第1章 張量分析(清華大學(xué)張量分析,你值得擁有)

第1章矢量與張量

2023年2月5日張量的兩種表達(dá)形式分量形式實(shí)體形式代數(shù)形式計(jì)算式幾何形式

定義式概念的內(nèi)涵和外延（定量）怎樣計(jì)算？主要內(nèi)容矢量及其代數(shù)運(yùn)算斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量曲線(xiàn)坐標(biāo)系及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系并矢與并矢式張量的基本概念張量的代數(shù)運(yùn)算張量的矢積矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量和矢量的模

、

、、、矢量的加法:平行四邊形法則

平行四邊形法則矢量及其代數(shù)運(yùn)算直線(xiàn)坐標(biāo)系與矢徑

笛卡爾坐標(biāo)系：直角直線(xiàn)

費(fèi)馬坐標(biāo)系：斜角直線(xiàn)：矢徑矢徑

確定了基矢量：、、矢量可表示為：

笛卡爾坐標(biāo)系矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量的乘法

矢量的內(nèi)積

定義式（實(shí)體形式，幾何表達(dá)）：

(可交換性)計(jì)算式（分量形式，代數(shù)表達(dá)）：

物理意義：計(jì)算功(功率)可交換性：運(yùn)算次序的無(wú)關(guān)性對(duì)稱(chēng)性不變性(許瓦茲不等式)矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量的乘法

矢量的外積

定義式（實(shí)體形式，幾何表達(dá)）

：

(反交換性)

計(jì)算式（分量形式，代數(shù)表達(dá)）

：

計(jì)算

時(shí)換行。

物理意義：計(jì)算面積矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量的乘法

三個(gè)矢量、、之間的運(yùn)算

如何計(jì)算？

觀(guān)察右圖，可知

正交于

、

構(gòu)成的平面，而

正交于，因此，

一定在、

構(gòu)成的平面數(shù)形結(jié)合矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量的乘法

矢量的混合積

物理意義：計(jì)算體積群論的輪換次序不變性

順時(shí)針輪換

斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量從直角直線(xiàn)坐標(biāo)系到斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系(平面內(nèi))

費(fèi)馬坐標(biāo)系

笛卡爾坐標(biāo)系斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量平面內(nèi)斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和矢徑矢徑

確定了基矢量：、其中、不一定是單位矢量。矢量可表示為：

費(fèi)馬坐標(biāo)系斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量平面內(nèi)斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的協(xié)變基矢量和逆變基矢量費(fèi)馬坐標(biāo)系：協(xié)變基矢量：?jiǎn)≈笜?biāo)Einstein求和約定基于簡(jiǎn)化的思想，引入逆變基矢量存在對(duì)偶關(guān)系：斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量平面內(nèi)斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系下矢量的協(xié)變分量與逆變分量稱(chēng)為矢量P的逆變分量稱(chēng)為矢量P的協(xié)變分量斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系由可定義協(xié)變基矢量為g是正實(shí)數(shù)（右手系）斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量定義逆變基矢量，滿(mǎn)足對(duì)偶條件：?jiǎn)栴}：已知，如何求？※根據(jù)幾何圖形直接確定由對(duì)偶條件可知，與、均正交，因此正交于與所確定的平面；其模的大小等于斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量問(wèn)題：已知，如何求？※

由協(xié)變基矢量求逆變基矢量由于正交于與，則必定平行于，可設(shè)，利用下式：可計(jì)算出：轉(zhuǎn)化為矩陣乘法是什么？斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量問(wèn)題：已知，如何求？※

