第1章 張量分析(清華大學張量分析,你值得擁有)

第1章矢量與張量

2023年2月5日張量的兩種表達形式分量形式實體形式代數形式計算式幾何形式

定義式概念的內涵和外延（定量）怎樣計算？主要內容矢量及其代數運算斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量曲線坐標系及坐標轉換關系并矢與并矢式張量的基本概念張量的代數運算張量的矢積矢量及其代數運算矢量和矢量的模

、

、、、矢量的加法:平行四邊形法則

平行四邊形法則矢量及其代數運算直線坐標系與矢徑

笛卡爾坐標系：直角直線

費馬坐標系：斜角直線：矢徑矢徑

確定了基矢量：、、矢量可表示為：

笛卡爾坐標系矢量及其代數運算矢量的乘法

矢量的內積

定義式（實體形式，幾何表達）：

(可交換性)計算式（分量形式，代數表達）：

物理意義：計算功(功率)可交換性：運算次序的無關性對稱性不變性(許瓦茲不等式)矢量及其代數運算矢量的乘法

矢量的外積

定義式（實體形式，幾何表達）

：

(反交換性)

計算式（分量形式，代數表達）

：

計算

時換行。

物理意義：計算面積矢量及其代數運算矢量的乘法

三個矢量、、之間的運算

如何計算？

觀察右圖，可知

正交于

、

構成的平面，而

正交于，因此，

一定在、

構成的平面數形結合矢量及其代數運算矢量的乘法

矢量的混合積

物理意義：計算體積群論的輪換次序不變性

順時針輪換

斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量從直角直線坐標系到斜角直線坐標系(平面內)

費馬坐標系

笛卡爾坐標系斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量平面內斜角直線坐標系和矢徑矢徑

確定了基矢量：、其中、不一定是單位矢量。矢量可表示為：

費馬坐標系斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量平面內斜角直線坐標系的協變基矢量和逆變基矢量費馬坐標系：協變基矢量：啞指標Einstein求和約定基于簡化的思想，引入逆變基矢量存在對偶關系：斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量平面內斜角直線坐標系下矢量的協變分量與逆變分量稱為矢量P的逆變分量稱為矢量P的協變分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系由可定義協變基矢量為g是正實數（右手系）斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量定義逆變基矢量，滿足對偶條件：問題：已知，如何求？※根據幾何圖形直接確定由對偶條件可知，與、均正交，因此正交于與所確定的平面；其模的大小等于斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量問題：已知，如何求？※

由協變基矢量求逆變基矢量由于正交于與，則必定平行于，可設，利用下式：可計算出：轉化為矩陣乘法是什么？斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量問題：已知，如何求？※

由協變基矢量求逆變基矢量將在標架下分解：進而可得到統(tǒng)一代數式：將上式等號左右兩端均點乘，得到：張量分析的起點斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量可證明：稱為度量張量的協變分量稱為度量張量的逆變分量因此，得到：協變基矢量在逆變基矢量下分解逆變基矢量在協變基矢量下分解斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量可知與均為對稱矩陣，協變分量的行列式為：寫成矩陣形式，得到：由對偶關系可知逆變分量的行列式為：因此可得到：Euclid幾何的1、勾股定理兩大基本定理：2、三角形內角和定理二次微分形式Euclid幾何的基礎斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量度量的重要性——刻畫兩點間距離笛卡爾坐標系中，有斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量張量分析中的第一大基本關系：指標升降關系矢量可在協變基矢量和逆變基矢量下進行分解：的協變分量可利用度量張量的逆變分量升指標的逆變分量可利用度量張量的協變分量降指標斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量張量分析中的第一大基本關系：指標升降關系基矢量的協（逆）變分量可利用度量張量的逆（協）變分量升（降）指標：利用指標升降關系表示斜角直線坐標系中兩個矢量的點積：曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸自然基矢量概念：直角坐標的啟示立即得到：曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸自然基矢量概念：向一般曲線坐標系的推廣立即得到：重要啟示：決定空間點的位置和矢徑！曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸※平面極坐標系矢徑：平面極坐標系曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸※三維球坐標系三維球坐標系曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸※三維球坐標系☆正交曲線坐標系與Lamé常數定義正交坐標系中Lamé常數Ai(i=1,2,3):Ai的物理意義是坐標xi有單位增量時弧長的增量，有

