數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理學(xué)與教的心理分析

數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理學(xué)與教的心理分析第一節(jié)數(shù)學(xué)概念學(xué)與教的心理分析第二節(jié)數(shù)學(xué)原理學(xué)與教的心理分析一、概念的含義（一）概念的定義認(rèn)識(shí)論中概念被定義為

“反映客觀(guān)事物的共同本質(zhì)屬性的思維形式.”這一定義表明，概念不同于感覺(jué)和知覺(jué)，感覺(jué)反映著刺激物的個(gè)別屬性，知覺(jué)反映客觀(guān)事物的不同屬性，而概念則反映客觀(guān)事物的共同本質(zhì)屬性.下面的兩個(gè)例子可以幫助我們理解概念的這一哲學(xué)定義.(p126-127)

在心理學(xué)中，一般把概念定義為“符號(hào)所表征的具有共同本質(zhì)特征的同類(lèi)事、物或性質(zhì).”根據(jù)這一定義，我們?cè)谌粘Ｉ钆c工作中所使用的詞語(yǔ)或其它符號(hào)，只要是正確的表征一個(gè)類(lèi)別的事、物或?qū)傩?，這個(gè)符號(hào)就代表一個(gè)概念.例如，中文符號(hào)“球”和英文符號(hào)“sphere”對(duì)于受過(guò)教育的中國(guó)人和英國(guó)人來(lái)說(shuō)，所表征的的都是一個(gè)類(lèi)別，即是球體而不是長(zhǎng)方體、錐體或者其它的幾何體，他們都表示同一概念.

（二）概念的構(gòu)成1、概念的命名和定義人們對(duì)客觀(guān)現(xiàn)實(shí)的認(rèn)識(shí)并不只是限于具事物的個(gè)別屬性上.學(xué)習(xí)者經(jīng)感覺(jué)和知覺(jué)形成表象，通過(guò)對(duì)表象的加工處理，抽象概括出反映一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，于是學(xué)習(xí)者腦中就形成了概念.這時(shí)候的概念是私人的，它以表象的形式出現(xiàn)在學(xué)習(xí)者腦中，要想進(jìn)行交流或者記載下來(lái)，就必須借助于言語(yǔ)或符號(hào)來(lái)表達(dá).

表達(dá)概念的一種方式是給概念命名.表示概念的符號(hào)稱(chēng)為概念的名稱(chēng).一個(gè)符號(hào)一旦成為某一概念的名稱(chēng)，那么它就成了這個(gè)概念的代名詞.只要一聽(tīng)到、看到或通過(guò)其它方式知道符號(hào)后，就可以喚起腦中的概念.概念的名稱(chēng)是一種符號(hào)規(guī)定，它不是最重要的，重要的是名稱(chēng)所代表的內(nèi)容.

表達(dá)概念的另一種方式是給概念下定義，即揭示概念這一類(lèi)事物的共同本質(zhì)屬性，并用精煉的語(yǔ)言符號(hào)予以描述.2、概念的內(nèi)涵和外延概念的內(nèi)涵是指某一類(lèi)事物的共同本質(zhì)屬性.概念的外延是指概念所反映的對(duì)象的全體.

例如，數(shù)學(xué)中的“三角形”這個(gè)概念，其內(nèi)涵就是本質(zhì)屬性：有三條邊且彼此首尾相連接，其外延就是所有的三角形.

概念的外延中的具體對(duì)象叫做概念的例證，概念的外延之外的對(duì)象叫做概念的反例.概念的內(nèi)涵和外延之間是一種反變關(guān)系，即概念的內(nèi)涵越多，其外延就越??；概念的內(nèi)涵越少，其外延就越多.例如，在“平行四邊形”的內(nèi)涵中加上……；去掉“兩組對(duì)邊平行”的屬性，就得到……3、概念的類(lèi)別(1)具體概念和定義性概念

具體概念是指能通過(guò)觀(guān)察直接獲得的概念.例如，“多”、“少”、“上”、“下”、學(xué)前兒童腦中的“球”概念都是一些具體概念.后者是兒童在平時(shí)接觸汽球、籃球、排球、足球、網(wǎng)球、乒乓球、西瓜、雞蛋這些近似球形的具體模型中形成的.

