概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版)第八章

第八章假設檢驗§8.1假設檢驗根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個假設是否正確。參數(shù)假設檢驗非參數(shù)假設檢驗讓我們先看一個例子：參數(shù)假設檢驗罐裝可樂的容量按標準為355毫升。生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運。怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？通常的辦法是進行抽樣檢查：如每隔1小時，抽查5罐，得到一個容量為5的子樣（x1，…，x5）。每隔一定時間，抽查若干罐。如何根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常？在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機因素的影響，每罐可樂的容量應在355毫升上下波動。這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位。因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的。要檢驗的假設：H0：（=355）對立假設：H1：稱

H0為原假設（零假設）；稱H1為備擇假設（對立假設）。在實際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設。如何判斷原假設H0

是否成立？對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì)：

差異可能是由抽樣的隨機性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機誤差合理的界限在何處？應由什么原則來確定？必須認為這個差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常。這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”

帶概率性質(zhì)的反證法小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生。方法：原則：例這里有兩個盒子，各裝有100個球。另一盒中的白球和紅球數(shù)99個白球一個紅球…99個一盒中的白球和紅球數(shù)99個紅球一個白球…99個現(xiàn)從兩盒中隨機取出一個盒子，問這個盒子里是白球99個還是紅球99個？假設：這個盒子里有99個白球。從中隨機摸出一個：p=1/100

是小概率事件小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生。我們有很大的把握說：原假設：“這個盒子里有99個白球?！?/p>

不成立一般的反證法要求在原假設成立的條件下導出的結(jié)論是絕對成立的，如果事實與之矛盾，則完全絕對地否定原假設。概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗中居然發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設?！靶「怕省痹摱嘈?？在假設檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性水平，用表示。的選擇要根據(jù)實際情況而定。常取現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：H0：（=355）H1：對給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點的值，使0也就是說,“”是一個小概率事件。W：為拒絕域如果由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0

；否則，不能拒絕H0。這里所依據(jù)的邏輯是：如果H0

是對的，那么衡量差異大小的某個統(tǒng)計量落入?yún)^(qū)域W(拒絕域)是個小概率事件。如果該統(tǒng)計量的實測值落入W，也就是說，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認為H0不可信而否定它。否則我們就不能否定H0

（只好接受它）。不否定H0并不是肯定H0

一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達到足以否定H0的程度。所以，假設檢驗又叫“顯著性檢驗”。如果在很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實際情況很可能與之有顯著差異。基于這個理由，人們常把時拒絕H0稱為是顯著的，而把在時拒絕H0稱為是高度顯著的。假設檢驗的一般步驟：

1.提出原假設和備擇假設；

2.取一檢驗統(tǒng)計量，在H0成立下求出它的分布；3.對給定的顯著性水平α，查表確定臨界值，從而得否定域

；

4.將樣本值代入算出統(tǒng)計量的實測值,并以此作出結(jié)論。

例1

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米.實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?統(tǒng)計解：已知X~未知。

得拒絕域：W:|t|>4.0322對給定的顯著性水平=0.01，查表計算

<4.0322沒有落入拒絕域結(jié)論：不能拒絕H0，這批產(chǎn)品合格。假設檢驗會不會犯錯誤呢？小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生。不是一定不發(fā)生我們使用的原則是：兩類錯誤第一類錯誤如果H0成立，但統(tǒng)計量的實測值落入拒絕域，從而作出拒絕H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯誤。第二類錯誤如果H0不成立，但統(tǒng)計量的實測值未落入拒絕域，從而作出接受H0的結(jié)論，那就犯了“以假為真”的錯誤。請看下表P{拒絕H0|H0為真}=

,

H0為真實際情況決定

拒絕H0接受H0

H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤P{接受H0|H0不真}=.受控未受控

兩類錯誤是互相關(guān)聯(lián)的，當樣本容量固定時，一類錯誤概率的減少導致另一類錯誤概率的增加。

要同時降低兩類錯誤的概率，或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量。例2

某織物強力指標X的均值=21公斤.改進工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測得=21.55公斤。假設強力指標服從正態(tài)分布且已知=1.2公斤，問在顯著性水平=0.01下，新生產(chǎn)織物比過去的織物強力是否有提高?解:提出假設:右邊檢驗拒絕域為：代入=1.2,n=30，并由樣本值計算得統(tǒng)計量Z的實測值：>2.33故拒絕原假設H0，認為：新生產(chǎn)織物比過去的織物強力有顯著提高。=2.33計算單邊檢驗：{雙邊檢驗：右邊檢驗：左邊檢驗：§8.2正態(tài)總體均值的假設檢驗（一）單個正態(tài)總體均值的檢驗雙邊檢驗：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域為：

右邊檢驗：拒絕域為：左邊檢驗：拒絕域為：

檢驗統(tǒng)計量：雙邊檢驗：拒絕域為：右邊檢驗：拒絕域為：左邊檢驗：拒絕域為：例3

某種元件的壽命X（以小時計）服從正態(tài)分布N(,

2),,2均未知?，F(xiàn)測得16只元件的壽命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170

