第三章 泊松過程 2

第三章泊松過程2目錄

Poisson過程與Poisson過程相聯(lián)系的若干分布Poisson過程的推廣3.1泊松過程3.1.1泊松簡(jiǎn)介3.1.2泊松分布和泊松定理3.1.3

泊松過程3.1.1泊松簡(jiǎn)介泊松，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家。1781年6月21日生于法國(guó)盧瓦雷省的皮蒂維耶，1840年4月25日卒于法國(guó)索鎮(zhèn)。泊松生平：1798年入巴黎綜合工科學(xué)校深造。1806年接替J.-B.-J.傅里葉任該校教授。1812年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士。1800年畢業(yè)后留校任教1802年任副教授1808年任法國(guó)經(jīng)度局天文學(xué)家1809年任巴黎理學(xué)院力學(xué)教授。畢業(yè)時(shí)，因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師。受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的賞識(shí)。泊松貢獻(xiàn)：泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其在擺的運(yùn)動(dòng)和聲學(xué)理論中的應(yīng)用。他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)。他對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)。3.1.2.泊松分布和泊松定理 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,而取各個(gè)值得概率為泊松分布：其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X～p（λ）泊松定理:設(shè)λ>0是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有例如：電話交換機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；火車站某段時(shí)間內(nèi)購(gòu)買車票的旅客數(shù)；機(jī)器在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)；

泊松過程是一類時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機(jī)過程103.1.3泊松過程定義1隨機(jī)過程{N(t)，t0

}稱為計(jì)數(shù)過程，如果N(t)表示從0到t時(shí)刻某一特定事件事件A發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個(gè)特點(diǎn)(1)N(t)

0

，且N(t)取整數(shù)；(2)當(dāng)s<t時(shí)，則N(s)N(t),且N(t)-N(s)表示在時(shí)間(s,t]時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù).11Poisson過程例對(duì)觀察事件出現(xiàn)的次數(shù)感興趣，可以用計(jì)數(shù)過程描述。一段時(shí)間內(nèi)某商店購(gòu)物的顧客數(shù)。經(jīng)過公路上某一路口的汽車數(shù)量。保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)。Poisson過程Poisson過程是以法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松的名字命名的泊松過程是隨機(jī)過程的一種，是以事件的發(fā)生時(shí)間來(lái)定義的。一個(gè)泊松過程是在每個(gè)有界的時(shí)間區(qū)間，賦予一個(gè)隨機(jī)的事件數(shù)，使得在一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的事件數(shù)，和另一個(gè)互斥（不重疊）的時(shí)間區(qū)間的事件數(shù)，這兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的。在每一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的事件數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，遵循泊松分布。1213獨(dú)立增量計(jì)數(shù)過程:對(duì)于t1<t2<<tn(n>3)，N(t2)-N(t1),N(t3)-N(t2),,N(tn)-N(tn-1)相互獨(dú)立.平穩(wěn)增量計(jì)數(shù)過程:在(t,t+s]內(nèi)(s>0)，事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時(shí)間間隔s有關(guān)，而與初始時(shí)刻t無(wú)關(guān).14定義2

計(jì)數(shù)過程{N(t)，t0

}稱為參數(shù)為（>0）的泊松過程,如果(1)N(0)=0，(2)過程有獨(dú)立增量(3)在任一長(zhǎng)度為t的時(shí)間區(qū)間中事件A發(fā)生的次數(shù)服從均值為t

的泊松分布，即對(duì)任意s0,t>0，有15注：(1)泊松過程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程;(2)E[N(t)]=t,表示單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均次數(shù)，一般稱為過程的強(qiáng)度或速率.例在(0,t]內(nèi)接到服務(wù)臺(tái)咨詢電話的次數(shù)N(t)，在(0,t]內(nèi)到某火車站售票處購(gòu)買車票的旅客數(shù)N(t)等都是泊松變量，