定義性概念只能通過(guò)下定義的方式才能獲得.例如，數(shù)學(xué)中的“球”概念就是一個(gè)定義性概念，它只能通過(guò)下定義的方式獲得.僅僅靠觀(guān)察，學(xué)習(xí)者即使觀(guān)察再多的球形物體，也不會(huì)獲得“球”這個(gè)定義性概念.數(shù)學(xué)科學(xué)中的概念都是定義性概念.作為教育的數(shù)學(xué)，初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中的概念并不都是嚴(yán)密的定義性概念，這些概念是通過(guò)給出概念的例證方式來(lái)予以描述的，教材回避了“定義”.如“代數(shù)式”這一概念，人民教育出版社初中代數(shù)教材第一冊(cè)（上）（1992年版）第6頁(yè)中是這樣給出的：“上面的例子中出現(xiàn)了這樣的式子.像這樣的式子都是代數(shù)式.”到了本章的小結(jié)與復(fù)習(xí)（第33頁(yè)）才給出所謂的定義性概念：“代數(shù)式是用基本運(yùn)算符號(hào)（運(yùn)算包括加、減、乘、除以及以后要學(xué)的乘方、開(kāi)方）把數(shù)、表示數(shù)的字母連接而成的式子.”(2)精確概念和模糊概念

精確概念是指那些內(nèi)涵明確，容易用某種規(guī)則揭示出來(lái)的概念.如“矩形”、“圓周率”、“正弦函數(shù)”這些概念都是精確概念.模糊概念是那些內(nèi)涵不明顯并難以用某種規(guī)則加以揭示的概念.如書(shū)、游戲、數(shù)、式子、直線(xiàn)、平面這些概念都是模糊概念.后面四者在數(shù)學(xué)中被稱(chēng)為原始概念.

(3)日常概念和科學(xué)概念

日常概念是指未經(jīng)專(zhuān)門(mén)的教學(xué)，而在日常生活中通過(guò)辨別學(xué)習(xí)、積累經(jīng)驗(yàn)而掌握的概念.如兒童腦中的“垂線(xiàn)”概念是日常概念，因?yàn)閮和鶕?jù)日常經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為垂線(xiàn)是與水平線(xiàn)垂直的線(xiàn).科學(xué)概念則是在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)揭示概念的內(nèi)涵而形成的概念.

二、概念的獲得

概念的獲得意味著要求學(xué)生掌握一類(lèi)事物的共同本質(zhì)屬性，并能辨別本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，能列舉出概念的例證和反例.

兒童獲得概念的三種基本形式是

概念的形成、概念的同化、和概念的順應(yīng).

（一）概念獲得的心理分析1.概念的形成（conceptformation）

概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類(lèi)事物的共同本質(zhì)屬性的過(guò)程.

學(xué)生如何通過(guò)概念的形成方式來(lái)獲得“扇形”這個(gè)數(shù)學(xué)概念.（P130）

由于兒童，尤其是學(xué)前兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念都是一些比較具體的概念，缺乏精確的定義性概念，而且理解能力有限，因此，他們獲得概念的典型方式是概念的形成.例如，我們完全可以讓兒童背誦“圓”這個(gè)數(shù)學(xué)概念：“圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.”但是他們能否獲得這個(gè)概念的意義呢？事實(shí)上，囿于認(rèn)知水平，兒童是不可能獲得這個(gè)精確概念的.他們只能從大量的圓形的例證和反例中歸納出一些視覺(jué)上的共同屬性，從而獲得具體的、模糊的、日常的圓概念.以概念的形成方式獲得精確概念的心理過(guò)程如圖5-3所示2．概念的同化（conceptassimilation）同化是指學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)吸收新的信息，從而使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的過(guò)程.

概念的同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀(guān)念來(lái)理解接納新概念的過(guò)程.概念的同化過(guò)程不僅使新概念獲得了意義，而且擴(kuò)大和深化了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在數(shù)學(xué)中，大多數(shù)概念是以屬概念（在概念的從屬關(guān)系中，外延大的概念稱(chēng)為屬概念）加種差（即關(guān)鍵屬性）的方式定義的.同化以這種方式定義的概念，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)屬概念重新進(jìn)行分類(lèi)，分類(lèi)的依據(jù)是種差，并借助于具體的例證進(jìn)行.例如，要同化梯形的概念：“一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形.”就要對(duì)屬概念“四邊形”進(jìn)行分類(lèi)，分類(lèi)的依據(jù)是種差：“一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行”.于是，從屬概念中就分化出一個(gè)新的種概念“梯形，再借助于豐富的例證，學(xué)習(xí)者就明確了梯形概念的內(nèi)涵和外延.同化的結(jié)果，梯形概念獲得了心理意義，原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到擴(kuò)展和深化.3．概念的順應(yīng)（conceptaccommodation）

順應(yīng)原本是一個(gè)生物學(xué)概念，它是指有機(jī)體調(diào)節(jié)自己的內(nèi)部結(jié)構(gòu)以適應(yīng)特定刺激情境的過(guò)程.

