概率論與數(shù)理統(tǒng)計-第八章假設(shè)檢驗

第8章假設(shè)檢驗§8.1假設(shè)檢驗的基本概念§8.3兩個正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗§8.2單個正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗§8.1

假設(shè)檢驗的基本概念一、假設(shè)檢驗的概念二、假設(shè)檢驗的基本原理三、假設(shè)檢驗可能犯的兩類錯誤四、假設(shè)檢驗的一般步驟若對總體參數(shù)有所了解但有懷疑需要證實之時用假設(shè)檢驗方法來處理若對總體參數(shù)一無所知用參數(shù)估計的方法處理一、假設(shè)檢驗的概念參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗參數(shù)檢驗假設(shè)是針對總體分布函數(shù)中的未知參數(shù)而提出的假設(shè)進行檢驗；分布函數(shù)形式或類型的假設(shè)進行檢驗.非參數(shù)檢驗假設(shè)是針對總體假設(shè)檢驗的內(nèi)容例1

某產(chǎn)品出廠檢驗規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？為此提出如下假設(shè):例2

某廠生產(chǎn)的螺釘,按標準強度為68/mm2,而實際生產(chǎn)的強度X

服.若,則認為這批螺釘符合要求,否則認為不符合要求.現(xiàn)從整批螺釘中取容量為36的樣本,其樣本均值為68.5,問原假設(shè)是否正確?為此提出如下假設(shè):在例1中在例2中均稱為參數(shù)假設(shè)參數(shù)假設(shè)一般是一對互逆的假設(shè),比較參數(shù)的相等或大小稱其中的一個為原假設(shè),也稱零假設(shè)或基本假設(shè)稱另一個為備擇假設(shè),也稱備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)一般將含有等號的假設(shè)稱為原假設(shè)必須在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間作一選擇假設(shè)檢驗的任務(wù)在例1中在例2中均稱為參數(shù)假設(shè)參數(shù)假設(shè)一般是一對互逆的假設(shè),比較參數(shù)的相等或大小稱其中的一個為原假設(shè),也稱零假設(shè)或基本假設(shè)稱另一個為備擇假設(shè),也稱備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)一般將含有等號的假設(shè)稱為原假設(shè)必須在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間作一選擇假設(shè)檢驗的任務(wù)例1某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,袋裝糖的凈重是一個隨機變量,它服從正態(tài)分布.0.4970.5060.5180.5240.4980.511當機器正常時,其均值為0.5kg,標準差為0.015kg.某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機地抽取它所包裝的糖9袋,稱得凈重為(kg):問機器是否正常?0.5200.5150.512,由長期實踐表明標準差比較穩(wěn)定,我們提出兩個相互對立的假設(shè)為此，和然后，我們給出一個合理的法則，根據(jù)這一法問題分析則，工作是正常的,即認為機器否則,認為是不正常的.反之，由標準正態(tài)分布分位點的定義得：于是拒絕假設(shè)H0,

假設(shè)檢驗過程如下:認為包裝機工作不正常.以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的.二、假設(shè)檢驗的基本原理假設(shè)檢驗的理論依據(jù)是“小概率原理”小概率原理:如果一個事件發(fā)生的概率很小,那么在一次實驗中,這個事件幾乎不會發(fā)生.事件“擲100枚均勻硬幣全出現(xiàn)正面”事件“某人隨機買一注彩票中一等獎”事件“在一副撲克中隨機抽取4張全為A”以上幾個事件都可稱為“小概率事件”如:

無論原假設(shè)中是否含不等號，在實際檢驗時，均可按原假設(shè)僅含等號的檢驗進行檢驗.例1

某產(chǎn)品出廠檢驗規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？解假設(shè)一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品是小概率事件,那么在一次實驗中,這個事件幾乎是不會發(fā)生的,現(xiàn)在竟然發(fā)生了,故認為原假設(shè)不成立,即該批產(chǎn)品次品率,則該批產(chǎn)品不能出廠.例1

某產(chǎn)品出廠檢驗規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？解假設(shè)一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品是小概率事件,那么在一次實驗中,這個事件幾乎是不會發(fā)生的,現(xiàn)在竟然發(fā)生了,故認為原假設(shè)不成立,即該批產(chǎn)品次品率,則該批產(chǎn)品不能出廠.

