流體力學(xué)第9章

流體力學(xué)暖通教研室二00二年十一月主講：周傳輝1第九章一元?dú)怏w動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)§9－1理想氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)§9－3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程§9－4等溫管路中的流動(dòng)§9－5絕熱管路中的流動(dòng)2§9－1理想氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程從微元流束中沿軸線s任取ds一段，應(yīng)用理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程，單位質(zhì)量力s方向分力以S表示，由牛頓第二定律得：對(duì)于恒定一元流動(dòng)對(duì)氣體而言,它的容重一般都很小,因此當(dāng)質(zhì)量力僅為重力時(shí),往往可以忽略質(zhì)量力去掉角標(biāo)，可以寫成：即：整理得：歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程3§9－1理想氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程一、氣體一元定容流動(dòng)在元流中任取兩個(gè)斷面，有：二、氣體一元等溫流動(dòng)再把c＝RT代入，有4§9－1理想氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程三、氣體一元絕熱流動(dòng)等熵流動(dòng)就是理想氣體的絕熱流動(dòng)滿足:k為絕熱指數(shù)因此：代入歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程，得：對(duì)任意兩個(gè)斷面：5§9－1理想氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程把（a）式作一個(gè)變化單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能u。證明：從熱力學(xué)第一定律可知，對(duì)于理想氣體，有：又由：以及代入上式可得該式表明：在等熵流動(dòng)中，沿流任意斷面上，單位質(zhì)量氣體的內(nèi)能、壓能、動(dòng)能之和為一常數(shù)。6§9－1理想氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程在熱力學(xué)中，為焓，用焓表示的全能方程為：把焓與定壓比熱的關(guān)系代入，得：在熱力學(xué)中絕熱指數(shù)取決于氣體的分子結(jié)構(gòu)，一般計(jì)算時(shí)可以用：空氣，k＝1.4，干飽和蒸氣，k＝1.135，過熱蒸氣，k＝1.33。對(duì)任意兩個(gè)斷面：n為多變指數(shù)，包含:等溫（n＝1）、絕熱（n＝k）和定容（n＝±∞）的過程。(h=u+pv)對(duì)于多變過程：7§9－1理想氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程多變過程等熵流動(dòng)定容流動(dòng)等溫流動(dòng)8§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)一、音速（SpeedofSound）音速：微小擾動(dòng)在流體中的傳播速度。也就是聲音在流體中的傳播速度。流體中的某個(gè)地方受到外力的作用使其壓力發(fā)生變化，我們稱為壓力擾動(dòng)，壓力擾動(dòng)會(huì)產(chǎn)生壓力波，向四周傳播，這個(gè)壓力波的傳播速度，對(duì)不同的流體是不同的，即流體的性質(zhì)不同，密度、壓縮性等不同，傳播速度也就不同。比如：在15℃，1atm下的音速氫氣：1294m/s空氣：340m/sCO2：266m/s水：1490m/s鋼：5060m/s冰：3200m/s推導(dǎo)音速的計(jì)算式：取一段帶有活塞的等截面直圓管，里面充滿靜止的可壓縮氣體，活塞在外力的作用下，產(chǎn)生一個(gè)微小的速度dv向右移動(dòng)，這樣就產(chǎn)生一個(gè)微小擾動(dòng)的平面壓縮波向介質(zhì)內(nèi)部傳播。聲速動(dòng)畫9§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)在波峰的前面是沒有被擾動(dòng)的流體（即靜止?fàn)顟B(tài)），波峰后面是被擾動(dòng)的流體，它的壓強(qiáng)、密度都要發(fā)生變化，由于被壓縮,因此變?yōu)椋簆＋dp，ρ＋dρ。把坐標(biāo)系固定在波峰上，取一個(gè)包含波峰的控制體，并且這個(gè)控制體的兩個(gè)側(cè)面無限接近，使控制體的體積趨于0。