所謂概念的順應(yīng)，是指當(dāng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能同化新概念時(shí)，就要調(diào)整或改變?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便概括新概念.

例如，當(dāng)學(xué)生同化不了正、負(fù)數(shù)的概念時(shí)，可以采取順應(yīng)的方式。具體做法是，首先，通過(guò)概念形成的方式幫助學(xué)生建立新觀(guān)念：“現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的具有相反意義的量.”然后通過(guò)提出問(wèn)題使學(xué)生體會(huì)到：要清楚地區(qū)分這兩種不同的量，揭示它們之間的關(guān)系，只有算術(shù)數(shù)是不夠的.最后再指出，如果把其中的一種量規(guī)定為正的，那么另一種量就是負(fù)的.前者用“+（算術(shù)數(shù)）”來(lái)表示，后者用“-（算術(shù)數(shù)）”來(lái)表示，由此就引出了正、負(fù)數(shù)的概念.

（二）數(shù)學(xué)概念的兩種教學(xué)模式由于獲得概念的主要方式是概念的形成和概念的同化,因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)主要采取兩種模式.1．概念形成的教學(xué)模式概念的形成是由特殊到一般，由具體到抽象的過(guò)程，因此，對(duì)于那些初次接觸或較難理解的概念，可以采用概念的形成方式進(jìn)行學(xué)習(xí).其教學(xué)過(guò)程如圖5-5所示.

例如，映射概念的教學(xué)（P133-135）

2．概念同化的教學(xué)模式.

概念的同化實(shí)質(zhì)上是學(xué)習(xí)者利用已掌握的概念去理解新概念，或者對(duì)原有的概念重新進(jìn)行加工整理的過(guò)程，它是一種有意義的學(xué)習(xí).以概念的同化方式來(lái)學(xué)習(xí)新概念必須具備三個(gè)條件:一是學(xué)習(xí)者必須具備“我要學(xué)”的動(dòng)力；二是新概念必須有邏輯意義；三是學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具備同化新概念所需要的觀(guān)念.這種學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是要把握好新概念與原有概念之間的關(guān)系.這就要求教師必須了解學(xué)生對(duì)原有概念掌握的情況.原有的概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就越容易.其教學(xué)過(guò)程如圖5-12所示.例如，奇函數(shù)概念的教學(xué)（P135-136）

三、促進(jìn)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的教學(xué)建議

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程大致分為概念的引入、概念的理解和概念的運(yùn)用三個(gè)階段.

（一）概念的引入概念的引入是學(xué)生獲得概念的前奏，并極大地影響著學(xué)生對(duì)概念的理解和運(yùn)用.因此，數(shù)學(xué)概念的引入是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié).由于概念的形成、概念的同化和概念的順應(yīng)是獲得概念的三種方式，因此，數(shù)學(xué)概念的引入可以按這三種方式來(lái)進(jìn)行.至于使用哪一種引入方式，教師可以根據(jù)概念的定義形式來(lái)選取.另外，由于概念的學(xué)習(xí)是一種有意義的學(xué)習(xí)，因此在引入概念時(shí)還要考慮學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn).

1.根據(jù)概念的定義形式引入

數(shù)學(xué)中的概念一般都是比較精確的定義性概念.概念定義的形式多種多樣，不同形式的定義要考慮不同的引入方式.

（1）如果概念是以屬概念加種差的形式給出，那么這一類(lèi)概念一般按概念同化的方式引入.此時(shí)，教師應(yīng)著重講解定義中的屬概念和種差，使學(xué)生明確，新概念既具有屬概念的一切屬性，又具有自身所特有的關(guān)鍵屬性（種差）.

（2）在以屬概念加種差的形式定義的概念中，有些概念的屬概念的內(nèi)涵很少，外延很大，而種差較為抽象，學(xué)生同化有困難.這時(shí)，教師應(yīng)該避開(kāi)抽象內(nèi)涵的講解，從概念的外延入手，選擇概念形成的方式來(lái)引入.例如，等比數(shù)列的概念：“如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.”如果學(xué)生的認(rèn)知水平較高，那么可以按概念同化的方式來(lái)引入.但如果學(xué)生的認(rèn)知水平較低，那么可以按概念形成的方式來(lái)引入.（3）對(duì)于以發(fā)生式定義（即以被定義概念所反映的對(duì)象產(chǎn)生或形成的過(guò)程為種差的定義）的概念，應(yīng)該按概念同化的方式來(lái)引入.但此時(shí)教師講課的重點(diǎn)不只是講解定義的種差，還要通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示其發(fā)生過(guò)程，讓學(xué)生具體操作，體驗(yàn)其形成過(guò)程，以幫助學(xué)生把握概念的關(guān)鍵屬性.例如，對(duì)于橢圓概念……

