初中奧數(shù)幾何講解

初中奧數(shù)（幾何）考點歸納：1.幾何基本概念與簡單圖形2.三角形，解直角三角形，相似形3.四邊形，平面圖形的初步變化4.圓知識梳理（1）：幾何的基本概念與簡單圖形線段與角的推理計算平行線，相交線通過面積割補練習(xí)推理通過面積割補法：

面積割補的知識大家早已熟悉，其中“等底等高的兩個三角形面積相等”是非常重要的等積變形定理?！叭切蔚囊贿呏形痪€平分這個三角形的面積。”是它的直接推論。兩直線平行的等積判定準(zhǔn)則：

如圖所示，線段BC在線段m上，A,D在m的同側(cè)，若△ABC與△DBC面積相等，則點A,D所在直線n必與直線m平行。ADBCnm知識梳理（2）：三角形相似形三角形及其邊角關(guān)系全等三角形，等腰三角形直角三角形與勾股定理三角形的不等關(guān)系三角形的中位線定理相似三角形三角形平分線性質(zhì)定理及其應(yīng)用梅內(nèi)勞斯定理于塞瓦定理及其應(yīng)用梅內(nèi)勞斯定理梅內(nèi)勞斯定理：X,Y,Z分別是△ABC三邊所在的直線BC,CA,AB上的點,則X,Y,Z共線的充分必要條件是

ABCXYZabcABCXYZabc由定理可得以上兩種圖形：1.X,Y,Z三點之中只有一點在三角形的延長線上，而其它兩點在三角形的邊上2.X,Y,Z三點分別都在三角形三邊的延長線上證明定理：證明（1）必要性，即若X,Y,Z三點共線，則設(shè)A,B,C到直線XYZ的距離分別是a,b,c則三式相乘及得(2)充分性即若則X,Y,Z三點共線設(shè)直線XZ交AC與,由此證必要性得：又固已知得：∴因為和Y或同在AC線段上，或同在AC邊的延長線上，并且并且能分得比值相等，所以和Y必重合為一點，也就是X,Y,Z三點共線。梅內(nèi)勞斯定理的應(yīng)用：1.求共線線段的比2.證明三點共線賽瓦定理連接三角形一頂點和對邊上一點的線段叫做這個三角形的一條塞瓦線。

賽瓦定理：從△ABC的每個頂點出發(fā)作一條賽瓦線，AX,BY,CZ.則AX,BY,CZ共點的充要條件是ABCXYZC1

B1

賽瓦定理實質(zhì)上包含充分性和必要性兩個命題：充分性命題設(shè)△ABC的三條賽瓦線AX,BY,CZ共點，則必有必要性命題設(shè)△ABC中，AX,BY,CZ是三條賽瓦線，如果則AX,BY,CZ三線共點。賽瓦定理的應(yīng)用

1.利用必要性可證明三線共點問題。2.利用充分性可以證明線段之間的比例式或乘積式。知識梳理（3）：四邊形平面圖形的初步變化矩形，菱形，正方形，多邊形平行四邊形及其判定梯形的判定及中位線定理平移，軸對稱，圖形的旋轉(zhuǎn)面積問題與面積方法知識梳理（4）：圓垂徑定理及其應(yīng)用圓周角定理及其應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形與四點共圓圓冪定理及其應(yīng)用點與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系和圓有關(guān)的比例線段三角形中的四心正多邊形和圓幾何中的定值和最值垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。ABCDOr∵OC⊥AB則AD=AB∠AOD=∠BOD其中，OB叫做弦AB的弦心距離。應(yīng)用：通過垂徑定理來確定圓的圓心與半徑，從而確定圓。圓冪定理相交弦定理與切割弦定理統(tǒng)稱為圓冪定理。相交弦定理圓的弦相交與圓內(nèi)一點，各弦被點內(nèi)分成的兩條線段的乘積相等。圖1所示，有PA·PB=PC·PD切割弦定理圓的延長線相交與圓外一點，各被這點外分成的兩條線段的乘積相等，并且等于這點到的切線的平方。圖1所示，有PA·PB=PC·PD=PC·PCABCDP圖1ABPCDE圖2應(yīng)用：圓冪定理多用來證明線段的乘積式與比例式，或者用于計算圓中的線段。圓冪定理的逆定理多用來證明四點共圓及圓與直線相切。線段與角的求解1.如圖所示，OM是∠AOB的平分線，射線OC在∠BOM內(nèi)，ON是∠BOC的平分線。已知∠AOC=80°，求∠MON的度數(shù)。OABCMN解：因為OM是∠AOB的平分線，所以∠AOM=∠BOM（角平分線的定義）