這不是小概率事件,沒理由拒絕原假設(shè),從而接受原假設(shè),即該批產(chǎn)品可以出廠.若從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)1件次品假設(shè)檢驗方法是概率意義下的反證法.要注意的是小概率事件畢竟不是不可能事件,只是小概率事件發(fā)生的概率很小,在一次實驗中“幾乎”不會發(fā)生.因此上述方法就可能出現(xiàn)錯誤,即真的假設(shè)被拒絕了,而錯誤的假設(shè)卻可能被接受了.1.第一類錯誤:棄真錯誤此時我們便犯了“棄真”錯誤,也稱為第一類錯誤三、假設(shè)檢驗可能犯的兩類錯誤則犯棄真錯誤的概率為小概率事件發(fā)生的概率就是犯棄真錯誤的概率越大,犯第一類錯誤的概率越大,即越顯著.2.第二類錯誤:納偽錯誤此時我們便犯了“納偽”錯誤,也稱為第二類錯誤犯納偽錯誤的概率為

我們希望這兩類錯誤都很小.但可以證明，在樣本容量n固定時,同時減小和是辦不到的.當減小時必導致增大,反之亦然.要想使和同時減小，只有增大樣本容量n.在實際應(yīng)用中，一般原則是：在給定犯第一類錯誤的概率之后,使得犯納偽錯誤的概率盡可能的小.（一）寫明原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1的具體內(nèi)容.四、假設(shè)檢驗的一般步驟（三）對給定顯著性水平，由統(tǒng)計量的分布查表確定出臨界值，進而得到H0的拒絕域和接受域.（二）根據(jù)H0的內(nèi)容，給出檢驗統(tǒng)計量并確定其分布.（四）由樣本觀察值計算出統(tǒng)計量的值.（五）做出推斷：當統(tǒng)計量的值滿足“接受H0的條件”時就接受H0，否則就拒絕H0接受H1.（六）完整準確地寫出檢驗的結(jié)論.§8.2

單個正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗一、方差已知的正態(tài)總體均值的檢驗二、方差未知的正態(tài)總體均值的檢驗三、大樣本場合下,非正態(tài)總體均值的檢驗四、單個正態(tài)總體方差的檢驗一、方差已知的正態(tài)總體均值的檢驗構(gòu)造小概率事件H0拒絕域雙側(cè)檢驗H0拒絕域例1

某百貨商場的日營業(yè)額近似服從正態(tài)分布,去年的日平均營業(yè)額為53.6萬元,均方差為6萬元,今年隨機抽查了10天的營業(yè)額,分是:58.2,57.8,58.4,59.3,60.7,71.3,56.4,58.9,48.5,49.5.根據(jù)經(jīng)驗認為方差沒有變化.問今年的日平均營業(yè)額與去年相比是否有顯著變化?

解構(gòu)造統(tǒng)計量原假設(shè)的拒絕域為原假設(shè)的拒絕域為由樣本觀測值得統(tǒng)計量觀測值查表得臨界值即認為今年的日平均營業(yè)額與去年有顯著變化統(tǒng)計量構(gòu)造小概率事件H0拒絕域單側(cè)(邊)檢驗右側(cè)(邊)檢驗上述方法稱為例2

某車間生產(chǎn)某種規(guī)格的鋼絲,根據(jù)經(jīng)驗,其折斷力

,現(xiàn)改革了生產(chǎn)工藝,生產(chǎn)了一批鋼絲,從中隨機抽取一個n=10的樣本,測得千克,問新工藝是否值得推廣?解構(gòu)造統(tǒng)計量原假設(shè)的拒絕域為統(tǒng)計量觀測值即可以認為平均折斷力有顯著提高,故新工藝值得推廣查表得臨界值原假設(shè)的拒絕域為統(tǒng)計量構(gòu)造小概率事件H0拒絕域左側(cè)(邊)檢驗二、方差未知的正態(tài)總體均值的檢驗構(gòu)造統(tǒng)計量構(gòu)造小概率事件H0拒絕域H0拒絕域若統(tǒng)計量觀測值雙側(cè)檢驗構(gòu)造統(tǒng)計量H0拒絕域單側(cè)檢驗右側(cè)檢驗構(gòu)造統(tǒng)計量單側(cè)檢驗左側(cè)檢驗H0拒絕域例3

