理論力學(xué) 第11章 動(dòng)能定理 (PPT下載)

11.1力的功11.2質(zhì)點(diǎn)系和剛體的動(dòng)能11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理11.4功率和功率方程11.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

小結(jié)第11章動(dòng)能定理與動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用11.1力的功11.1.1功的一般表達(dá)式11.1.2幾種常見力的功11.1.3質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功11.1.4約束力的功11.1.1

功的一般表達(dá)式11.1力的功直角坐標(biāo)形式力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分。

在一無限小位移中力所做的功稱為元功，以表示即或11.1.2幾種常見力的功1．常力的功11.1力的功2．重力的功11.1力的功質(zhì)點(diǎn)沿軌跡由M1運(yùn)動(dòng)到M2，其重力在直角坐標(biāo)軸上的投影為重力的功為對(duì)于質(zhì)系，所有質(zhì)點(diǎn)重力做功之和為

重力的功僅與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始和終了位置的高度差有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。由此可得由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有彈性力在有限路程A1A2上的功為式中分別為質(zhì)點(diǎn)在起點(diǎn)及終點(diǎn)處彈簧的變形量。彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)。3．彈性力的功11.1力的功或作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力F的元功為于是力在有限轉(zhuǎn)動(dòng)中的功為11.1力的功4．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功*5．平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功11.1力的功剛體上任意一點(diǎn)Mi的無限小位移可寫為其中為質(zhì)心的無限小位移，為Mi點(diǎn)繞質(zhì)心C的無限小轉(zhuǎn)動(dòng)位移作用于點(diǎn)Mi

上的力Fi的元功為用于剛體上的全部力的元功為其中FR為力系的主矢，MC為力系對(duì)質(zhì)心C的主矩。在有限路程上的功為11.1力的功*11.1.3質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功xzyFAFBAB系統(tǒng)內(nèi)力

FA＝－FB這一對(duì)內(nèi)力在什么情形下作功？什么情形下不作功？11.1力的功xzyFAFBBrArBA這一結(jié)果表明：當(dāng)兩點(diǎn)之間的距離發(fā)生變化時(shí)，這兩點(diǎn)之間的內(nèi)力所作之元功不等于零。

FA和FB在drA

和drB

上所作之元功11.1力的功*工程上幾種內(nèi)力作功的情形＊

所有發(fā)動(dòng)機(jī)作為整體考察，其內(nèi)力都是有功力。例如汽車內(nèi)燃機(jī)工作時(shí)，氣缸內(nèi)膨脹的氣體質(zhì)點(diǎn)之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點(diǎn)與活塞之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點(diǎn)與氣缸內(nèi)壁間的內(nèi)力；這些內(nèi)力都要作功。＊機(jī)器中有相對(duì)滑動(dòng)的兩個(gè)零件之間的內(nèi)摩擦力作負(fù)功。＊人行走和奔跑時(shí)腿的肌肉內(nèi)力作功。對(duì)剛體來說，任何兩質(zhì)點(diǎn)間的距離均保持不變，所以剛體的內(nèi)力所作功之和恒等于零。11.1.4約束力的功

11.1力的功約束力作功等于零的約束稱為理想約束，即（1）光滑固定面和輥軸約束（2）光滑鉸鏈或軸承約束常見的理想約束有其約束力垂直于作用點(diǎn)的位移，約束力不做功。約束力的方向恒與位移的方向垂直，故約束力的功為零。（3）剛性連接的約束這種約束力和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。（4）柔性而不可伸長(zhǎng)的繩索約束不可伸長(zhǎng)的繩索的約束力元功之和等于零。11.1力的功純滾動(dòng)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力(約束力)不作功。OvOC*FFN