{N(t),t0

}是一個(gè)泊松過程.16例（Poisson過程在排隊(duì)論中的應(yīng)用）隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象，可以用Poisson過程描述。例如，到達(dá)電話總機(jī)呼叫數(shù)目、到達(dá)車站顧客數(shù)等等。以車站售票處為例，上午8：00開始，連續(xù)售票，乘客10人/h的速度到達(dá)，從9：00-10：00這1小時(shí)內(nèi)最多5名乘客到來(lái)的概率？10：00-11：00之間沒人來(lái)的概率？解設(shè)8:00為0時(shí)刻，9：00為1時(shí)刻，參數(shù)17（事故的發(fā)生次數(shù)和保險(xiǎn)公司接到的索賠數(shù)）

N(t)表示(0,t]時(shí)間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù)。Poisson過程就是{N(t)，t0

}很好的一種近似?？紤]保險(xiǎn)公司每次賠付都是1，每月平均4次接到索賠要求，一年中他要付出的平均金額為多少？ 由定義2可知，為了確定一個(gè)任意的計(jì)數(shù)過程實(shí)際上是一個(gè)泊松過程，必須證明它同時(shí)滿足定義中的（1）、（2）、（3）三個(gè)條件，其中條件（1）只是說(shuō)明事件的計(jì)數(shù)過程是從時(shí)刻t=0開始的，條件（2）根據(jù)我們對(duì)計(jì)數(shù)過程了解的情況直接驗(yàn)證，而對(duì)于條件（3）我們?nèi)徊恢廊绾稳M足。

因此，給出另一個(gè)泊松過程的定義是就顯得很有必要，接下來(lái)介紹泊松過程的另一個(gè)定義：

在此之前，首先熟悉一個(gè)函數(shù)f是o(h)的概念（高階無(wú)窮小）即：若對(duì)于一個(gè)函數(shù)f，滿足：

則稱函數(shù)f是o(h).20定義2'計(jì)數(shù)過程{N(t)，t0}是泊松過程，如果N(t)滿足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，(3)存在>0，當(dāng)h↘0

時(shí)，有（4）當(dāng)h↘0時(shí)，分析定義2'可知，其中條件(3),(4)說(shuō)明，在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，最多有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上事件同時(shí)發(fā)生。這種假設(shè)對(duì)于很多物理現(xiàn)象較容易得到滿足。

22例事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為的Poisson過程

{N(t)，t0},如果每次事件發(fā)生時(shí)以概率p能夠被記錄下來(lái)，并以M(t)表示到t時(shí)刻被記錄下來(lái)的事件總數(shù)，則

{M(t)，t0}為一個(gè)強(qiáng)度為p的Poisson過程。

23解：首先M(0)=0，

M(t)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量，接下來(lái)只需驗(yàn)證M(t)服從均值為

pt的泊松分布.即對(duì)任意t>0,下邊將用到全概率公式，二項(xiàng)分布的背景、公式，以及泰勒展式24例若每條蠶的產(chǎn)卵數(shù)服從泊松分布，強(qiáng)度為，而每個(gè)卵變?yōu)槌上x的概率為p，且每個(gè)卵是否變?yōu)槌上x彼此間沒有關(guān)系，求在時(shí)間[0,t]內(nèi)每條蠶養(yǎng)活k只小蠶的概率例觀察資料表明，天空中星體數(shù)服從泊松分布，其參數(shù)為V，這里V是被觀察區(qū)域的體積。若每個(gè)星球上有生命存在的概率為p，則在體積為V的宇宙空間中有生命存在的星球數(shù)服從參數(shù)為pV的泊松分布273.2與Poisson過程相聯(lián)系的若干分布Poisson過程的一條樣本路徑是跳躍度為1的階梯函數(shù)。N(t)3210Poisson過程的樣本路徑。符號(hào)說(shuō)明Home顯然Xn表示第n次與第n-1次事件發(fā)生的時(shí)間間隔.Ｔn表示第n次事件發(fā)生的時(shí)刻(n

