數(shù)學概念和數(shù)學原理學與教的心理分析

數(shù)學概念和數(shù)學原理學與教的心理分析第一節(jié)數(shù)學概念學與教的心理分析第二節(jié)數(shù)學原理學與教的心理分析一、概念的含義（一）概念的定義認識論中概念被定義為

“反映客觀事物的共同本質屬性的思維形式.”這一定義表明，概念不同于感覺和知覺，感覺反映著刺激物的個別屬性，知覺反映客觀事物的不同屬性，而概念則反映客觀事物的共同本質屬性.下面的兩個例子可以幫助我們理解概念的這一哲學定義.(p126-127)

在心理學中，一般把概念定義為“符號所表征的具有共同本質特征的同類事、物或性質.”根據(jù)這一定義，我們在日常生活與工作中所使用的詞語或其它符號，只要是正確的表征一個類別的事、物或屬性，這個符號就代表一個概念.例如，中文符號“球”和英文符號“sphere”對于受過教育的中國人和英國人來說，所表征的的都是一個類別，即是球體而不是長方體、錐體或者其它的幾何體，他們都表示同一概念.

（二）概念的構成1、概念的命名和定義人們對客觀現(xiàn)實的認識并不只是限于具事物的個別屬性上.學習者經(jīng)感覺和知覺形成表象，通過對表象的加工處理，抽象概括出反映一類事物的本質屬性，于是學習者腦中就形成了概念.這時候的概念是私人的，它以表象的形式出現(xiàn)在學習者腦中，要想進行交流或者記載下來，就必須借助于言語或符號來表達.

表達概念的一種方式是給概念命名.表示概念的符號稱為概念的名稱.一個符號一旦成為某一概念的名稱，那么它就成了這個概念的代名詞.只要一聽到、看到或通過其它方式知道符號后，就可以喚起腦中的概念.概念的名稱是一種符號規(guī)定，它不是最重要的，重要的是名稱所代表的內(nèi)容.

表達概念的另一種方式是給概念下定義，即揭示概念這一類事物的共同本質屬性，并用精煉的語言符號予以描述.2、概念的內(nèi)涵和外延概念的內(nèi)涵是指某一類事物的共同本質屬性.概念的外延是指概念所反映的對象的全體.

例如，數(shù)學中的“三角形”這個概念，其內(nèi)涵就是本質屬性：有三條邊且彼此首尾相連接，其外延就是所有的三角形.

概念的外延中的具體對象叫做概念的例證，概念的外延之外的對象叫做概念的反例.概念的內(nèi)涵和外延之間是一種反變關系，即概念的內(nèi)涵越多，其外延就越??；概念的內(nèi)涵越少，其外延就越多.例如，在“平行四邊形”的內(nèi)涵中加上……；去掉“兩組對邊平行”的屬性，就得到……3、概念的類別(1)具體概念和定義性概念

具體概念是指能通過觀察直接獲得的概念.例如，“多”、“少”、“上”、“下”、學前兒童腦中的“球”概念都是一些具體概念.后者是兒童在平時接觸汽球、籃球、排球、足球、網(wǎng)球、乒乓球、西瓜、雞蛋這些近似球形的具體模型中形成的.

定義性概念只能通過下定義的方式才能獲得.例如，數(shù)學中的“球”概念就是一個定義性概念，它只能通過下定義的方式獲得.僅僅靠觀察，學習者即使觀察再多的球形物體，也不會獲得“球”這個定義性概念.數(shù)學科學中的概念都是定義性概念.作為教育的數(shù)學，初中數(shù)學教科書中的概念并不都是嚴密的定義性概念，這些概念是通過給出概念的例證方式來予以描述的，教材回避了“定義”.如“代數(shù)式”這一概念，人民教育出版社初中代數(shù)教材第一冊（上）（1992年版）第6頁中是這樣給出的：“上面的例子中出現(xiàn)了這樣的式子.像這樣的式子都是代數(shù)式.”到了本章的小結與復習（第33頁）才給出所謂的定義性概念：“代數(shù)式是用基本運算符號（運算包括加、減、乘、除以及以后要學的乘方、開方）把數(shù)、表示數(shù)的字母連接而成的式子.”(2)精確概念和模糊概念

精確概念是指那些內(nèi)涵明確，容易用某種規(guī)則揭示出來的概念.如“矩形”、“圓周率”、“正弦函數(shù)”這些概念都是精確概念.模糊概念是那些內(nèi)涵不明顯并難以用某種規(guī)則加以揭示的概念.如書、游戲、數(shù)、式子、直線、平面這些概念都是模糊概念.后面四者在數(shù)學中被稱為原始概念.

(3)日常概念和科學概念

日常概念是指未經(jīng)專門的教學，而在日常生活中通過辨別學習、積累經(jīng)驗而掌握的概念.如兒童腦中的“垂線”概念是日常概念，因為兒童根據(jù)日常經(jīng)驗認為垂線是與水平線垂直的線.科學概念則是在教學過程中通過揭示概念的內(nèi)涵而形成的概念.