又ON是∠BOC的平分線所以∠BON=∠CON

所以∠BOC=2∠NOC……………（*）由圖可知∠AOM+∠COM=∠AOC=80°

所以∠BOM+∠COM=80°（等量代換）但∠BOM=∠BOC+∠COM（全量等于各部分的和）所以∠BOC+∠COM+∠COM=80°

即∠BOC+2∠COM=80°

將（*）代入得2∠NOC+2∠COM=80°

即∠NOC+∠COM=40°

所以∠MON=40°2.如圖所示，C是線段AB上一點，D是線段CB的中點,已知圖中所有線段的長度之和等于23cm，線段AC與線段BC的長度都是正整數(shù)，求線段AC的長度是多少cm？ABCD解：設(shè)線段AC的長為x，CB的長為y，則x,y均為正整數(shù)。在圖中所有線段及其長度表示如下：AC=x,AD=x+AB=x+y,CD=,DB=CB=由所有線段的和等于23cm，列出方程：x+（x+）+（x+y）++y+=23

即3x+=23………………..(*)由于x,y均為正整數(shù)，根據(jù)(*)式，可知為正整數(shù)，從而y為偶數(shù)。當(dāng)y≥6時，3x+≥23，所以y只能取2或4.當(dāng)y=2時，由3x+=23，求出x=不是整數(shù)，所以y≠2,因此，只能y=4,進而x=3即線段AC的長度是3.平行線和相交線3.如圖所示，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度數(shù)。AFBCDE解：如圖過B做BP∥CD.∵CD∥AF,∴BP∥AF

由BP∥CD，∴∠C+∠CBP=180°∴∠CBP=180°-∠C=180°-124°=56°

已知AB⊥BC,∠CBA=90°

所以∠PBA=90°-56°=34°∵BP∥AF,∴∠A=180°-∠C=180°-34°=146°=∠CDF

過E做EQ∥CD.由于CD∥AF,得EQ∥AF

則∠DEQ=180°-∠CDE=180°-146°=34°

又已知∠DEF=80°，所以∠QEF=80°-34°=46°因為EQ∥AF，則∠F+∠QEF=180°所以∠F=180°-∠QEF=180°-46°=134°面積割補法4.四邊形ABCD的面積為S,點E,F,M,N分別為

AB,DC的三等分點，求證：四邊形EFNM

的面積等于ABCDMNEF證明：連接BD,DE,BN二式相加得：連接EN，可知相加得5.證明：等邊三角形內(nèi)一點到三邊距離之和等于定值，這個定值是這個等邊三角形的高。ABCDEFH證明：已知△ABC中，AB=BC=CA=a，P為△ABC內(nèi)一點，PD⊥AB于D,PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，AH⊥BC于H記，PD=,PE=,PF=,AH=h,聯(lián)接PA,PB,PC.則可得則∴即即PD+PF+PE=h梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是

塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點）△ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的充要條件是例1.（梅氏定理）過△ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：【分析】連結(jié)并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。DEG截△ABM→DGF截△ACM→例2.（塞瓦定理）設(shè)X、Y、Z分別是△ABC的邊BC、CA、AB上的點，若則AX、BY、CZ三線共點.解：設(shè)ＡＸ與ＢＹ交于點Ｏ，連ＺＯ、ＯＣ．設(shè)易知△ＡＯＺ＝λ△ＢＯＺ，△ＡＯＣ＝λμ△ＡＯＢ＝λμ（）＝λ△ＢＯＣ，∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ－△ＡＯＺ－△ＡＯＣ＝△ＡＢＣ－λ△ＢＯＺ－λ△ＢＯＣ∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ＝△ＢＺＣ∴Ｚ、Ｏ、Ｃ共線．∴ＡＸ、ＢＹ、ＣＺ共點．1.已知：二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0兩個不相等的實數(shù)根，恰好是直角三角形兩個銳角的正弦值.求：這個直角三角形的斜邊與斜邊上的高的比.解：作Rt△ABC斜邊上的高CD。

∵sinA和sinB是方程的兩根，根據(jù)韋達定理，得

當(dāng)m=1時，沒有意義；當(dāng)m=-8時，即直角三角形斜邊與斜邊上的高的比是32∶9.2.如圖已知：△ABC中，AD是角平分線BE＝CF，M、N分別是BC和EF的中點。求證：MN∥AD

