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.已知函數(shù)f(x)=lnx+eq\f(1,2)x2-ax+a(a∈R).(1)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)在x=x1和x=x2處取得極值,且x2≥eq\r(e)x1(e為自然對數(shù)的底數(shù)),求f(x2)-f(x1)的最大值.6.解析(1)∵f′(x)=eq\f(1,x)+x-a(x>0),又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴恒有f′(x)≥0,即eq\f(1,x)+x-a≥0恒成立,∴a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))min,而x+eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”,∴a≤2.即函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)時,a的取值范圍是(-∞,2].(2)∵f(x)在x=x1和x=x2處取得極值,且f′(x)=eq\f(1,x)+x-a=eq\f(x2-ax+1,x)(x>0),∴x1,x2是方程x2-ax+1=0的兩個實根,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=a,x1x2=1,∴f(x2)-f(x1)=lneq\f(x2,x1)+eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)-xeq\o\al(2,1))-a(x2-x1)=lneq\f(x2,x1)-eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)-xeq\o\al(2,1))=lneq\f(x2,x1)-eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)-xeq\o\al(2,1))eq\f(1,x1x2)=lneq\f(x2,x1)-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)-\f(x1,x2))),設(shè)t=eq\f(x2,x1)(t≥eq\r(e)),令h(t)=lnt-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(1,t)))(t≥eq\r(e)),則h′(t)=eq\f(1,t)-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,t2)))=-eq\f((t-1)2,2t2)<0,∴h(t)在[eq\r(e),+∞)上是減函數(shù),∴h(t)≤h(eq\r(e))=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\r(e)+\f(\r(e),e))),故f(x2)-f(x1)的最大值為eq\f(
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