二、概念的獲得

概念的獲得意味著要求學生掌握一類事物的共同本質屬性，并能辨別本質屬性和非本質屬性，能列舉出概念的例證和反例.

兒童獲得概念的三種基本形式是

概念的形成、概念的同化、和概念的順應.

（一）概念獲得的心理分析1.概念的形成（conceptformation）

概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質屬性的過程.

學生如何通過概念的形成方式來獲得“扇形”這個數(shù)學概念.（P130）

由于兒童，尤其是學前兒童的認知結構中的概念都是一些比較具體的概念，缺乏精確的定義性概念，而且理解能力有限，因此，他們獲得概念的典型方式是概念的形成.例如，我們完全可以讓兒童背誦“圓”這個數(shù)學概念：“圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合.”但是他們能否獲得這個概念的意義呢？事實上，囿于認知水平，兒童是不可能獲得這個精確概念的.他們只能從大量的圓形的例證和反例中歸納出一些視覺上的共同屬性，從而獲得具體的、模糊的、日常的圓概念.以概念的形成方式獲得精確概念的心理過程如圖5-3所示2．概念的同化（conceptassimilation）同化是指學習者的認知結構吸收新的信息，從而使原有的認知結構發(fā)生變化的過程.

概念的同化是指學習者利用原有認知結構中的觀念來理解接納新概念的過程.概念的同化過程不僅使新概念獲得了意義，而且擴大和深化了原有的認知結構.在數(shù)學中，大多數(shù)概念是以屬概念（在概念的從屬關系中，外延大的概念稱為屬概念）加種差（即關鍵屬性）的方式定義的.同化以這種方式定義的概念，實質上就是對屬概念重新進行分類，分類的依據(jù)是種差，并借助于具體的例證進行.例如，要同化梯形的概念：“一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.”就要對屬概念“四邊形”進行分類，分類的依據(jù)是種差：“一組對邊平行而另一組對邊不平行”.于是，從屬概念中就分化出一個新的種概念“梯形，再借助于豐富的例證，學習者就明確了梯形概念的內(nèi)涵和外延.同化的結果，梯形概念獲得了心理意義，原有的數(shù)學認知結構得到擴展和深化.3．概念的順應（conceptaccommodation）

順應原本是一個生物學概念，它是指有機體調(diào)節(jié)自己的內(nèi)部結構以適應特定刺激情境的過程.

所謂概念的順應，是指當原有的認知結構不能同化新概念時，就要調(diào)整或改變原有的認知結構，以便概括新概念.

例如，當學生同化不了正、負數(shù)的概念時，可以采取順應的方式。具體做法是，首先，通過概念形成的方式幫助學生建立新觀念：“現(xiàn)實世界中存在著大量的具有相反意義的量.”然后通過提出問題使學生體會到：要清楚地區(qū)分這兩種不同的量，揭示它們之間的關系，只有算術數(shù)是不夠的.最后再指出，如果把其中的一種量規(guī)定為正的，那么另一種量就是負的.前者用“+（算術數(shù)）”來表示，后者用“-（算術數(shù)）”來表示，由此就引出了正、負數(shù)的概念.

（二）數(shù)學概念的兩種教學模式由于獲得概念的主要方式是概念的形成和概念的同化,因此，數(shù)學概念的教學主要采取兩種模式.1．概念形成的教學模式概念的形成是由特殊到一般，由具體到抽象的過程，因此，對于那些初次接觸或較難理解的概念，可以采用概念的形成方式進行學習.其教學過程如圖5-5所示.

例如，映射概念的教學（P133-135）

2．概念同化的教學模式.

概念的同化實質上是學習者利用已掌握的概念去理解新概念，或者對原有的概念重新進行加工整理的過程，它是一種有意義的學習.以概念的同化方式來學習新概念必須具備三個條件:一是學習者必須具備“我要學”的動力；二是新概念必須有邏輯意義；三是學生原有的認知結構中必須具備同化新概念所需要的觀念.這種學習的關鍵是要把握好新概念與原有概念之間的關系.這就要求教師必須了解學生對原有概念掌握的情況.原有的概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就越容易.其教學過程如圖5-12所示.例如，奇函數(shù)概念的教學（P135-136）

三、促進數(shù)學概念學習的教學建議

數(shù)學概念的教學過程大致分為概念的引入、概念的理解和概念的運用三個階段.

（一）概念的引入概念的引入是學生獲得概念的前奏，并極大地影響著學生對概念的理解和運用.因此，數(shù)學概念的引入是數(shù)學概念教學的一個重要環(huán)節(jié).由于概念的形成、概念的同化和概念的順應是獲得概念的三種方式，因此，數(shù)學概念的引入可以按這三種方式來進行.至于使用哪一種引入方式，教師可以根據(jù)概念的定義形式來選取.另外，由于概念的學習是一種有意義的學習，因此在引入概念時還要考慮學生認知的心理特點.

1.根據(jù)概念的定義形式引入

數(shù)學中的概念一般都是比較精確的定義性概念.概念定義的形式多種多樣，不同形式的定義要考慮不同的引入方式.