由協(xié)變基矢量求逆變基矢量將在標(biāo)架下分解：進(jìn)而可得到統(tǒng)一代數(shù)式：將上式等號(hào)左右兩端均點(diǎn)乘，得到：張量分析的起點(diǎn)斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量可證明：稱(chēng)為度量張量的協(xié)變分量稱(chēng)為度量張量的逆變分量因此，得到：協(xié)變基矢量在逆變基矢量下分解逆變基矢量在協(xié)變基矢量下分解斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量可知與均為對(duì)稱(chēng)矩陣，協(xié)變分量的行列式為：寫(xiě)成矩陣形式，得到：由對(duì)偶關(guān)系可知逆變分量的行列式為：因此可得到：Euclid幾何的1、勾股定理兩大基本定理：2、三角形內(nèi)角和定理二次微分形式Euclid幾何的基礎(chǔ)斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量度量的重要性——刻畫(huà)兩點(diǎn)間距離笛卡爾坐標(biāo)系中，有斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量張量分析中的第一大基本關(guān)系：指標(biāo)升降關(guān)系矢量可在協(xié)變基矢量和逆變基矢量下進(jìn)行分解：的協(xié)變分量可利用度量張量的逆變分量升指標(biāo)的逆變分量可利用度量張量的協(xié)變分量降指標(biāo)斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系和基矢量張量分析中的第一大基本關(guān)系：指標(biāo)升降關(guān)系基矢量的協(xié)（逆）變分量可利用度量張量的逆（協(xié)）變分量升（降）指標(biāo)：利用指標(biāo)升降關(guān)系表示斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系中兩個(gè)矢量的點(diǎn)積：曲線(xiàn)坐標(biāo)系：斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的延伸自然基矢量概念：直角坐標(biāo)的啟示立即得到：曲線(xiàn)坐標(biāo)系：斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的延伸自然基矢量概念：向一般曲線(xiàn)坐標(biāo)系的推廣立即得到：重要啟示：決定空間點(diǎn)的位置和矢徑！曲線(xiàn)坐標(biāo)系：斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的延伸※平面極坐標(biāo)系矢徑：平面極坐標(biāo)系曲線(xiàn)坐標(biāo)系：斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的延伸※三維球坐標(biāo)系三維球坐標(biāo)系曲線(xiàn)坐標(biāo)系：斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系的延伸※三維球坐標(biāo)系☆正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系與Lamé常數(shù)定義正交坐標(biāo)系中Lamé常數(shù)Ai(i=1,2,3):Ai的物理意義是坐標(biāo)xi有單位增量時(shí)弧長(zhǎng)的增量，有

注:()式只對(duì)正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系成立，可作為求正交系中度量張量的一種方法。曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換新、老坐標(biāo)之間的變換和逆變換：新、老基矢量之間的變換（注：重中之重）：兩邊同取增量：→→曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換新、老坐標(biāo)之間的變換和逆變換：→→再由：→→曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換新、老坐標(biāo)之間的變換和逆變換：請(qǐng)自己證明：曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換二者之間的關(guān)系：→→→曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換對(duì)比兩大關(guān)系：指標(biāo)升降關(guān)系：坐標(biāo)變換關(guān)系：曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換張量分析中的第二大基本關(guān)系：坐標(biāo)變換關(guān)系※基矢量的坐標(biāo)變換：基矢量本質(zhì)上是曲線(xiàn)的切線(xiàn)矢量。由所有切線(xiàn)構(gòu)成的切空間很重要！——陳省身非線(xiàn)性變換，一定存在Jacobi矩陣或逆矩陣(Jacobi矩陣)(Jacobi逆矩陣)——協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)——逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換張量分析中的第二大基本關(guān)系：坐標(biāo)變換關(guān)系※矢量分量的坐標(biāo)變換：與的性質(zhì)：曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換回顧第一大基本關(guān)系：指標(biāo)升降關(guān)系曲線(xiàn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換張量分析中的第二大基本關(guān)系：坐標(biāo)變換關(guān)系※度量張量分量的坐標(biāo)變換：小注：對(duì)于矢徑r，只有在直角和斜角直線(xiàn)坐標(biāo)系下才可寫(xiě)作，而在大多數(shù)曲線(xiàn)坐標(biāo)系下不成立。并矢與并矢式☆并矢，又稱(chēng)張量積，形式為兩個(gè)矢量a與b并寫(xiě)在一起，寫(xiě)作ab，一般來(lái)說(shuō)，ab≠