（4）對(duì)于形式定義的概念，一般按概念同化的方式來(lái)引入.教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)抓住定義的模型，任何突破模型的形式都不是定義本身.例如，冪函數(shù)的定義（P138）在形式定義中，對(duì)于規(guī)定定義要講清兩點(diǎn)：一是規(guī)定的必要性，即為什么要規(guī)定；二是規(guī)定的合理性，即這樣規(guī)定的道理.對(duì)于那些處于概念體系中起著基礎(chǔ)作用和核心作用的形式定義的概念如正、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，由于學(xué)生缺乏適當(dāng)?shù)?、用于同化的觀(guān)念，也缺乏屬于直接經(jīng)驗(yàn)的、用于概括的例證，因此，這一類(lèi)概念應(yīng)按概念順應(yīng)的方式來(lái)引入.事實(shí)上，數(shù)學(xué)概念的定義形式不限于以上幾種，這些概念的引入應(yīng)具體問(wèn)題具體分析.

2.根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn)引入

概念學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，根據(jù)有意義學(xué)習(xí)的條件，學(xué)習(xí)者必須具備有意義學(xué)習(xí)的心向.要做到這一點(diǎn)，除了激發(fā)外在動(dòng)機(jī)的手段之外，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn)，充分激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)機(jī).

學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn)，一方面表現(xiàn)為天生就具備的積極向上、探索奧秘的求知欲，另一方面表現(xiàn)為心理平衡傾向.如果教學(xué)內(nèi)容具有新奇性、運(yùn)動(dòng)性、可探索性等特點(diǎn)，那么就能激發(fā)學(xué)生的求知欲.一旦他們覺(jué)得“有趣”，就能自覺(jué)地集中注意力，全神貫注地學(xué)習(xí).原蘇聯(lián)教育家?jiàn)W加涅相教授指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好壞很大程度上取決于學(xué)習(xí)興趣的產(chǎn)生和保持.”因此，在引入新概念時(shí)，若能注意引入方式的趣味性，就會(huì)收到良好的教學(xué)效果.

例如，在引入等速螺線(xiàn)概念時(shí)，教師告訴學(xué)生：一只螞蟻，在一根豎直不動(dòng)的教鞭上向上豎直爬行，其軌跡是一條射線(xiàn)；如果螞蟻不動(dòng)，教鞭繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，螞蟻的軌跡是一個(gè)圓周；如果螞蟻沿教鞭爬行，教鞭又在豎直平面上繞其一個(gè)端點(diǎn)作勻速旋轉(zhuǎn)，螞蟻的軌跡是什么呢？這樣就很自然地引入了等速螺線(xiàn)的概念.又如用“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”來(lái)引入數(shù)列極限的概念，就能激發(fā)學(xué)生的興趣，有利于極限概念的理解.

心理平衡傾向是指?jìng)€(gè)體對(duì)心中的問(wèn)題非要解決不可，以獲得心理滿(mǎn)足的傾向.教師在引入新概念時(shí)，若能注意提問(wèn)激疑，設(shè)置懸念,就能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，使他們自覺(jué)積極地學(xué)習(xí)新概念.例如，（P138-139）

(二)概念的理解

概念的引入是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，它為正確理解概念奠定了基礎(chǔ).但要使學(xué)生透徹理解并掌握所學(xué)的概念，教師還要注意以下四個(gè)方面.

1．加強(qiáng)對(duì)概念的解剖分析數(shù)學(xué)概念是借助于數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)來(lái)表達(dá)的，其用語(yǔ)、用詞一般都非常嚴(yán)密、精煉，具有高度的概括性，因而，有的概念敘述十分簡(jiǎn)練，寓意深刻；有的用符號(hào)、式子表示，比較抽象.對(duì)這些概念，教師必須抓住概念中的關(guān)鍵詞句進(jìn)行解剖分析，揭示每一個(gè)詞、句、符號(hào)、式子的內(nèi)在含義，使學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)屬性.

2.利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性

變式是指概念例證在非本質(zhì)屬性方面的變化.利用變式的目的是通過(guò)非本質(zhì)屬性的變化來(lái)突出本質(zhì)屬性，使獲得的概念更精確、更穩(wěn)定.

3.注意概念的對(duì)比和直觀(guān)化

數(shù)學(xué)中有許多概念是平行相關(guān)的概念，如果能將它們有機(jī)地聯(lián)系在一起進(jìn)行類(lèi)比，就可以收到由此及彼、溫故而知新的效果.如分?jǐn)?shù)和分式的類(lèi)比、數(shù)列極限和函數(shù)極限的類(lèi)比、平面幾何與