1)，規(guī)定Ｔ0=0定理1Home

和的分布。且都服從參數(shù)為的指數(shù)分布定理2Home31參數(shù)為n與的分布又稱愛爾蘭分布，它是n個(gè)相互獨(dú)立且都服從于參數(shù)為的指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和的分布．32計(jì)數(shù)過程{N(t),t

0}是參數(shù)的Poisson過程，如果每次事件發(fā)生的事件間隔相互獨(dú)立，且服從同一參數(shù)為的指數(shù)分布。泊松過程的另一種定義33例1（顧客接受服務(wù)問題）設(shè)從早8:00開始就有許多人排隊(duì)等候某項(xiàng)服務(wù)，只有一名服務(wù)員，每個(gè)人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的且服從于均值為20min的指數(shù)分布．(1)問到中午12:00為止平均有多少人已經(jīng)離去？(2)求已有9人接受服務(wù)的概率．34解：設(shè)早8:00為零時(shí)刻,并以N(t)表示在時(shí)間(0,t]內(nèi)離去的顧客數(shù),則{N(t),t0}是泊松過程．由題設(shè),顧客以每小時(shí)3人的平均速率接受服務(wù),即

人/小時(shí).35泊松過程中事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布

事實(shí)上，當(dāng)N(t)=1時(shí)，若s

<t

，假設(shè)到時(shí)刻t為止,泊松過程{N(t),t0}中的事件A已經(jīng)發(fā)生了n次,現(xiàn)在考察這n次事件發(fā)生的時(shí)刻Ｔ1

,Ｔ2

,…,Ｔn的聯(lián)合分布.36在N(t)＝1的條件下，事件A發(fā)生時(shí)刻Ｔ1

在[0,t]區(qū)間上是均勻分布的.37定理3

在已知N(t)＝n(n

2)的條件下,事件發(fā)生的n個(gè)時(shí)刻T1

,T2

,…,Tn的聯(lián)合分布密度為它是在區(qū)間[0,t]上均勻分布的n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量U1

,U2

,…,Un的順序統(tǒng)計(jì)量U

(1)

,U(2)

，…，U(n)

的聯(lián)合分布.38

在已知(0,t]時(shí)間內(nèi)發(fā)生了n次事件的條件下,如果不考慮次序,各次事件發(fā)生的時(shí)刻T1

,T2

,…,Tn

可看作n個(gè)獨(dú)立同分布于區(qū)間[0,t]上均勻分布的隨機(jī)變量U1

,U2

,…,Un.從而39例2

設(shè)乘客以強(qiáng)度為的泊松過程{N(t),t0

}來(lái)到某火車站，火車在時(shí)刻t啟程

．計(jì)算在(0,t]時(shí)間內(nèi)到達(dá)的乘客的等待時(shí)間的總和的期望值.解：以Tn記第n個(gè)乘客的來(lái)到時(shí)刻，則所求為40

習(xí)題設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t，對(duì)于0<k<n，求在[0,s]內(nèi)事件A發(fā)生k次的概率。

解：42習(xí)題設(shè){N1(t),t

0},{N2(t),t0}相互獨(dú)立,且分別是強(qiáng)度為

2,

2的泊松過程.試證:隨機(jī)過程{N(t)=N1(t)+N2(t),t0}是強(qiáng)度為λ1

+λ2的泊松過程.43例設(shè)事件A在s時(shí)刻被記錄的概率是，若以表示到t時(shí)刻被記錄的事件數(shù)，還是一個(gè)Poisson過程么？44解：由于被記錄到的概率為P(s)

與事件A發(fā)生的時(shí)間s有關(guān)，因而M(t)不再具有平穩(wěn)增量,不能形成泊松過程．但是對(duì)任意t>0,M(t)仍然服從泊松分布,均值為

pt.其中453.3泊松過程的推廣非齊次泊松過程當(dāng)泊松過程{N(t),t0}的強(qiáng)度不再是常數(shù),而與時(shí)間t有關(guān)時(shí),稱為非齊次泊松過程．