ba?！畈⑹甘菑某橄蟮慕嵌忍岢龅模谠S多物理和力學(xué)問(wèn)題中都需要用到并矢。例如：應(yīng)力張量

在直角坐標(biāo)系下寫(xiě)成分量形式：，式中的

即是并矢。☆并矢還包括多于兩個(gè)矢量的并矢，稱(chēng)為多并矢，如abc，abcd等。并矢與并矢式★并矢的初等代數(shù)運(yùn)算規(guī)律※結(jié)合律：※分配律：※求和：并矢與并矢式★縮并縮并，即并矢中兩個(gè)矢量進(jìn)行點(diǎn)積。每縮并一次，并矢的階數(shù)降低兩階。例如并矢ab和cd之間的縮并：順序縮并鄰近優(yōu)先縮并*彈性力學(xué)中的本構(gòu)方程，就是張量之間的縮并。本構(gòu)是客觀(guān)的直角坐標(biāo)系下分量形式張量的基本概念張量T一組有序數(shù)，滿(mǎn)足坐標(biāo)變換和指標(biāo)升降下的不變性。*零階張量即為標(biāo)量，一階張量即為矢量，二者均滿(mǎn)足坐標(biāo)變換下的不變性。其中，張量的基本概念張量T一組有序數(shù)，滿(mǎn)足坐標(biāo)變換和指標(biāo)升降下的不變性。看指標(biāo)升降的一個(gè)例子：空間維數(shù)張量的基本概念度量張量G*度量張量G的縮并縮并后得到：張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的相等若張量T與S在同一個(gè)坐標(biāo)系中的逆變（或協(xié)變，或混變）分量一一相等，即：則此兩個(gè)張量的其它一切分量均一一相等：且任意坐標(biāo)系中的一切分量均一一相等：張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的相等張量T與S相等的實(shí)體寫(xiě)法為：※張量的加法若將兩個(gè)張量T與S在同一個(gè)坐標(biāo)系中的逆變（或協(xié)變，或混變）分量一一相加，則得到一組數(shù)，它們是新張量U的逆變（或協(xié)變，或混變）分量：實(shí)體寫(xiě)法為：張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的乘法*標(biāo)量與張量相乘分量形式實(shí)體形式*張量與張量并乘分量形式實(shí)體形式*張量的縮并許多張量的不變量是由縮并而得到的！第一主不變量張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的乘法*張量的縮并例如四階張量對(duì)j、k縮并得到：二階張量的縮并：空間維數(shù)縮并縮并張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的點(diǎn)積張量的點(diǎn)積是指兩個(gè)張量T與S先并乘后縮并的運(yùn)算例如四階張量T與三階張量S的點(diǎn)積：并乘得到七階張量：縮并一次得到五階張量：張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的雙點(diǎn)積張量的雙點(diǎn)積是指兩個(gè)張量T與S先并乘后再進(jìn)行兩次縮并的運(yùn)算例如四階張量T與三階張量S的兩種雙點(diǎn)積：并聯(lián)式串聯(lián)式張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的轉(zhuǎn)置四階張量T對(duì)第1，2指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：對(duì)第1，3指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：一般來(lái)說(shuō)張量的轉(zhuǎn)置調(diào)換指標(biāo)，變換形式只調(diào)前后，不調(diào)上下張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的對(duì)稱(chēng)化與反對(duì)稱(chēng)化若四階張量滿(mǎn)足則稱(chēng)張量T對(duì)其1，2指標(biāo)是對(duì)稱(chēng)張量，用

來(lái)表示其轉(zhuǎn)置張量，則。若四階張量滿(mǎn)足則稱(chēng)張量T對(duì)其1，2指標(biāo)是反對(duì)稱(chēng)張量，用

來(lái)表示其轉(zhuǎn)置張量，則。張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的對(duì)稱(chēng)化與反對(duì)稱(chēng)化可立即得出反對(duì)稱(chēng)張量的對(duì)角分量均為零（同為協(xié)變或逆變指標(biāo)）對(duì)稱(chēng)化運(yùn)算反對(duì)稱(chēng)化運(yùn)算對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)加任意載荷，均可分為對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)。兩種運(yùn)算對(duì)任意張量均成立對(duì)稱(chēng)反對(duì)稱(chēng)張量的代數(shù)運(yùn)算※張量的商法則（判斷是否為張量）若張量，已知為張量，則必為張量。具體例子請(qǐng)見(jiàn)《張量分析》中33~35頁(yè)。張量的矢積※置換符號(hào)與行列式的展開(kāi)式置換符號(hào)，又稱(chēng)Ricci符號(hào)，是把有序變換群表達(dá)到最簡(jiǎn)單的排列（置換）符號(hào)。對(duì)于二階張量而言，其混變分量與矩陣代數(shù)、行列式運(yùn)算相關(guān)。轉(zhuǎn)下頁(yè)順序排列張量的矢積※置換符號(hào)與行列式的展開(kāi)式順序排列逆序排列利用置換符號(hào)可寫(xiě)成進(jìn)一步可寫(xiě)成置換張量的分量注：和都不是標(biāo)量，但是是置換張量的分量張量的矢積※置換張量（Eddington張量）與

～δ等式對(duì)于三維空間中正交標(biāo)準(zhǔn)化基，有對(duì)于任意曲線(xiàn)坐標(biāo)系，有定義為置換張量，即Eddington張量的協(xié)變分量與逆變分量。張量的矢積※置換張量（Eddington張量）與

～δ等式基矢量的外積矢量的外積張量的矢積※置換張量（Eddington張量）與

～δ等式基矢量的混合積矢量的混合積三個(gè)矢量的三重外積