氣體的壓縮波的厚度，在大氣壓下約為10-6m的量級(jí)，所以這樣取控制體是合理的。設(shè)管道截面積為A，對(duì)控制體寫出連續(xù)性方程，展開略去二階小量。得；對(duì)控制體列動(dòng)量方程，由于控制體的體積趨近于0，質(zhì)量力為0，且可忽略切應(yīng)力的作用，考慮質(zhì)量流量守恒，有：10§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)同連續(xù)性方程聯(lián)立，消掉dv，得音速方程為：這就是微小擾動(dòng)的平面波－音速計(jì)算公式，同樣適用于球面波。也適用于液體。彈性模量和壓縮系數(shù)的關(guān)系：代入上式，得：由于聲音的傳播速度很快，在傳播過程中來不及與外界進(jìn)行熱量交換，而且切應(yīng)力的作用可以忽略，即無能量損失，所以可以認(rèn)為這個(gè)傳播過程是等熵絕熱過程代入音速的微分式，得：11§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)二、滯止參數(shù)（StagnationProperties）滯止即為停止，因此，滯止參數(shù)是在氣流的某截面處，設(shè)想其速度無摩擦絕熱地降為0時(shí)，這個(gè)截面上的各種參數(shù)我們稱為滯止參數(shù)，一般用下標(biāo)0表示。常用的有：滯止壓強(qiáng)、密度、溫度、焓、音速。稱為滯止音速。在實(shí)際工程上，為了分析和計(jì)算流動(dòng)問題方便起見，常使用滯止參數(shù)這個(gè)概念，而且由于它比較容易測(cè)量，所以滯止參數(shù)得到廣泛的應(yīng)用。用溫度計(jì)測(cè)氣流的溫度，有沒有誤差，如果有是偏大還是偏??？12在滯止?fàn)顟B(tài)下氣流的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮埽梢杂脺轨时硎局?，它表示單位質(zhì)量的氣流所具有的總能量，稱為總焓。有：上式表明，滯止溫度要比氣流的溫度T高出，對(duì)于Cp=1005J/（kg·K）的空氣，則高出例如速度為100m/s的空氣流，滯止溫度超過氣流的溫度約5K，也即約5℃?？梢?，將一個(gè)帶小玻璃球的普通水銀溫度計(jì)或熱電偶溫度計(jì)放在氣流中來測(cè)量氣流的溫度，讀出的溫度比氣流的溫度T要高。但小玻璃球上駐點(diǎn)處的溫度雖達(dá)到滯止溫度，但其上的其他各點(diǎn)的溫度升高要小一些，所以普通水銀溫度計(jì)上讀出的平均溫度比滯止溫度稍低一些。因此用任何靜止溫度計(jì)都不能直接測(cè)得氣流的真實(shí)溫度了，只有用與氣流同樣速度運(yùn)動(dòng)的溫度計(jì)才能直接測(cè)得。13§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)結(jié)論：在有摩擦的絕熱氣流中，各斷面的滯止溫度、滯止焓、滯止音速值不變，表示總能量不變，但因?yàn)槟ψ柘牡舻囊徊糠帜芰哭D(zhuǎn)化為熱能，使滯止壓強(qiáng)P0沿程降低。在有摩擦的等溫氣流中，由于氣流與外界不斷交換熱量，使滯止溫度T0沿程變化。a.等熵流動(dòng)中，各斷面滯止參數(shù)不變，其中T0、i0、c0反映了包括熱能在內(nèi)的氣流全部能量。b.等熵流動(dòng)中，若流速沿程增大，則氣流溫度、焓、音速沿程降低。c.同一氣流中當(dāng)?shù)匾羲賑永遠(yuǎn)小于滯止音速。氣流中最大音速是滯止音速。14§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)三、馬赫數(shù)（Machnumber）氣流截面上的當(dāng)?shù)厮俣扰c當(dāng)?shù)匾羲僦仁邱R赫數(shù)。馬赫數(shù)反映的是氣體流動(dòng)過程中的壓縮性能，馬赫數(shù)越大、壓縮性越大。馬赫數(shù)是氣體動(dòng)力學(xué)中一個(gè)很重要得無因次性能參數(shù)，它反映的是慣性力與彈性力的相對(duì)比值，是確定氣體流動(dòng)狀態(tài)的準(zhǔn)數(shù)。M>1,v>c，超音速M(fèi)=1,v=c，音速（跨音速）M<1,v<c，亞音速由作一變形可得：利用絕熱過程方程式以及氣體狀態(tài)方程可以得到：15微弱擾動(dòng)波在超聲速氣流中的傳播是有界的，界限就是馬赫錐（超音速飛機(jī)、子彈等）16§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)四、氣流按不可壓縮處理的極限可壓和不可壓兩種情況下的滯止壓強(qiáng)，當(dāng)相對(duì)誤差小于1%時(shí)，M等于多少？可壓縮：不可壓縮：把第一式按二項(xiàng)式定理展開，取前三項(xiàng)，有又因?yàn)榇肷鲜?，得：二?xiàng)式展開:17§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)如果令為絕對(duì)誤差，則稱為相對(duì)誤差，則當(dāng)相對(duì)誤差小于1％時(shí)，有：即：當(dāng)M<0.2時(shí)，可以保證相對(duì)誤差小于1％，工程上一般認(rèn)為M≤0.2時(shí)可以忽略氣體的壓縮性。