C*為瞬時(shí)速度中心，在這一瞬時(shí)C*點(diǎn)的位移為零。作用在C*點(diǎn)的摩擦力F所作元功為※一般情形下，兩個(gè)相對(duì)滑動(dòng)物體之間的摩擦力，其作用點(diǎn)都會(huì)發(fā)生相對(duì)位移，而且位移的方向與摩擦力的方向相反，因而，這時(shí)的摩擦力作功，且為負(fù)功。純滾動(dòng)11.2質(zhì)點(diǎn)系和剛體的動(dòng)能11.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能11.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能11.2.3平移剛體的動(dòng)能11.2.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能11.2.5平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能11.2質(zhì)點(diǎn)系和剛體的動(dòng)能11.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能11.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能是度量質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)效應(yīng)的特征量。11.2.3平移剛體的動(dòng)能平移剛體各點(diǎn)的速度相同，可以用質(zhì)心的速度表示。平移剛體動(dòng)能相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。11.2質(zhì)點(diǎn)系和剛體的動(dòng)能11.2.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)于定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度平方乘積的一半。當(dāng)剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上任一點(diǎn)的速度為11.2質(zhì)點(diǎn)系和剛體的動(dòng)能11.2.5平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視為繞通過速度瞬心并與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)能可寫為平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體跟隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心平移系的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理11.3.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理11.3.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理11.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理——微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)上合力的元功——積分形式質(zhì)點(diǎn)從某一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置，其動(dòng)能改變量等于運(yùn)動(dòng)過程中作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力所作之功11.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功之和——微分形式質(zhì)點(diǎn)系從某一位形運(yùn)動(dòng)到另一位形，其動(dòng)能改變量等于運(yùn)動(dòng)過程中作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有有功力所作之功的代數(shù)和

——積分形式所有有功力--既包括外力，也包括內(nèi)力；既包括主動(dòng)力，也包括約束力。在理想約束系統(tǒng)中，只包括主動(dòng)力(外力和內(nèi)力)。11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理（1）明確分析對(duì)象，一般以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,以某物體的速度(或角速度)為變量；（2）分析系統(tǒng)的受力，計(jì)算力的功。注意區(qū)分主動(dòng)力與約束力，在理想約束的情況下約束力不作功；（3）分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算系統(tǒng)在任意位置的動(dòng)能或在起始和終了位置的動(dòng)能；（4）應(yīng)用動(dòng)能定理建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，而后求解；（5）對(duì)問題作進(jìn)一步分析與討論。應(yīng)用動(dòng)能定理解題的步驟：

【例11-1】圖示均質(zhì)圓輪A，B的質(zhì)量均為m,半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動(dòng)，輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B處摩擦不計(jì)。物塊C的質(zhì)量也為m。A，B，C用輕繩相連，繩相對(duì)輪B無滑動(dòng)。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。求：（1）當(dāng)物塊C下降高度為h時(shí)，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度；（2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊C的加速度。11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理用動(dòng)能定理的積分形式求解：選擇整個(gè)系統(tǒng)為對(duì)象，作受力分析和運(yùn)動(dòng)分析：設(shè)物塊C下降h時(shí)速度為vC

系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)作功11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理【解法1】根據(jù)動(dòng)能定理：視h為變量，對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)注意到：有11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理【解法1】用動(dòng)能定理的微分形式求解系統(tǒng)動(dòng)能取微分系統(tǒng)所有力的元功之和

11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理【解法2】積分：求aC：11.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理【解法2】11.4功率和功率方程11.4.1

功率11.4.2

功率方程11.4.3機(jī)械效率11.4.1功率11.4功率和功率方程功率(power)

－力所作之功對(duì)時(shí)間的變化率力的功率等于力與其作用點(diǎn)速度的點(diǎn)積。作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。11.4.2功率方程11.4功率和功率方程質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式等式兩邊同除以dt質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和?！β史匠?/p>

(equationofpower)

——輸入功率——有用功率，輸出功率——無用功率，損耗功率11.4.3機(jī)械效率11.4功率和功率方程有效功率（=）與輸入功率的比值稱為機(jī)器的機(jī)械效率

【例11-2】車床的電動(dòng)機(jī)功率P輸入

=5.4kW。傳動(dòng)零件之間的摩擦損耗功率占輸入功率的30%。工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n=42r/min。求允許的最大切削力；若工件的轉(zhuǎn)速改為n'=112r/min，允許的最大切削力為多少？11.4功率和功率方程車床的輸入功率為P輸入=5.4kW，損耗的無用功率當(dāng)工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能不變，即設(shè)切削力為F，切削速度為v