問是否有理由認為元件的平均壽命大于225（小時）？統(tǒng)計解：按題意需檢驗：H0:≤0=225H1:>225檢驗統(tǒng)計量：拒絕域為現(xiàn)在n=16取

=0.05=1.7531<1.7531計算沒有落在拒絕域中，故接受H0，即認為元件的平均壽命不大于225小時。（二）兩個正態(tài)總體均值差的檢驗

檢驗統(tǒng)計量？檢驗統(tǒng)計量：雙邊檢驗：右邊檢驗：拒絕域為：左邊檢驗：拒絕域為：拒絕域為：

檢驗統(tǒng)計量：雙邊檢驗：右邊檢驗：拒絕域為：左邊檢驗：拒絕域為：拒絕域為：例4

在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平爐上進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標準方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了10爐，其得率分別為

（1）標準方法

78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3

（2）新方法

79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1

設這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態(tài)總體N(1,2)和N(2,2)

，1,2,2均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？（取=0.05.）返回計算解：需要檢驗假設檢驗統(tǒng)計量：分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本方差：拒絕域為：又樣本觀察值t=-4.295<-1.7341，落入拒絕域，所以拒絕H0，即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)?！?.3正態(tài)總體方差的假設檢驗（一）單個正態(tài)總體方差的檢驗檢驗統(tǒng)計量：雙邊檢驗：拒絕域為：右邊檢驗：拒絕域為：左邊檢驗：拒絕域為：例5

某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其壽命（以小時計）長期以來服從方差2=5000的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所改變?，F(xiàn)隨機取26只電池，測出其壽命的樣本方差s2=9200。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著變化（取=0.02）？解：本題要求在水平=0.02下檢驗假設拒絕域為：檢驗統(tǒng)計量：=46=44.314=11.524拒絕H0，認為這批電池壽命的波動性較以往的有顯著的變化。計算（二）兩個正態(tài)總體方差比的檢驗檢驗統(tǒng)計量：雙邊檢驗：拒絕域為：右邊檢驗：拒絕域為：右邊檢驗：拒絕域為：解：

此處n1=n2=10，=0.01，例6

試對例4中的數(shù)據(jù)檢驗假設：

H0:12=22,H1:12

22（取=0.01）=6.54檢驗統(tǒng)計量：拒絕域為：例4計算現(xiàn)在s12=3.325

s22=2.225

故接受H0

，認為兩總體方差相等。F=s12/s22=1.49，即有0.153<F

<6.54有人推測，矮個子的人比高個子的人長壽這個結(jié)論對嗎？我們來做一個檢驗。GeorgeWashington1stPresident

Stature：6’2”（188cm）

Born:February22,1732Died:December14,1799(67)美國歷屆總統(tǒng)資料

JohnAdams

2ndPresidentStature：5’6”（168cm）Born:October30,1735Died:July4,1826(90)

美國歷屆總統(tǒng)資料ThomasJefferson3ndPresidentStature：6’2.5”（189cm）Born:April13,1743Died:July4,1826(64)美國歷屆總統(tǒng)資料JamesMadison4thPresident

Stature：5‘4“（163cm）Born:March16,1751Died:June28,1836（85）美國歷屆總統(tǒng)資料美國歷屆總統(tǒng)資料JamesMonroe

5thPresident

Stature：6‘（183cm）Born:April28th,1758Died:July4,1831（73）美國歷屆總統(tǒng)資料JohnQuincyAdams6thPresident

Stature：5‘7“（171cm）Born:July11,1767

Died:February23,1848（80）美國歷屆總統(tǒng)資料AndrewJackson

7thPresident

Stature：6‘1“（171cm）Born:March15,1767Died:June8,1845

（78）美國歷屆總統(tǒng)資料MartinVanBuren

8thPresident

Stature：5‘6“（168cm）Born:December5,1782Died:July24,186（79）美國歷屆總統(tǒng)資料

WilliamHenryHarrison

9thPresident

Stature：5‘8“（173cm）Born:February9,1773Died:April4,1841（68）美國歷屆總統(tǒng)資料JohnTyler

10thPresident

Stature：6‘（183cm）Born:March29,1790Died:January18,1862

（71）美國歷屆總統(tǒng)資料JamesK.Polk

11thPresident

Stature：5‘8“（173cm）Born:November2,1795Died:June15,1849（53）美國歷屆總統(tǒng)資料ZacharyTaylor12thPresident

Stature：5‘8“（173cm）Born:November24,1784Died:July9,1850（65）美國歷屆總統(tǒng)資料MillardFillmore13rdPresident

Stature：5‘9“（175cm）Born:January7,1800Died:March8,1874（74）美國歷屆總統(tǒng)資料

FranklinPierce

14thPresident

Stature：5‘10“（178cm）Born:November23,1804Died:October8,1869（64）美國歷屆總統(tǒng)資料UlyssesS.Grant18thPresident