作業(yè)：9-12；9-1718§9－3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程一、連續(xù)性微分方程(EquationofContinuity)可壓縮流的連續(xù)性方程：ρvA＝常數(shù)對(duì)管流任意兩斷面：如果我們對(duì)連續(xù)性方程取微分：得：同聯(lián)立，消去ρ，再用整理，得：19§9－3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程二、氣流速度與斷面的關(guān)系（1）亞音速時(shí)：dv與dA成反比，速度隨斷面的增大而減?。浑S斷面的減小而增大。同不可壓縮流動(dòng)的一樣。（2）超音速時(shí)：dv與dA成正比，速度隨斷面的增大而增大；隨斷面的減小而減小。同不可壓縮流動(dòng)的不一樣。為什么超音速流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律同亞音速的不同呢？從可壓縮流體在兩種流動(dòng)中的膨脹程度與速度變化之間的關(guān)系來說明由代入可得：表明速度增加，密度減小。20§9－3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程當(dāng)M<1時(shí)，M2遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，即密度的變化遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于速度的變化，速度增加的快，密度減小的慢，氣體的膨脹程度不顯著。因此ρv的乘積隨v的增大而增加。若速度增加，則ρv增加，由連續(xù)性方程可知ρ1v1A1＝ρ2v2A2，A1>A2.當(dāng)M>1時(shí)，M2遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1，即密度的變化遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于速度的變化，速度增加的較慢，密度減小的很快，氣體的膨脹程度非常顯著。說明密度的相對(duì)變化的特征，在亞音速與超音速流動(dòng)中的存在根本差別。因此ρv的乘積隨v的增大而減小。若速度增加，則ρv減小，由連續(xù)性方程可知ρ1v1A1＝ρ2v2A2，A1<A2，即超音速氣流中速度隨斷面的增大而增大。當(dāng)M＝1時(shí)，氣流的速度等于當(dāng)?shù)匾羲?，這時(shí)的氣體處于臨界狀態(tài)。氣體達(dá)到臨界狀態(tài)的斷面，稱為臨界斷面。臨界斷面的參數(shù)稱為臨界參數(shù)，用下腳標(biāo)“k”表示包括：vk,ck,pk,Tk,ρk.臨界斷面的M＝1，密度的相對(duì)變化與速度的相對(duì)變化相等，斷面不需要變化。21§9－3氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程流向面積(A)流速(v)壓力(p)密度(ρ)單位面積質(zhì)量流量(ρv)亞音速流M<1增大減小增大增大減小減小增大減小減小增大超音速流M>1增大增大減小減小減小減小減小增大增大增大22§9－4等溫管路中的流動(dòng)(IsothermalFlow)一、氣體管路運(yùn)動(dòng)微分方程微元段dl上單位質(zhì)量氣體的摩擦損失為：把這個(gè)式子代入到理想流體一元流動(dòng)的微分方程中，即加上損失項(xiàng)，得：λ為沿程阻力系數(shù)，與Re與管子的相對(duì)粗糙度Δ/D有關(guān)。對(duì)于等溫管流：(1)D是常數(shù)，管材一定，則相對(duì)粗糙度也一定；(2)μ是溫度的函數(shù)，等溫管流，溫度不變，μ也不變；(3)等截面管道，A為常數(shù)，由連續(xù)性方程可知，ρv＝常數(shù)。由此可得，為常數(shù)，即管道上任意斷面的Re數(shù)都相等?？傻忙艘惭爻滩蛔?。23§9－4等溫管路中的流動(dòng)二、管中等溫流動(dòng)由連續(xù)性方程以及截面相等的條件可得：對(duì)于等溫流動(dòng)的氣體，我們可以認(rèn)為是理想氣體由此可得：得：代入，對(duì)管長(zhǎng)積分，得：24§9－4等溫管路中的流動(dòng)有：由等溫時(shí)：得：這就是等溫管路的基本公式把連續(xù)性方程和質(zhì)量流量的計(jì)算公式代入該式，可得：質(zhì)量流量：大壓差公式25§9－4等溫管路中的流動(dòng)三、等溫管路的特征氣體管路運(yùn)動(dòng)微分方程：通除P/ρ，得：理想氣體狀態(tài)方程的微分式：連續(xù)性方程的微分式，dA＝0，比較二式，可得：26§9－4等溫管路中的流動(dòng)由音速公式得：壓強(qiáng)的變化關(guān)系式為：27結(jié)論