用傳統(tǒng)方法養(yǎng)雞,經(jīng)若干天后,雞的平均重量為4斤,今改善飼養(yǎng)方法,經(jīng)相同天數(shù)后,隨機抽測10只,得數(shù)據(jù)如下:3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8斤,經(jīng)驗表明同一批雞的重量近似服從正態(tài)分布,問改進飼養(yǎng)方法后的這批雞的平均重量是否顯著提高了?解構(gòu)造統(tǒng)計量原假設(shè)的拒絕域為統(tǒng)計量觀測值即可以認為這批雞的重量沒有顯著提高由查表得臨界值原假設(shè)的拒絕域為三、大樣本場合下,非正態(tài)總體均值的檢驗構(gòu)造統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量四、單個正態(tài)總體方差的檢驗由抽樣分布定理,構(gòu)造統(tǒng)計量若小概率事件發(fā)生H0拒絕域則例4正常生產(chǎn)知某維尼綸廠所產(chǎn)維尼綸的纖度近似服從正態(tài)分布,標準差為0.048,某日任意抽取20根測量其纖度的樣本標準差為0.067,試判斷該日產(chǎn)品的纖度波動是否有顯著變化?解則構(gòu)造統(tǒng)計量由查表得臨界值統(tǒng)計量的觀測值即認為該日產(chǎn)品的纖度波動與以前有顯著變化構(gòu)造統(tǒng)計量H0拒絕域構(gòu)造統(tǒng)計量H0拒絕域應(yīng)構(gòu)造統(tǒng)計量8.3

兩個正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗參照單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗對兩個正態(tài)總體的參數(shù)的假設(shè)進行檢驗相互獨立由抽樣分布定理構(gòu)造統(tǒng)計量的觀測值的絕對值應(yīng)很小H0拒絕域因此原假設(shè)的拒絕域為構(gòu)造統(tǒng)計量例1

甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種元件的壽命都近似服從正態(tài)分布,,且相互獨立,從兩廠生產(chǎn)的元件中分別抽取了100只和75只,測得樣本均值分別為1180小時和1220小時,問乙廠生產(chǎn)的元件平均壽命是否比甲廠高?解構(gòu)造統(tǒng)計量原假設(shè)的拒絕域為由查表得臨界值統(tǒng)計量觀測值即可以認為乙廠生產(chǎn)的元件壽命要比甲廠的高由抽樣分布定理構(gòu)造統(tǒng)計量因此原假設(shè)的拒絕域為構(gòu)造統(tǒng)計量例2

甲、乙兩零件彼此可以替代,且它們的抗壓強度都近似服從正態(tài)分布,但甲零件的成本較低,為評估質(zhì)量,各抽取了5只,測得抗壓強度數(shù)據(jù)如下:(kg/cm2)

甲零件:89,89,90,84,88

乙零件:88,87,92,90,91假定它們抗壓強度的方差相等,問能否認為甲零件的抗壓強度不比乙零件低?解統(tǒng)計量由由樣本觀測值,得查表得臨界值即可以認為甲零件的抗壓強度不比乙零件低由抽樣分布定理構(gòu)造統(tǒng)計量因此H0拒絕域為H0拒絕域構(gòu)造統(tǒng)計量因此H0拒絕域為H0拒絕域為構(gòu)造統(tǒng)計量例3

有兩臺機床生產(chǎn)同一型號的滾珠,測得直徑近似服從正態(tài)分布,從這兩臺機床加工的產(chǎn)品中分別抽取了9個和7個,測得滾珠直徑如下:(單位mm)甲機床:15,15.2,14.8,15.2,15,14.9,15.1,14.8,15.3乙機床:15.2,14.5,15.5,14.8,15.1,15.6,14.7問甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否更穩(wěn)定(方差更小)?解構(gòu)造統(tǒng)計量由由樣本觀測值,得查表得臨界值統(tǒng)計量觀測值為即甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品比乙機床更穩(wěn)定例4

某燈泡廠在使用一項新工藝