當(dāng)n=42r/min時(shí)，允許的最大切削力為當(dāng)n'=112r/min時(shí)，求得允許的最大切削力為11.4功率和功率方程【解】11.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律11.5.1勢(shì)力場(chǎng)11.5.2勢(shì)能11.5.3有勢(shì)力的功與勢(shì)能的關(guān)系11.5.4機(jī)械能守恒定律11.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律11.5.1勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)內(nèi)所受的力稱為有勢(shì)力或保守力。例如重力、彈性力及萬有引力都是有勢(shì)力。若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)任一位置都受有一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力作用，具有這種特性的空間就稱為力場(chǎng)，例如地球表面的空間為重力場(chǎng)。若質(zhì)點(diǎn)在某一力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，力場(chǎng)中的力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功僅與質(zhì)點(diǎn)起點(diǎn)與終點(diǎn)位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)，則這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)或保守力場(chǎng)。11.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律11.5.2勢(shì)能勢(shì)能零點(diǎn)—人為選定的勢(shì)能為零的位置M0，稱為零勢(shì)位置，又稱為勢(shì)能零點(diǎn)。

系統(tǒng)在某一位置M的勢(shì)能，在數(shù)值上等于系統(tǒng)從這一位置回到勢(shì)能零點(diǎn)M0時(shí)，其上所有保守力所作之功的總和。勢(shì)能—系統(tǒng)在某一位置M所具有的對(duì)外作功的能力，稱為系統(tǒng)在這一位置的勢(shì)能。11.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律1.重力場(chǎng)中的勢(shì)能：2.彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能：—扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性勢(shì)能—線彈簧的彈性勢(shì)能11.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律＊對(duì)質(zhì)點(diǎn)系來說，“零勢(shì)能位置”應(yīng)理解為組成質(zhì)點(diǎn)系的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的零勢(shì)能點(diǎn)的集合。11.5.3有勢(shì)力的功與勢(shì)能的關(guān)系質(zhì)系從位置1運(yùn)動(dòng)到位置2時(shí)，有勢(shì)力的功等于質(zhì)系在位置1時(shí)的勢(shì)能和在位置2時(shí)的勢(shì)能之差。積分得：根據(jù)有勢(shì)力的定義和功的概念，可得＊若質(zhì)點(diǎn)系受幾種有勢(shì)力作用時(shí)，既可以取同一位置為系統(tǒng)零勢(shì)能位置，也可以分別選擇每種勢(shì)力場(chǎng)的零勢(shì)能位置，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的勢(shì)能，其代數(shù)和為總勢(shì)能。11.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律11.5.4機(jī)械能守恒定律(conservationofmechanicalenergy)對(duì)于保守系統(tǒng)，動(dòng)能定理保守系統(tǒng)(conservativesystem)

：具有理想約束，且所受的主動(dòng)力皆為有勢(shì)力的質(zhì)系稱為保守系統(tǒng)。有勢(shì)力的功與路徑無關(guān)，可通過勢(shì)能計(jì)算由此得：

（常量）

上式稱為質(zhì)系機(jī)械能守恒定律，即保守系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中，其機(jī)械能保持不變?；蛸|(zhì)系的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但總的機(jī)械能保持不變?！|(zhì)系在某瞬時(shí)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和稱為機(jī)械能(mechanicalenergy)

。11.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律●

動(dòng)能定理建立了作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力所作之功與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能變化之間的關(guān)系；機(jī)械能守恒所建立的是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系?！?/p>

動(dòng)能定理中可以包含任何非有勢(shì)力所作之功，因此，動(dòng)能定理所包含的內(nèi)容比機(jī)械能守恒更加廣泛?？梢哉f，機(jī)械能守恒是質(zhì)點(diǎn)系所受之力均為有勢(shì)力時(shí)的動(dòng)能定理?！癞?dāng)系統(tǒng)存在摩擦力，并且摩擦力作功，這時(shí)機(jī)械能守恒不成立，只能應(yīng)用動(dòng)能定理；●當(dāng)系統(tǒng)存在摩擦力，但是摩擦力不作功，這時(shí)機(jī)械能守恒成立，可以應(yīng)用機(jī)械能守恒。11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩動(dòng)量動(dòng)能定理分別建立了質(zhì)系動(dòng)量和動(dòng)量矩與質(zhì)系所受外力系的主矢和外力系的主矩之間的關(guān)系。建立了質(zhì)系的動(dòng)能與作用于質(zhì)系上的力的功之間的關(guān)系。11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較●