kM2<1v增加，p減小。kM2>1v減小，p增加。變化率隨摩阻的增大而增大。(2)kM2<1時(shí)，摩阻沿程增加，使流速不斷增加，但是1－kM2不可能等于0，而使流速變?yōu)闊o窮大，所以管路出口斷面上的馬赫數(shù)不能超過，只能是(3)在M＝的l處求得的管長(zhǎng)就是等溫管流的最大管長(zhǎng)，如果實(shí)際管長(zhǎng)

超過最大管長(zhǎng)，將使得進(jìn)口斷面流速受到阻滯。§9－4等溫管路中的流動(dòng)28§9－5絕熱管路中的流動(dòng)(IsentropicFlow)一、絕熱管路運(yùn)動(dòng)方程由于絕熱流動(dòng)溫度會(huì)沿程升高，因此λ沿程是變化的。作為比較準(zhǔn)確的計(jì)算，可以取平均值，即沿程平均：用等熵絕熱過程的方程式來進(jìn)行近似計(jì)算再把質(zhì)量流量的計(jì)算式代入上式，并用v2通除之。得：29§9－5絕熱管路中的流動(dòng)同樣忽略對(duì)數(shù)項(xiàng)，得：這就是有摩擦阻力的絕熱管流的基本方程。將此時(shí)對(duì)L管長(zhǎng)的兩個(gè)斷面進(jìn)行積分，可得：30§9－5絕熱管路中的流動(dòng)二、絕熱管路的特性等熵過程方程式：等溫過程特性：31§9－5絕熱管路中的流動(dòng)結(jié)論：(1)當(dāng)L增加，摩阻增加時(shí)，有：M<1v增加，p減小。M>1v減小，p增加。變化率隨摩阻的增大而增大。(2)M<1時(shí)，摩阻沿程增加，使流速不斷增加，但是在管流中間絕不會(huì)出現(xiàn)臨界斷面，只有出口斷面可能會(huì)出現(xiàn)臨界斷面，所以管路出口斷面上的馬赫數(shù)M2≤1?？梢杂茫?－5－6）來證明。(3)在M=1的l處求得的管長(zhǎng)就是等溫管流的最大管長(zhǎng)，如果實(shí)際管長(zhǎng)超過最大管長(zhǎng)，將使得進(jìn)口斷面流速受到阻滯。32實(shí)際管流常常是非等熵流，典型例子是具有摩擦但不計(jì)熱交換的范諾（Fanno）流動(dòng)，和具有熱交換但不計(jì)摩擦的瑞利（Reyleight）流動(dòng)。

(1)

有摩擦的絕熱流與等熵流不同，無論是亞音速還是超聲速流，由于摩擦的作用流動(dòng)沿程熵值增加；(2)

摩擦使亞聲速流（Ma<1）加速，但最多達(dá)到聲速，且溫度、壓強(qiáng)、密度均降低，總壓也降低；(3)

摩擦使超聲速流（Ma>1）減速，但最小也只能達(dá)到聲速，且溫度、壓強(qiáng)、密度增大，總壓仍降低。對(duì)亞聲速流（Ma<1），加熱（dq>0）將引起流動(dòng)加速（dV>0），但最多加速到Ma=1；對(duì)超聲速流（Ma>1），冷卻(dq<0)將引起流動(dòng)進(jìn)一步加速（dV>0）

瑞利（Reyleight）流動(dòng)范諾（Fanno）流動(dòng)加熱造成壅塞現(xiàn)象對(duì)于無摩擦截面管流，加熱促使氣流趨向臨界狀態(tài)，過多的加熱將造成壅塞現(xiàn)象。這是因?yàn)樵谂R界狀態(tài)時(shí)，氣流已達(dá)最大流量，繼續(xù)加熱使總壓進(jìn)一步下降，原來的流量就通不過了造成壅塞。對(duì)亞聲速流，壅塞造成的影響與絕熱摩擦管流動(dòng)相似，壓強(qiáng)擾動(dòng)逆向傳至進(jìn)口截面，造成溢流，使進(jìn)口流量減??；對(duì)超聲速流，壅塞在管中產(chǎn)生激波，使總壓損失更大，激波向上游推移，這個(gè)過程直至進(jìn)口截面前才停止。超聲速氣流先通過激波，變成亞聲速流，然后再造成溢流，減小流量，才能通過管道。

摩擦造成壅塞現(xiàn)象對(duì)絕熱摩擦等截面管流存在一個(gè)最大長(zhǎng)度Lmax，使氣流在該處達(dá)到聲速，當(dāng)實(shí)際管長(zhǎng)

L>Lmax時(shí)將發(fā)生壅塞現(xiàn)象。這是因?yàn)樵贚max處氣流已達(dá)聲速，流量達(dá)最大值，L－Lmax管段的摩擦作用使氣流總壓進(jìn)一步下降，原來的流量此時(shí)不能再通過，因此壅塞。對(duì)亞聲速流，壅塞造成的壓強(qiáng)擾動(dòng)可向上游傳播至入口，使入口處發(fā)生溢流，流量減小，直至出口截面正