證明一：連結(jié)EC，取EC的中點P，連結(jié)PM、PN，則有MP∥BE，NP∥CF，∵BE＝CF，∴MP＝NP，∴∠2=∠3∴MN∥AD證明二：連結(jié)并延長EM到G，使MG＝ME連結(jié)CG，F(xiàn)G，則MN∥FG，△MCG≌△MBE∴CG＝BE＝CF，∠B＝∠BCG

∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180°∠CAD＝（180°－∠FCG）∠CFG＝（180°－∠FCG）=∠CAD∴

MN∥AD證明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延長線于點E、F，ACDE和BCDF都是平行四邊形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF

作DH⊥AB于H，根據(jù)勾股定理AH＝，F(xiàn)H＝∵AD＞BC，AD＞DF，∴AH＞FH，EH＞BH

DE＝，BD＝∴DE＞BD，即AC＞BD3.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC。求證：AC＞BD4.已知：△ABC中，AB＝AC，點P在中位線MN上，BP，CP的延長線分別交AC，AB于E，F(xiàn).求證：有定值。證明：設(shè)MP為t,則NP=a－t.∵MN∥BC，∵c是定線段，∴是定值.，即有定值.

5.已知：△ABC中，,求：的值.解：∵△ADF和△ABC有公共角∠A，6．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，若∠BDE=∠CDF，E、F分別為AB、AC上的點。求證：

.解：如圖，過E作EM⊥BC于M，過F作FN⊥BC于N，∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵∠BDF=∠CDF∴△BDE∽△CDF，DE：DF=BD：CD又∵∠EMD=90°=∠FND∠BDE=∠CDF∴△MDE∽△NDFDE：DF=EM：FN∴BD：CD=EM：FN∴BD·FN==CD·EM即初中數(shù)學(xué)競賽幾何部分——四邊形1.四邊形在競賽中的主要知識點2.四邊形的一般解題方法四邊形在競賽中的主要知識點四邊形包括平行四邊形，矩形，梯形，菱形和不規(guī)則四邊形以下箭頭可以表示上述各概念間的從屬關(guān)系：定義：兩組對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形。性質(zhì)：對角分別相等；對邊分別相等；對角線互相平行；對角線的平方和等于四條邊的平方之和。（可用勾股定理證明）推論：三角形兩邊的平方和等于第三邊上中線的平方與第三邊之半的平方和的2倍。歐拉定理：四邊形各邊的平方之和等于其對角線的平方和加上兩對角線中點連結(jié)線段的平方之4倍。判定定理：若有下列條件之一成立，四邊形即為平行四邊形①對角分別相等；②對邊分別相等；③一組對邊平行且相等；④對角線互相平分；⑤對角線的平方和等于四邊的平方和平行四邊形定義：一個四邊形中如果有一組對邊平行，這個四邊形稱為廣義梯形。一個四邊形中如果一組對邊平行，另一組對邊不平行，這個四邊形稱為狹義梯形。梯形的中位線定理：梯形兩腰中點的連線（中位線）平行于底邊且等于兩底和的一半。注：有關(guān)梯形的問題，常通過引高線、平移腰或?qū)蔷€，將梯形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題。這是解決梯形問題常用的添設(shè)輔助線的方法。梯形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形稱為正方形。性質(zhì)：四個角都是直角，四條邊都相等，對角線相等且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。注：正方形問題常轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解決，在解題時，利用正方形的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形和等邊三角形，再利用勾股定理等解決問題。正方形托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。定理證明、推論/view/148250.htm#2補充：第一類常見的方法是添加輔助線將四邊形轉(zhuǎn)化為有關(guān)三角形的問題：例：ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：∠EMC=3∠BEM．

分析由于∠EMC是△BEM的外角，因∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決。利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開．證明：延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，

DM為斜邊的線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以∠MDC=∠CMD，則∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．從而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．第二類是利用四點共圓構(gòu)造隱含的輔助圓解題，這一類雖然涉及較少，在大題中應(yīng)用不多，但作為一種解題方法，對于一些選擇填空題，可以讓學(xué)生更加簡便地得出答案。例3：凸四邊ABCD，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2,CD=1，對角線AC、BD交于點O，求sin∠AOB的值。

分析：由∠BAD=∠BCD=90°，可知A、B、C、D四點共圓。欲求sin∠AOB，聯(lián)想到托勒密定理，只需求出BC、AD即可。解：因∠BAD=∠BCD=90°，所以A、B、C、D四點共圓延長BC、AD交于P，則∠ADP=∠ABC=60°設(shè)AD=x，有AP=，DP=2x由割線定理得：（）=2x（1+2x）解得AD=，BC=BP=由托勒密定理有BDCA=()()+21=又=+=故sin∠AOB=第三類是補形法。利用輔助線將四邊形補充為平行四邊形或三角形來解決問題。