這種過程一般不具有平穩(wěn)增量．46定義3

計(jì)數(shù)過程{N(t)，t0

}稱為強(qiáng)度是(t)的非齊次泊松過程．如果滿足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)具有獨(dú)立增量，(3)N(t)滿足下列兩式：當(dāng)h↘0

時(shí)，．47(3)對(duì)任意s,t0，在時(shí)間段(t,t+s]

事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)

服從泊松分布，參數(shù)為定義3'

計(jì)數(shù)過程{N(t),t0

}稱為強(qiáng)度是(t)的非齊次泊松過程．如果滿足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)具有獨(dú)立增量，48

稱為非齊次泊松過程{N(t),t0}的強(qiáng)度函數(shù)或均值函數(shù)．定理(1)設(shè){N(t),t0

}是強(qiáng)度為(t)的非齊次泊松過程．對(duì)任意t0，令則{N*(t),t0}是強(qiáng)度為1

的泊松過程．49(2)設(shè){N*(t),t0}是強(qiáng)度為=1

的泊松過程．若給定強(qiáng)度函數(shù){(t),t0}，對(duì)任意t0

，令則{N(t),t0

}是強(qiáng)度為(t)的非齊次泊松過程．50例1設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5年內(nèi)他平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次。試求他在使用期內(nèi)只維修過一次的概率。用非齊次Poisson過程考慮，強(qiáng)度函數(shù)51例2

某鎮(zhèn)上有一小商店，營(yíng)業(yè)時(shí)間為8點(diǎn)-20點(diǎn)．顧客平均到達(dá)率有如下規(guī)律：

8-11點(diǎn)，由5人線性增加到20人；11-13點(diǎn)，每小時(shí)為20人；13-20點(diǎn)，由20人線性減少到6人．假定在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)相互獨(dú)立.求從9-12點(diǎn)無(wú)顧客到達(dá)商店的概率及這三小時(shí)內(nèi)平均到達(dá)商店的顧客數(shù)．52解：設(shè)早0點(diǎn)為零時(shí)刻,以N(t)表示在時(shí)間(0,t]內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù),則{N(t),t0

}是非齊次泊松過程.且

5354復(fù)合泊松過程定義4

設(shè){N(t)，t0

}是一個(gè)泊松過程，{Yn}

是一族獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且與{N(t)，t0

}獨(dú)立．如果對(duì)t0，

則稱{X(t)，t0

}

為復(fù)合泊松過程.55例1

保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)是一個(gè)泊松過程{N(t),t0

},每次的賠付金額{Yn}

是一族獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且有相同分布F,索賠數(shù)額與它發(fā)生的時(shí)刻無(wú)關(guān)．則在時(shí)間(0,t]內(nèi)保險(xiǎn)公司賠付的總金額為{X(t),t0

}就是一個(gè)復(fù)合泊松過程.56例2（顧客成批到達(dá)的排隊(duì)系統(tǒng)）設(shè)顧客到達(dá)某服務(wù)系統(tǒng)的批數(shù)是一個(gè)泊松過程{N(t)，t0

}.每個(gè)時(shí)刻Tn可以有多名顧客到達(dá)，以Yn表示時(shí)刻Tn到達(dá)的顧客人數(shù).假定{Yn}相互獨(dú)立，同分布，且與{Tn}獨(dú)立．則在(0,t]時(shí)間內(nèi)到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的顧客總?cè)藬?shù)為{X(t)，t0

}也是一個(gè)復(fù)合泊松過程.2023/2/557例3

設(shè)N(t)是在時(shí)間段(0，t]內(nèi)來(lái)到某商店的顧客人數(shù)，{N(t)，t≥0}

是泊松過程。若Yk是第k個(gè)顧客在商店所花的錢數(shù)，則{Yk，k=1,2,…}是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且與{N(t)，t≥0}

獨(dú)立。記X(t)為該商店在內(nèi)的營(yíng)業(yè)額，則X(t)是一個(gè)復(fù)合泊松過程。58定理5

設(shè)是一個(gè)復(fù)合