？一般說來：不能。例4.6

例4.6考慮具有線性效用的消費者選擇兩種商品的最優(yōu)化問題可能的價格集為。解集圖4.7顯示需求對應(yīng)曲線在處不連續(xù)，但上半連續(xù)圖4.7需求是不連續(xù)的

4.2.3解的凹凸性定理4.4設(shè)問題參數(shù)集是凸的，如果(i)是連續(xù)、緊值的；(ii)連續(xù)。則：，擬凹，凸值凸值，嚴(yán)格擬凹，凸值單值凹，凸值凹，且凸值嚴(yán)格凹，凸值嚴(yán)格凹，且單值

例4.7利潤函數(shù)競爭性廠商的利潤函數(shù)在中是凸的。這是定理的特殊情形，因為目標(biāo)函數(shù)在中是線性的。

例4.8成本函數(shù)如