（1）如果概念是以屬概念加種差的形式給出，那么這一類概念一般按概念同化的方式引入.此時，教師應著重講解定義中的屬概念和種差，使學生明確，新概念既具有屬概念的一切屬性，又具有自身所特有的關鍵屬性（種差）.

（2）在以屬概念加種差的形式定義的概念中，有些概念的屬概念的內(nèi)涵很少，外延很大，而種差較為抽象，學生同化有困難.這時，教師應該避開抽象內(nèi)涵的講解，從概念的外延入手，選擇概念形成的方式來引入.例如，等比數(shù)列的概念：“如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.”如果學生的認知水平較高，那么可以按概念同化的方式來引入.但如果學生的認知水平較低，那么可以按概念形成的方式來引入.（3）對于以發(fā)生式定義（即以被定義概念所反映的對象產(chǎn)生或形成的過程為種差的定義）的概念，應該按概念同化的方式來引入.但此時教師講課的重點不只是講解定義的種差，還要通過實驗演示其發(fā)生過程，讓學生具體操作，體驗其形成過程，以幫助學生把握概念的關鍵屬性.例如，對于橢圓概念……

（4）對于形式定義的概念，一般按概念同化的方式來引入.教師應強調(diào)抓住定義的模型，任何突破模型的形式都不是定義本身.例如，冪函數(shù)的定義（P138）在形式定義中，對于規(guī)定定義要講清兩點：一是規(guī)定的必要性，即為什么要規(guī)定；二是規(guī)定的合理性，即這樣規(guī)定的道理.對于那些處于概念體系中起著基礎作用和核心作用的形式定義的概念如正、負數(shù)和復數(shù)，由于學生缺乏適當?shù)?、用于同化的觀念，也缺乏屬于直接經(jīng)驗的、用于概括的例證，因此，這一類概念應按概念順應的方式來引入.事實上，數(shù)學概念的定義形式不限于以上幾種，這些概念的引入應具體問題具體分析.

2.根據(jù)學生認知的心理特點引入

概念學習是有意義的學習，根據(jù)有意義學習的條件，學習者必須具備有意義學習的心向.要做到這一點，除了激發(fā)外在動機的手段之外，教師應根據(jù)學生認知的心理特點，充分激發(fā)學生的內(nèi)在動機.

學生認知的心理特點，一方面表現(xiàn)為天生就具備的積極向上、探索奧秘的求知欲，另一方面表現(xiàn)為心理平衡傾向.如果教學內(nèi)容具有新奇性、運動性、可探索性等特點，那么就能激發(fā)學生的求知欲.一旦他們覺得“有趣”，就能自覺地集中注意力，全神貫注地學習.原蘇聯(lián)教育家奧加涅相教授指出：“學生學習數(shù)學的好壞很大程度上取決于學習興趣的產(chǎn)生和保持.”因此，在引入新概念時，若能注意引入方式的趣味性，就會收到良好的教學效果.

例如，在引入等速螺線概念時，教師告訴學生：一只螞蟻，在一根豎直不動的教鞭上向上豎直爬行，其軌跡是一條射線；如果螞蟻不動，教鞭繞其端點旋轉，螞蟻的軌跡是一個圓周；如果螞蟻沿教鞭爬行，教鞭又在豎直平面上繞其一個端點作勻速旋轉，螞蟻的軌跡是什么呢？這樣就很自然地引入了等速螺線的概念.又如用“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”來引入數(shù)列極限的概念，就能激發(fā)學生的興趣，有利于極限概念的理解.

心理平衡傾向是指個體對心中的問題非要解決不可，以獲得心理滿足的傾向.教師在引入新概念時，若能注意提問激疑，設置懸念,就能充分調(diào)動學生的思維，使他們自覺積極地學習新概念.例如，（P138-139）

(二)概念的理解

概念的引入是數(shù)學概念教學的第一個環(huán)節(jié)，它為正確理解概念奠定了基礎.但要使學生透徹理解并掌握所學的概念，教師還要注意以下四個方面.

1．加強對概念的解剖分析數(shù)學概念是借助于數(shù)學語言符號來表達的，其用語、用詞一般都非常嚴密、精煉，具有高度的概括性，因而，有的概念敘述十分簡練，寓意深刻；有的用符號、式子表示，比較抽象.對這些概念，教師必須抓住概念中的關鍵詞句進行解剖分析，揭示每一個詞、句、符號、式子的內(nèi)在含義，使學生深刻理解概念的本質屬性.

2.利用變式，突出概念的本質屬性

變式是指概念例證在非本質屬性方面的變化.利用變式的目的是通過非本質屬性的變化來突出本質屬性，使獲得的概念更精確、更穩(wěn)定.

3.注意概念的對比和直觀化

數(shù)學中有許多概念是平行相關的概念，如果能將它們有機地聯(lián)系在一起進行類比，就可以收到由此及彼、溫故而知新的效果.如分數(shù)和分式的類比、數(shù)列極限和函數(shù)極限的類比、平面幾何與