數(shù)字信號(hào)處理Lec7

現(xiàn)代信號(hào)處理中國(guó)科學(xué)院大學(xué)電子電氣與通信學(xué)院冀連營(yíng)jilianying@本節(jié)課講隨機(jī)信號(hào)的功率譜定義維納—辛欽定理隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜與傅里葉變換傅里葉分析是確定性信號(hào)處理的最重要工具對(duì)于隨機(jī)信號(hào)傅里葉分析同樣適用于隨機(jī)信號(hào)分析統(tǒng)計(jì)量，均值，相關(guān)，都是從“時(shí)域”角度在分析這個(gè)信號(hào)和確定性信號(hào)一樣，把信號(hào)分解成正弦信號(hào)的形式，更符合很多物理量的變化形式，和它們與各種系統(tǒng)的交互方式。隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜功率譜的物理起源功率譜，最早在輻射學(xué)，光學(xué)里，用來(lái)代表不同波長(zhǎng)的光的功率大小功率譜，表達(dá)了每個(gè)頻率分量的功率的大小。右圖是不同光源中不同波長(zhǎng)的光的功率分布隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜在持續(xù)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，不能計(jì)算能量，但是能計(jì)算功率嚴(yán)格來(lái)講，功率譜是個(gè)時(shí)間的函數(shù)，X（f，t），除非信號(hào)各個(gè)時(shí)刻頻率分布相同（比較平穩(wěn)的定義）傅里葉變換反映的是每個(gè)頻率分量的能量（傅里葉變換的幅度的平方）大小但是傅里葉變換是個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的變換（它是不區(qū)分這個(gè)頻率分量出現(xiàn)在哪一個(gè)時(shí)刻的）隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜功率譜的數(shù)學(xué)起源問(wèn)題在于，隨機(jī)信號(hào)，尤其是噪聲，都是無(wú)限長(zhǎng)的。。。能量是無(wú)限的而傅里葉變換的得到的是能量（積分）所以還有一個(gè)求功率的過(guò)程（除以時(shí)間長(zhǎng)度）在實(shí)際使用時(shí)，由于樣本長(zhǎng)度有限，可以忽略長(zhǎng)度這件事隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜對(duì)于一個(gè)統(tǒng)計(jì)信號(hào)來(lái)說(shuō)，如何做頻域分析呢？從角度1理解，一個(gè)隨機(jī)信號(hào)有很多種變化形式，是個(gè)信號(hào)的集合每一種變化形式（樣本函數(shù)）都可以分解成正弦信號(hào)的和的形式，也就是都可以做傅里葉變換那么，這個(gè)隨機(jī)信號(hào)的傅里葉變換呢？——還是“平均”怎么平均，——統(tǒng)計(jì)平均，可以理解隨機(jī)信號(hào)的傅里葉變換是某個(gè)正弦分量出現(xiàn)的可能性大小？隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜但是“直接平均”有問(wèn)題傅里葉變換的系數(shù)是復(fù)數(shù)，實(shí)部和虛部還有正有負(fù)相位不同，會(huì)導(dǎo)致實(shí)部和虛部的正負(fù)號(hào)相反加起來(lái)，會(huì)對(duì)消掉，所以我們得先“求幅值”，再平均隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜

隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜那么“功率譜”就是描述了統(tǒng)計(jì)意義上，一個(gè)隨機(jī)信號(hào)各個(gè)正弦分量的比重噪聲的功率譜怎么理解我們沒(méi)看出來(lái)噪聲里有正弦呢？為什么“白”噪聲，功率譜是一根直線隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜正弦加噪聲的功率譜怎么理解傅里葉變換是線性操作，所以：功率譜（sig+noise）=功率譜（sig）+功率譜（noise）隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜那么回頭來(lái)說(shuō)，語(yǔ)音信號(hào)的功率譜怎么理解？平均了每種發(fā)音的傅里葉變換隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜和自相關(guān)現(xiàn)在，我們就有了兩種手段了時(shí)域：均值，方差，自相關(guān)頻域：功率譜它們二者的聯(lián)系如何呢？在平穩(wěn)的時(shí)候，維納——辛欽定理不平穩(wěn)呢的時(shí)候，可以，分解開(kāi)，將其中攜帶信息的一部分作為確定性來(lái)分析（或者角度1）維納-辛欽定理：廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜等于自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜和自相關(guān)維納——辛欽定理前提條件廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)說(shuō)明的問(wèn)題自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是功率譜隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜和自相關(guān)維納——辛欽定理的證明（E內(nèi)移，求平均的角度出發(fā)的）隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜和自相關(guān)

隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜和自相關(guān)

隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜和自相關(guān)維納——辛欽定理與確定性信號(hào)的“分解為脈沖序列，分解為正弦信號(hào)”之間的等效關(guān)系類(lèi)似隨機(jī)信號(hào)“平均為自相關(guān)序列，平均為正弦信號(hào)”之間的等效兩個(gè)期望之間的等效關(guān)系隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜和自相關(guān)重點(diǎn)那么，功率譜就有兩個(gè)定義，或者說(shuō)兩種計(jì)算方法直接從傅里葉變換做平均的角度直接從自相關(guān)函數(shù)的福利葉變換的角度哪個(gè)是本源？（很多書(shū)籍的誤導(dǎo)）與確定性信號(hào)分析類(lèi)似，自相關(guān)適合計(jì)算，功率譜才適合分析和設(shè)計(jì)注意，“廣義平穩(wěn)假設(shè)”，只適合分析噪聲那么如果是信號(hào)加噪聲呢？（我們講過(guò)了）隨機(jī)型號(hào)的分析——功率譜和自相關(guān)功率譜的類(lèi)型線譜隨機(jī)相位正弦信號(hào)可預(yù)測(cè)隨機(jī)過(guò)程連續(xù)譜噪聲不可預(yù)測(cè)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)問(wèn)題的來(lái)源？噪聲通過(guò)濾波器后，會(huì)怎么樣（相關(guān)會(huì)變化么，功率譜會(huì)變化么）隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)的基本分析思路——角度1讓信號(hào)的每個(gè)樣本函數(shù)（可能形式），單獨(dú)通過(guò)LTI系統(tǒng)然后把輸出統(tǒng)計(jì)一下（平均一下）當(dāng)然我們不是直接平均信號(hào)本身，因?yàn)樗南嗉訉?duì)消特性直接統(tǒng)計(jì)（自相關(guān)，傅里葉）分析步驟每個(gè)樣本通過(guò)LTI，后它的相關(guān)，傅里葉統(tǒng)計(jì)這些相關(guān)，傅里葉隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)但是如果假設(shè)了平穩(wěn)平穩(wěn)的假設(shè)，使得自相關(guān)這個(gè)時(shí)變的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，轉(zhuǎn)換為了一個(gè)一維的確定性函數(shù)，計(jì)算相關(guān)，也從在多個(gè)樣本函數(shù)上進(jìn)行平均，轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)樣本函數(shù)進(jìn)行平均平穩(wěn)的假設(shè)，使得功率譜這個(gè)統(tǒng)計(jì)平局的傅里葉變換，轉(zhuǎn)換為了一個(gè)的確定性函數(shù)（自相關(guān)函數(shù)的）的傅里葉變換，從分析所有樣本函數(shù)的傅里葉變換，轉(zhuǎn)換為分析一個(gè)樣本函數(shù)的傅里葉變換平穩(wěn)的假設(shè)也使得，LTI系統(tǒng)響應(yīng)分析，由對(duì)所有樣本進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換為了對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行分析，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成了確定性信號(hào)的分析問(wèn)題（在只關(guān)心相關(guān)函數(shù)和功率譜的前提下）轉(zhuǎn)化為一個(gè)樣本函數(shù)的相關(guān)后，相關(guān)又等價(jià)為一個(gè)特殊的卷積而這個(gè)確定性函數(shù)，又等于信號(hào)x（t）與自己的翻折信號(hào)x（-t）的卷積，從而我們可以把它表達(dá)為沖擊函數(shù)通過(guò)一個(gè)沖激響應(yīng)為h（t）=x（-t）的系統(tǒng)隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)h(t)

x(t)

h(t)

x(t)

h(t)

x(-t)h(-t)x(t)

x(-t)

隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)LTI系統(tǒng)后的相關(guān)分析隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)LTI系統(tǒng)后的相關(guān)分析從頻域理解，就是Y（f）=H（f）X（f）隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)LTI系統(tǒng)后的相關(guān)分析隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)LTI系統(tǒng)后的相關(guān)分析隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)我們直接對(duì)隨機(jī)信號(hào)的所有樣本函數(shù)取平均，下場(chǎng)就是只得到了它的直流分量的期望隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)輸出功率分析隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)頻域分析隨機(jī)型號(hào)的分析——隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)功率譜分析，對(duì)于隨機(jī)信號(hào)與LTI系統(tǒng)的分析，更常用因?yàn)楦菀桌斫猓衔覀冎庇X(jué)的角度1理解方式卷