1 數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的性質(zhì) 課件

第1章數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的性質(zhì)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)(mathematicaleconomics)指采用數(shù)學(xué)符號描述經(jīng)濟(jì)問題，并運用已有的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行推理的分析方法及其體系。1.1數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)1.2數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型1.3最優(yōu)化問題

1.1數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)1.1.1經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)化1.1.2數(shù)學(xué)之于經(jīng)濟(jì)學(xué)的意義1.1.3經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化的代價l

1.1.1經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)化20世紀(jì)30年代后，經(jīng)濟(jì)學(xué)開始數(shù)學(xué)化今天，高等數(shù)學(xué)是從事學(xué)術(shù)研究的基本技能經(jīng)濟(jì)學(xué)在總體上具備物理學(xué)研究的架構(gòu)借助數(shù)學(xué)模型，提出理論假說，刻畫經(jīng)濟(jì)事實概括觀察結(jié)果，用實際數(shù)據(jù)(一般指統(tǒng)計數(shù)據(jù))檢驗理論假說的真?zhèn)?。?shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用理論研究(theoreticalanalysis)工具經(jīng)驗研究(empiricalanalysis)工具

1.1.2數(shù)學(xué)之于經(jīng)濟(jì)學(xué)的意義建模是經(jīng)濟(jì)學(xué)家的首要工作經(jīng)濟(jì)模型集中于探討經(jīng)濟(jì)問題的核心方面建模形式文字描述物理模型數(shù)學(xué)模型理論研究采用文字描述、物理模型或運用數(shù)學(xué)符號，無實質(zhì)差別數(shù)學(xué)模型更便于演繹推理，并使表述更言簡意賅

數(shù)理模型的優(yōu)勢促使分析者在推理過程中做出明確假設(shè)揭示了直覺判斷的局限性，有時能夠挖掘出與直覺判斷相悖的特例便于交流

1.1.3經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化的代價讓經(jīng)濟(jì)理論變得狹隘經(jīng)濟(jì)理論變得更簡單，邏輯性更強(qiáng)，數(shù)量更多對數(shù)理模型進(jìn)行統(tǒng)計檢驗逐漸成為標(biāo)準(zhǔn)的程序一種批評：借助數(shù)學(xué)推導(dǎo)的理論是不現(xiàn)實的理論在本質(zhì)上是不現(xiàn)實的“不現(xiàn)實”既適用于數(shù)理經(jīng)濟(jì)理論，也適用非數(shù)理性的經(jīng)濟(jì)理論關(guān)于數(shù)理性的經(jīng)濟(jì)理論缺乏現(xiàn)實性的批評不是一種有效的批評

1.2數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型1.2.1超越幾何學(xué)方法使我們能夠處理個變量的一般情形。

1.2.2經(jīng)濟(jì)模型經(jīng)濟(jì)模型的構(gòu)成經(jīng)濟(jì)主體:消費者、工人、廠商和政府等。經(jīng)濟(jì)環(huán)境：對經(jīng)濟(jì)主體產(chǎn)生影響，但又在主體的可控能力之外選擇(choices)：反映主體對環(huán)境時的判斷決策理性假設(shè)。有時直接表示選擇來建模：如消費者效用最大化有時以選擇的結(jié)果來建模：如供求模型或一些宏觀經(jīng)濟(jì)模型

均衡解(equilibriumsolution)均衡是經(jīng)濟(jì)主體的選擇及其相互作用的后果均衡表明，除非經(jīng)濟(jì)環(huán)境發(fā)生變化，否則經(jīng)濟(jì)變量不會有變動的趨勢均衡可以表示兩類情形經(jīng)濟(jì)主體的最優(yōu)決策是由經(jīng)濟(jì)環(huán)境決定表示經(jīng)濟(jì)變量(比如，供求模型中的價格和數(shù)量，或者宏觀經(jīng)濟(jì)模型中的國內(nèi)生產(chǎn)總值)如何由經(jīng)濟(jì)環(huán)境決定。分析分析目的是預(yù)測經(jīng)濟(jì)行為的變化，借助這種預(yù)測，經(jīng)濟(jì)學(xué)家能夠回答重要的經(jīng)濟(jì)問題

例子：廠商廠商：尋求利潤最大化目標(biāo)的主體經(jīng)濟(jì)環(huán)境生產(chǎn)技術(shù)，投入品的供應(yīng)單，產(chǎn)出的需求曲線，可能的稅收或政府管制等。選擇投入品的使用，產(chǎn)出水平，研究與開發(fā)支出，廣告支出等均衡反映廠商的決策如何由經(jīng)濟(jì)環(huán)境決定。模型的價值取決于其預(yù)測能力比如，提高工薪稅如何影響廠商的勞動與資本組合及其產(chǎn)出水平，或者，技術(shù)變化對利潤水平的影響。

經(jīng)濟(jì)模型復(fù)雜程度的控制方法簡化數(shù)學(xué)假設(shè)如假定產(chǎn)品需求曲線是線性的。將特定要素放在經(jīng)濟(jì)環(huán)境而非選擇集中如假定產(chǎn)品質(zhì)量由技術(shù)決定，而非廠商決定假定有些問題已經(jīng)在其他的模型中得以解決如：將成本刻畫為產(chǎn)出的函數(shù)，并假定，無論產(chǎn)出水平如何，廠商總是通過調(diào)整投入以最小化其成本包含以上所有方法，按步驟建模。這意味著以非常簡單的假定開始建模，然后放松假定，再次求解。1.2.3數(shù)理模型建模有其自身的術(shù)語和定義例：廠商決策目標(biāo)假定：利潤最大化經(jīng)濟(jì)環(huán)境界定可供選擇的經(jīng)濟(jì)環(huán)境是競爭性市場？還是壟斷市場？是否存在研發(fā)投入？是否存在廣告投入？廠商是否受到政府管制或稅收的約束？