例：如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為多少．如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．由已知可得BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是EF＝4＋．過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得AD＝=例：在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，，BC=CD=12,，若AE=10，則CE的長為

.解：延長DA至M，使BM⊥BE.過B作BG⊥AM，G為垂足.易知四邊形BCDG為正方形，所以BC=BG.又，∴Rt△BEC≌Rt△BMG.∴BM=BE，，∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.設(shè)CE=x，則AG=，AD=，DE=.在Rt△ADE中，，∴，即， 解之，得，.故CE的長為4或6.第四類是采用旋轉(zhuǎn)的方法。將圖形旋轉(zhuǎn)，尋覓圖形間的聯(lián)系，匯聚已知條件和結(jié)論，才能達到解決問題的目的。解：將直角△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至△CBE處，則BE=BM。，N、C、E共線，所以NE=NC+CE=NC+AM由題意得：AM+CN=MN所以NE=MN又因為BE=BM,BN=BN所以△BMN≌△BEN所以所以例：正方形ABCD中，M、N分別在AD、DC邊上，且△MDN的周長等于正方形的周長的一半，求的度數(shù)。第五類是涉及動態(tài)幾何定值的題目。這一類題目在大題中非常常見，具有一定的難度，也是考生需要重點理解掌握的知識。例：平面上有兩個邊長相等的正方形ABCD，A’B’C’D’，且正方形A’B’C’D’的頂點A’在正方形ABCD的中心。當(dāng)正方形A’B’C’D’繞A’轉(zhuǎn)動時，兩個正方形的重合部分的面積必然是一個定值。這個結(jié)論對嗎？證明你的判斷。解：結(jié)論正確，證明如下：如圖，當(dāng)A’B’C’D’的邊與ABCD的邊對應(yīng)平行時，易知重合部分面積為正方形面積的當(dāng)轉(zhuǎn)動到實線正方形A’B’C’D’位置時，易證，所以兩個正方形重合部分面積仍為正方形面積的，是個定值。圓的有關(guān)性質(zhì)垂經(jīng)定理（線、角、弧等價關(guān)系）圓心角、弧、弦、弦心距間的關(guān)系與圓有關(guān)見得關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系切線的性質(zhì)定理切線長定理弦切角定理圓冪定理（線間的關(guān)系）圓與圓的位置關(guān)系相交兩圓的性質(zhì)定理相切兩圓的性質(zhì)定理兩圓的公切線定理圓考點總結(jié)四點共圓問題?？键c知識補充.四點共圓判定定理:a.到一個定點的距離相等的所有的點在同一個圓上(圓的定義).b.一組對角互補的四邊形頂點在同一圓上（包括其推論）.c.同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點共圓d.切割線定理的逆定理e.相交弦定理的逆定理

推論：同斜邊的直角三角形頂點共圓(斜邊就是圓的直徑).西姆松及其逆定理：

過三角形外接圓上任一點作三邊（或所在直線）的垂線，則三垂足共線；反之，若自一點作三角形三邊所在直線的垂線足共線，則該點在三角形的外接圓上.如下圖

直線與圓的關(guān)系有關(guān)問題例題1.如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD＝4DC。已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G。求證：AD⊥BF（全國聯(lián)賽題）分析：已知條件中有切線自然容易聯(lián)想到應(yīng)用切割線定理得到有關(guān)線段間的比例再根據(jù)BD=4DC

易聯(lián)想要做一條平行線。關(guān)鍵是應(yīng)用線的轉(zhuǎn)化。證明：如圖，作DE⊥AC于E，則AC＝AE，AG＝ED。由切割線定理有：AG2＝AF·AC，∴ED2＝AF·AE，∴5ED2＝AF·AE，∴AB·ED＝AF·AE，∴，∴△BAF∽△AED，∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠ABF＋∠DAB＝90°，

小結(jié)：本題主要考察了切割線定理的應(yīng)用和線間的轉(zhuǎn)化進而轉(zhuǎn)化為角的轉(zhuǎn)化兩個圓的關(guān)系有關(guān)問題例題2.圓O1與O2圓外切于點A，兩圓的一條外公切線與圓O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則圓O1與圓O2的半徑之比為（）（2002年全國聯(lián)賽題）(A)2：5 (B)1：2(C)1：3(D)2：3小結(jié)：本題選C。綜合考察了圓的切線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)及相切兩圓的性質(zhì)。BAO1O2四點共圓問題例題3.⊙O過△ABC頂點A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).△ABC

外接圓和△BKN外接圓相交于B和M.求證：∠BMO=90°.(IM