切線的判定與性質(zhì)

知識(shí)回顧相離相切相交d<r

d=rd>r．Ｏl┐dr．Ｏl┐dr．Ｏl┐dr沒(méi)有公共點(diǎn)唯一的公共點(diǎn)兩個(gè)公共點(diǎn)位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)數(shù)量關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系有幾種？用數(shù)量關(guān)系如何來(lái)判斷？

知識(shí)回顧相切d=r．Ｏl┐dr唯一的公共點(diǎn)判斷一條直線是圓的切線，你現(xiàn)在會(huì)有多少種方法?1、和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線。2、圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線。１、切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。２、圓心到切線的距離等于半徑。切線具有什么性質(zhì)？定義法：數(shù)量法（d=r

）：

問(wèn)題:如圖，在⊙O中，經(jīng)過(guò)半徑OA的外端點(diǎn)A作直線l⊥OA

，則直線l與⊙O的位置關(guān)系怎樣？為什么？lAOdr條件一：直線l經(jīng)過(guò)半徑OA

的外端點(diǎn)A條件二：直線l

垂直于半徑OAd=r相切切線的判定定理

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。Ol

A∵OA⊥l∴l(xiāng)是⊙O的切線。幾何符號(hào)表達(dá)：切線的判定定理

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。OA是半徑，于A判斷1.過(guò)半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的的直線是圓的切線（）3.過(guò)半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（）×××OrlAOrlAOrlA利用判定定理時(shí)，要注意直線須具備以下兩個(gè)條件,缺一不可:

(1)直線經(jīng)過(guò)半徑的外端;

(2)直線與這半徑垂直。OrA判斷一條直線是圓的切線，你現(xiàn)在會(huì)有多少種方法?有以下三種方法:

歸納切線的判定方法1、定義法：和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線。2、數(shù)量法（d=r）：圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線。3、判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

下雨天快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的水滴，以及在砂輪上打磨工件飛出的火星，均沿著圓的切線的方向飛出．

1.當(dāng)你在下雨天快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí),水滴順著傘的什么方向飛出去的？

2.砂輪打磨零件時(shí),濺出火星沿著砂輪的什么方向飛出去的?生活中的數(shù)學(xué)改變切線判定定理的題設(shè)與結(jié)論

如果直線l是⊙O的切線，切點(diǎn)為A,那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。O．l思考？A∵直線l切⊙O于點(diǎn)Ａ，∴ＯＡ⊥l幾何符號(hào)表達(dá)：１、圓的切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。２、圓心到切線的距離等于半徑。３、圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線的性質(zhì)歸納如圖，AB是⊙O的直徑，直線l1、l2是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn),直線l1、l2有怎樣的位置關(guān)系？·OABl1l2l1∥l2證明:∵

l1是⊙O切線，l2是⊙O切線，∴l(xiāng)1⊥OA，l2⊥OB.∴

l1∥l2.小試牛刀：〖例1〗已知：直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。OBAC分析：由于AB過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明AB⊥OC即可。證明：連接OC(如圖)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線。∴AB⊥OC。∴

AB是⊙O的切線?！祭?〗已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCED證明：過(guò)O作OE⊥AC于E?！逜O平分∠BAC，OD⊥AB,OE⊥AC∴OE＝OD∵OD是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線。小結(jié)例1與例2的證法有何不同?(1)如果已知直線與圓有公共點(diǎn),則連接這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡(jiǎn)記為：有交點(diǎn),連半徑,證垂直。用判定定理證。(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn),則過(guò)圓心作直線的垂線段為輔助線,再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為：無(wú)交點(diǎn),作垂直,證半徑。用數(shù)量法（d=r）證。連接OC（交點(diǎn)C已給出）過(guò)O作OE⊥AC于E（交點(diǎn)E未給出）OBACOABCDE1、如圖，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，5為半徑的⊙O與OA、OB相交。求證：AB是⊙O的切線。OBAC2、如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP無(wú)交點(diǎn),作垂直,證半徑。有交點(diǎn),連半徑,證垂直

練一練1、如圖，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，5為半徑的⊙O與OA、OB相交。求證：AB是⊙O的切線。OBAC無(wú)交點(diǎn),作垂直,證半徑。

練一練證明：過(guò)O作OC⊥AB于C∵OA＝OB,OC⊥AB

。

在Rt△AOC中,∠A＝30°,

OA＝10∴OC=5。又∵⊙O的半徑為5∴PE為⊙0的切線。∴∠AOC=∠AOB＝60°

。證明：連接OP?！逜B=AC,∴∠B=∠C?！逴B=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C。∴OP∥AC?！逷E⊥AC，∴PE⊥OP?！郟E為⊙0的切線。2、如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP

練一練有交點(diǎn),連半徑,證垂直如圖CB是⊙O的切線,C是切點(diǎn),OB交⊙O于D,∠B＝30°,OB=6cm,求BCCOBD〖例3〗解：連接OC∵

CB切⊙O于C,∴

OC⊥BC。在Rt△BOC中,∠B＝30°,OB＝6∴

OC=3?！?/p>

BC==注：在已知圓的切線時(shí)，常連接過(guò)切點(diǎn)的半徑如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC,∠C=30°

，AD=1，AB=2.試猜想在BC是否存在一點(diǎn)P，