Stature：5‘8.5“（174cm）Born:April27,1822Died:July23,1885

（63）美國歷屆總統(tǒng)資料RutherfordB.Hayes

19thPresident

Stature：5‘8.5“（174cm）Born:October4,1822Died:October4,1822（70）

美國歷屆總統(tǒng)資料BenjaminHarrison

23thPresident

Stature：5‘6“（168cm）Born:August20,1833Died:March13,1901（67）美國歷屆總統(tǒng)資料HarrySTruman

33rdPresident

Stature：5‘9“（175cm）Born:May8,1884Died:December26,1972（88）矮個子總統(tǒng)高個子總統(tǒng)總統(tǒng)壽命總統(tǒng)壽命總統(tǒng)壽命Madison85W.Harrison68Wilson67VanBuren79Polk53Hoover90B.Harrison67Taylor65Monroe73J.Adams90Grant63Tyler71J.Q.Adams80Hayes70Buchanan77Truman88Taft72Fillmore74Harding57Pierce64Jackson78A.Johnson66Washington67T.Roosevelt60Arthur56Coolidge60F.Roosevelt63Eisenhower78L.Johnson64Cleveland71Jefferson83SPSS§8.4分布擬合檢驗可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設。例如，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量，椐統(tǒng)計，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下:戰(zhàn)爭次數(shù)X01234

22314248154

發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)上面的數(shù)據(jù)能否證實X

服從Poisson分布的假設是正確的？返回又如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的。也就是說，在投擲中，出現(xiàn)1點，2點，…，6點的概率都應是1/6。為檢驗骰子是否均勻，把骰子實地投擲6000次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)的次數(shù)。得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設是可信的？點數(shù)123456次數(shù)910111010301050960940再如，某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進行精確性檢查，抽取100個鐘作試驗，撥準后隔24小時以后進行檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來。該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中引進的所謂

檢驗法。這是一項很重要的工作，不少人把它視為近代統(tǒng)計學的開端。

K.皮爾遜

檢驗法是在總體X的分布未知時，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關(guān)于總體分布的假設的一種檢驗方法。是一種非參數(shù)檢驗。

我們先提出原假設:

H0：總體X的分布函數(shù)為F(x)然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗分布和所假設的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設.這種檢驗通常稱作擬合優(yōu)度檢驗。分布擬合的檢驗法的基本原理和步驟如下:1.

將總體X的取值范圍分成k個互不重迭的小區(qū)間,記作A1,A2,…,Ak

.2.

把落入第i個小區(qū)間Ai的樣本值的個數(shù)記作fi

，稱為實測頻數(shù)。所有實測頻數(shù)之和f1+f2+…+fk等于樣本容量n。3.

根據(jù)所假設的理論分布,可以算出總體X的值落入每個Ai的概率

pi

,于是

npi

就是落入Ai的樣本值的理論頻數(shù)。樣本與理論分布之間的差異的大小。

皮爾遜引進如下統(tǒng)計量表示經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異:皮爾遜證明了如下定理:若原假設中的理論分布F(x)已經(jīng)完全給定，那么當

時，統(tǒng)計量：漸近服從自由度為

k-1

的分布。如果F(x)中有r

個未知參數(shù)需用相應的估計量來代替，那么當時，統(tǒng)計量漸近服從自由度為

k-r-1

的分布。查分布表可得臨界值，使得根據(jù)這個定理，對給定的顯著性水平，得拒絕域:(不需估計參數(shù))(估計r個參數(shù))如果根據(jù)所給的樣本值X1,X2,…,Xn

算得統(tǒng)計量的實測值落入拒絕域，則拒絕原假設，否則就認為差異不顯著而接受原假設。

皮爾遜定理是在n無限增大時推導出來的，因而在使用時要注意n足夠大，以及npi不太小這兩個條件。

根據(jù)計算實踐，要求

n不小于50，以及npi

都不小于5。否則應適當合并區(qū)間，使npi滿足這個要求。例1：檢驗骰子是否均勻我們先提出原假設:

H0：總體X為均勻分布

點數(shù)123456次數(shù)9101110103010509609403.610001/694062.510001/61050412.110001/6111021.610001/696050.910001/6103038.1010001/69101npipifiAi11.071拒絕H0骰子不均勻！例2：檢驗每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布是否服從Poisson分布。H0:

X服從參數(shù)為的Poisson分布的極大似然估計為：=0.69戰(zhàn)爭次數(shù)X01234發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)22314248154例2pi的估計是：i=0,1,2,3,4計算結(jié)果列表如下:X01234Σfi223142481540.580.310.180.010.02216.7149.551.612.02.160.1830.3760.25114.161.6232.43自由度為：4-1-1=2=5.991=2.43<5.991，認為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)X服從參數(shù)為0.69的Poisson分布。不能拒絕H0計算在此，我們以遺傳學上的一項偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計方法在研究自然界和人類社會的規(guī)律性時，是起著積極的、主動的作用。奧地利生物學家孟德爾進行了長達八年之久的豌豆雜交試驗,并根據(jù)試驗結(jié)果,運用他的數(shù)理知識,發(fā)現(xiàn)了遺傳的基本規(guī)律。孟德爾子二代子一代…黃色純系…綠色純系根據(jù)他的理論，子二代中,黃、綠之比近似為3:1，他的一組觀察