簡單假設(shè)完全競爭市場；生產(chǎn)技術(shù)固定廠商(在模型之外)選擇使其成本最小化的勞動—資本組合不存在稅收或管制。數(shù)學(xué)表示假設(shè)(a)意味廠商以價格出售任意數(shù)量的產(chǎn)品；假設(shè)(b)和(c)表明廠商的總成本可視為產(chǎn)出的函數(shù)；假設(shè)(d)意味著可在廠商不受政府影響的情況下建模。經(jīng)濟(jì)環(huán)境的數(shù)學(xué)表示外生變量(exogenousvariables)~內(nèi)生變量(endogenousvariables)外生變量：不受經(jīng)濟(jì)主體影響或控制，通常指給定參數(shù)內(nèi)生變量：依賴主體的選擇，由模型決定變量是外生或內(nèi)生，隨模型而定，因模型而異選擇：最優(yōu)產(chǎn)出(optimaloutput)，表達(dá)為供給函數(shù)：比較靜態(tài)分析(comparativestatics)：預(yù)測環(huán)境變化怎樣影響該變量數(shù)學(xué)上對參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：多數(shù)情形下我們感興趣于定性結(jié)果，即外生變量變動時導(dǎo)數(shù)的符號只在少數(shù)場合中，我們才感興趣于定量結(jié)果1.3最優(yōu)化問題1.3.1符號所有向量都為列向量內(nèi)積(innerproduct),,,,為的向量值的函數(shù)，即，則的階Jacobi矩陣其中是關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)在點的取值，同時是的第行列元素

，為實值函數(shù)，則：為行向量，或者等價地為矩陣。表明實值函數(shù)關(guān)于列向量的導(dǎo)數(shù)為行向量稱為梯度(gradient)，表示為。

符號擴(kuò)展設(shè)為函數(shù)，其中和則是由式(1-1)給出的雅可比矩陣而則是由同一定義給出的雅可比矩陣。

設(shè)為函數(shù)，它在點處的Hessi矩陣其中的二階偏導(dǎo)數(shù)。Hessi矩陣通常表示為Hessi矩陣是階實對稱的。

1.3.2參數(shù)約束最優(yōu)化問題參數(shù)約束最優(yōu)化問題(parametricconstrainedoptimizationproblem，PCOP)是目標(biāo)函數(shù)(objectivefunction)是選擇變量(choicevariables)是可行集(feasibleset)，約束著選擇變量的活動范圍是能夠影響目標(biāo)函數(shù)和選擇集的外生參數(shù)

例1.1消費者問題((theconsumer’sproblem))消費組合(consumptionbundle)，消費集(consumptionset)是所有可行的消費組合的集合，消費者問題:在中選擇可行的消費組合，獲得最大滿足。消費者的滿足表示為連續(xù)效用函數(shù)預(yù)算集(budgetset)

消費者問題其中，效用函數(shù)是消費者的目標(biāo)函數(shù)，預(yù)算集可行集，是選擇變量，價格和收入是外生參數(shù)。

競爭性廠商生產(chǎn)計劃(productionplan)：凈產(chǎn)出(netoutput)，即產(chǎn)出減去投入。生產(chǎn)可能性集(productionpossibilityset)凈收入函數(shù)

競爭性廠商的行為凈收入函數(shù)是廠商的目標(biāo)函數(shù)，是選擇變量，是可行集，是外生參數(shù)。

最優(yōu)化問題分析的主要對象解集(solutionset)如果問題有多個解，則是具有多個元素的集合。值函數(shù)(valuefunction)

例1.3(間接效用函數(shù))例1.1消費者問題的最優(yōu)解衡量消費者在給定價格和收入時的最佳消費組合。一般將稱為商品的需求函數(shù)。而這一問題的值函數(shù)稱為消費者的間接效用函數(shù)(indirectutilityfunction)。

例1.3(利潤函數(shù))例1.2中的競爭性廠商的值函數(shù)：稱為廠商的利潤函數(shù)(profitfunction)。

例1.4(成本函數(shù))種投入，一種產(chǎn)出，生產(chǎn)計劃生產(chǎn)可能性集：投入要求集(inputrequirementset)：，成本最小化廠商一種產(chǎn)出，投入價格投入組合成本最小化問題:值函數(shù)：稱為成本函數(shù)(costfunction)。

數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型關(guān)注的問題解的存在性：，最優(yōu)化問題是否有解？解的連續(xù)性：解集和值函數(shù)是否隨參數(shù)連續(xù)變動？求解方法：如何求出最優(yōu)化問題的解？比較分析：解集和值函數(shù)如何隨參數(shù)變化？

最大化問題與最小化問題

1.3.3靜態(tài)優(yōu)化問題靜態(tài)優(yōu)化問題(staticoptimizationproblems) (1.3)可行集即目標(biāo)函數(shù)的定義域、個約束函數(shù)的定義域，以及使個不等式成立的變量的集合之交。

擬凹規(guī)劃問題擬凹，擬凹規(guī)劃問題(convexprogrammingproblems)：目標(biāo)函數(shù)擬凹，約束函數(shù)擬凸。

1.3.4動