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式為矢量形式（常用其投影式），描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅涉及有關(guān)運(yùn)動(dòng)量的大小，而且涉及運(yùn)動(dòng)量的方向。●動(dòng)能定理的表達(dá)式為代數(shù)量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不涉及運(yùn)動(dòng)量的方向，無論質(zhì)點(diǎn)系如何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理只能提供一個(gè)方程?！駝?dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中只包含外力，而不包含內(nèi)力(內(nèi)力的主矢和主矩均為零)?！?/p>

動(dòng)能定理的表達(dá)式中可以包含主動(dòng)力和約束力，主動(dòng)力中可以是外力，也可以是內(nèi)力(可變質(zhì)點(diǎn)系)；對(duì)于理想約束，則只包含主動(dòng)力。11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2、在所選擇的定理表達(dá)式中，不出現(xiàn)相關(guān)的未知力。若選用動(dòng)能定理，對(duì)于受理想約束的系統(tǒng)，可以不必將系統(tǒng)拆開，而直接對(duì)系統(tǒng)整體應(yīng)用動(dòng)能定理，建立一個(gè)代數(shù)量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。●

分析和解決復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，選擇哪一個(gè)定理的思路是：1、所要求的運(yùn)動(dòng)量在所選擇的定理中能不能比較容易地表達(dá)出來；●

對(duì)于由多個(gè)剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)，求解動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，若選用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理，需要將系統(tǒng)拆開，不僅涉及的方程數(shù)目比較多，而且會(huì)涉及求解聯(lián)立方程。

【例11-3】

在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。質(zhì)量為m的均質(zhì)曲柄AB帶動(dòng)均質(zhì)行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動(dòng)。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計(jì)。當(dāng)曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時(shí)，求桿的角加速度a及輪II邊緣所受切向力F。11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例（1）求桿的角加速度選桿（曲柄AB

）和輪Ⅱ組成系統(tǒng)為對(duì)象系統(tǒng)具有1個(gè)自由度，取j為廣義坐標(biāo)。理想約束力FAx,FAy

,

FN,F不作功，僅有力偶矩M作功系統(tǒng)在任意位置的動(dòng)能為11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例【解】代入上式經(jīng)整理得由動(dòng)能定理的微分形式兩邊同時(shí)除以dt

，11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例【解】

（2）求輪Ⅱ邊緣所受的切向力F取輪Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象由相對(duì)質(zhì)心B的動(dòng)量矩定理，得因輪Ⅱ作純滾，故代入上式且已知得11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例【解】

【例11-4】三角柱體ABC質(zhì)量為m1，放置于光滑水平面上。質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓柱體沿斜面AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng)。若斜面傾角為q，系統(tǒng)初始靜止。求三角柱體的加速度。11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

【分析】這是2自由度系統(tǒng)，圓柱相對(duì)三角柱作向下純滾，同時(shí)三角柱沿光滑水平面向左作直線平移，三角柱與圓柱組成的系統(tǒng)水平方向合外力為零，故可用動(dòng)能定理及水平方向動(dòng)量守恒聯(lián)合求解。11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例圓柱與三角柱組成系統(tǒng)，受力分析設(shè)圓柱相對(duì)斜面向下滾動(dòng)s時(shí)，其質(zhì)心O相對(duì)三角柱體的速度vr。此時(shí)三角柱向左滑動(dòng)的速度為v1圓柱質(zhì)心O絕對(duì)速度：圓柱質(zhì)心O絕對(duì)速度的水平分量：圓柱下滾s時(shí)：解得11.6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例【解】初始動(dòng)能下滾s時(shí)動(dòng)能

式中代入上式，得11.