注:()式只對正交曲線坐標系成立，可作為求正交系中度量張量的一種方法。曲線坐標系的坐標變換新、老坐標之間的變換和逆變換：新、老基矢量之間的變換（注：重中之重）：兩邊同取增量：→→曲線坐標系的坐標變換新、老坐標之間的變換和逆變換：→→再由：→→曲線坐標系的坐標變換新、老坐標之間的變換和逆變換：請自己證明：曲線坐標系的坐標變換二者之間的關系：→→→曲線坐標系的坐標變換對比兩大關系：指標升降關系：坐標變換關系：曲線坐標系的坐標變換張量分析中的第二大基本關系：坐標變換關系※基矢量的坐標變換：基矢量本質上是曲線的切線矢量。由所有切線構成的切空間很重要！——陳省身非線性變換，一定存在Jacobi矩陣或逆矩陣(Jacobi矩陣)(Jacobi逆矩陣)——協變轉換系數——逆變轉換系數曲線坐標系的坐標變換張量分析中的第二大基本關系：坐標變換關系※矢量分量的坐標變換：與的性質：曲線坐標系的坐標變換回顧第一大基本關系：指標升降關系曲線坐標系的坐標變換張量分析中的第二大基本關系：坐標變換關系※度量張量分量的坐標變換：小注：對于矢徑r，只有在直角和斜角直線坐標系下才可寫作，而在大多數曲線坐標系下不成立。并矢與并矢式☆并矢，又稱張量積，形式為兩個矢量a與b并寫在一起，寫作ab，一般來說，ab≠

ba。☆并矢是從抽象的角度提出的，在許多物理和力學問題中都需要用到并矢。例如：應力張量

在直角坐標系下寫成分量形式：，式中的

即是并矢。☆并矢還包括多于兩個矢量的并矢，稱為多并矢，如abc，abcd等。并矢與并矢式★并矢的初等代數運算規(guī)律※結合律：※分配律：※求和：并矢與并矢式★縮并縮并，即并矢中兩個矢量進行點積。每縮并一次，并矢的階數降低兩階。例如并矢ab和cd之間的縮并：順序縮并鄰近優(yōu)先縮并*彈性力學中的本構方程，就是張量之間的縮并。本構是客觀的直角坐標系下分量形式張量的基本概念張量T一組有序數，滿足坐標變換和指標升降下的不變性。*零階張量即為標量，一階張量即為矢量，二者均滿足坐標變換下的不變性。其中，張量的基本概念張量T一組有序數，滿足坐標變換和指標升降下的不變性?？粗笜松档囊粋€例子：空間維數張量的基本概念度量張量G*度量張量G的縮并縮并后得到：張量的代數運算※張量的相等若張量T與S在同一個坐標系中的逆變（或協變，或混變）分量一一相等，即：則此兩個張量的其它一切分量均一一相等：且任意坐標系中的一切分量均一一相等：張量的代數運算※張量的相等張量T與S相等的實體寫法為：※張量的加法若將兩個張量T與S在同一個坐標系中的逆變（或協變，或混變）分量一一相加，則得到一組數，它們是新張量U的逆變（或協變，或混變）分量：實體寫法為：張量的代數運算※張量的乘法*標量與張量相乘分量形式實體形式*張量與張量并乘分量形式實體形式*張量的縮并許多張量的不變量是由縮并而得到的！第一主不變量張量的代數運算※張量的乘法*張量的縮并例如四階張量對j、k縮并得到：二階張量的縮并：空間維數縮并縮并張量的代數運算※張量的點積張量的點積是指兩個張量T與S先并乘后縮并的運算例如四階張量T與三階張量S的點積：并乘得到七階張量：縮并一次得到五階張量：張量的代數運算※張量的雙點積張量的雙點積是指兩個張量T與S先并乘后再進行兩次縮并的運算例如四階張量T與三階張量S的兩種雙點積：并聯式串聯式張量的代數運算※張量的轉置四階張量T對第1，2指標的轉置張量為：對第1，3指標的轉置張量為：一般來說張量的轉置調換指標，變換形式只調前后，不調上下張量的代數運算※張量的對稱化與反對稱化若四階張量滿足則稱張量T對其1，2指標是對稱張量，用

來表示其轉置張量，則。若四階張量滿足則稱張量T對其1，2指標是反對稱張量，用

來表示其轉置張量，則。張量的代數運算※張量的對稱化與反對稱化可立即得出反對稱張量的對角分量均為零（同為協變或逆變指標）對稱化運算反對稱化運算對稱結構加任意載荷，均可分為對稱和反對稱。兩種運算對任意張量均成立對稱反對稱張量的代數運算※張量的商法則（判斷是否為張量）若張量，已知為張量，則必為張量。具體例子請見《張量分析》中33~35頁。張量的矢積※置換符號與行列式的展開式置換符號，又稱Ricci符號，是把有序變換群表達到最簡單的排列（置換）符號。對于二階張量而言，其混變分量與矩陣代數、行列式運算相關。轉下頁順序排列張量的矢積※置換符號與行列式的展開式順序排列逆序排列利用置換符號可寫成進一步可寫成置換張量的分量注：和都不是標量，但是是置換張量的分量張量的矢積※置換張量（Eddington張量）與

～δ等式對于三維空間中正交標準化基，有對于任意曲線坐標系，有定義為置換張量，即Eddington張量的協變分量與逆變分量。張量的矢積※置換張量（Eddington張量）與

～δ等式基矢量的外積矢量的外積張量的矢積※置換張量（Eddington張量）與

～δ等式基矢量的混合積矢量的混合積三個矢量的三重外積