2023年直線和圓知識點總結(jié)

練習(xí)一(直線和圓部分）知識梳理1.直線的傾斜角的范圍是;求直線斜率的兩種方法：①定義:；②斜率公式:.答案2．直線方程的幾種形式：①點斜式，合用范圍:不含直線;特例:斜截式，合用范圍：不含垂直于軸的直線;②兩點式，合用范圍：不含直線和直線;特例:截距式,合用范圍：不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線；③一般式,合用范圍：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都合用.3.求過，的直線方程時：（1)若,且時，直線垂直于軸,方程為;（2)若,且時,直線垂直于軸,方程為；（3）若,且時，直線即為軸,方程為;（4)若,且時，直線即為軸,方程為。4．已知直線:，直線:，則①與相交；②與平行；③與重合;④與垂直．5.已知直線:，直線:，則①與相交；②與平行；③與重合;④與垂直.6.兩點,之間的距離;點到直線:的距離；兩平行直線:與:之間的距離．７.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其中為圓心，為半徑;圓的一般方程為表達(dá)圓的充要條件是，其中圓心為，半徑為．8．點與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點，（１)點在圓上:；（2）點在圓外：；（３)點在圓內(nèi):。９．直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的三種位置關(guān)系常用的兩種判斷方法：(1）代數(shù)法：直線方程和圓的方程聯(lián)立方程組消去或整理成一元二次方程后,計算判別式①；②；③。(2）幾何法：運用圓心到直線的距離和圓半徑的大小關(guān)系①；②；。10.圓的切線方程①若圓的方程為,點在圓上,則過點，且與圓相切的切線方程為；②通過圓上的的切線方程為:。點在圓外，則可設(shè)切線方程為,運用直線與圓相切，運用圓心到直線的距離等于半徑，解出k。11．計算直線被圓截得的弦長的兩種方法:(1）幾何法：運用弦心距、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算。（２）代數(shù)法:運用韋達(dá)定理及弦長公式12．設(shè)圓：，圓：，則有兩圓①相離；②外切;③內(nèi)切；④相交;⑤內(nèi)含．13．對稱問題①點關(guān)于點的對稱：運用中點坐標(biāo)公式。②直線關(guān)于點對稱:運用取特殊點法或轉(zhuǎn)移法。③點關(guān)于直線對稱:運用垂直和平分。④直線關(guān)于直線對稱：轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題解決。假如是平行直線,還可以運用平行直線之間距離。假如是相交直線,可以運用已知交點,夾角相等的方法。常用的對稱關(guān)系：點(a,ｂ)點(a,b)關(guān)于原點的對稱點（-a，-b）,點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為點（ａ，b)關(guān)于x軸的對稱點（a，-b），點(a,b)關(guān)于y軸的對稱點為(-a,b)，點(a，b）關(guān)于直線y=ｘ的對稱點為(b,a),點（a,b)關(guān)于直線y=－x的對稱點(－ｂ，-a),點(a,b)關(guān)于直線y＝ｘ+m的對稱點為(b-m,a+m)，點(ａ,ｂ)關(guān)于直線y＝-x+m的對稱點(ｍ-b,m－a）.練習(xí)題(第一部分）1.直線的傾斜角為若,則此直線的斜率是（)A．B.C.Ｄ.2.直線過點(-1,２）且與直線垂直，則的方程是?A. B. ?C.? D.3.已知兩條直線和互相垂直,則等于（)A．2B．1C.０D．解析：兩條直線和互相垂直，則,∴a=-1,選Ｄ.點評:直線間的垂直關(guān)系要充足運用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時兼顧到斜率為零和不存在兩種情況4．已知、,直線過且與線段有交點，設(shè)直線的斜率為，則的取值范圍（）A．或B.Ｃ.或D.解析:過點、的直線斜為,過點、的直線斜率為,畫圖可看出過點的直線與線段有公共點可看作直線繞點從旋轉(zhuǎn)至的全過程。5.直線通過點,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,假如符合條件的直線能作且只能作三條，則(）A．B.C.D.解析:設(shè)直線方程為，則有,當(dāng)時，,得,即與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形的面積的最小值為４,顯然與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形在二、四象限時各有一個面積為４,共可作且只可作三條符合條件的直線。6.已知直線:，：，若直線與關(guān)于對稱,則的方程為(）A.Ｂ.C．D.解析:在上取兩點，則它關(guān)于直線的對稱點為，所以的方程為。７．已知點，點在直線上,若直線垂直于直線,則點的坐標(biāo)是(）? ? Ａ. B.?C．?D.二、填空題8．過點(1，2)且與直線平行的直線方程是_＿.9.已知兩條直線若，則＿_(dá)＿_(dá).解：兩條直線若，,則2．10．若過點和的直線的傾斜角為鈍角，那么實數(shù)的取值范圍是．11．假如直線的傾斜角為且則直線的斜率為.解析：由,由于直線的傾斜角為所以,又,所以,，所以,所以，所以,。三、解答題12.已知直線通過直線與直線的交點，且垂直于直線.(Ⅰ)求直線的方程;（Ⅱ)求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.解：（Ⅰ)由解得由于點Ｐ的坐標(biāo)是(,2).則所求直線與直線垂直，可設(shè)直線的方程為．把點P的坐標(biāo)代入得,即.所求直線的方程為.(Ⅱ)由直線的方程知它在軸、軸上的截距分別是、，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積.13.求通過直線：與直線：的交點M，且滿足下列條件①通過原點;②與直線：平行；③與直線:垂直的直線方程。答案：１4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ＡBCD的長為2,寬為1,ＡB、ＡD邊分別在軸、軸的正半軸上，Ａ點與坐標(biāo)原點重合，將矩形折疊,使Ａ點落在線段ＤC上，若折痕所在的直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程。解:（1)當(dāng)時,、重合,折痕所在直線方程為（２）當(dāng)時,設(shè)折疊后落在線段上的點為,所以與關(guān)于折痕所在直線對稱。，可得,從而,線段之中點為,折痕所在直線方程為,化簡得。練習(xí)題(第二部分）１．直線與圓的位置關(guān)系是（）Ａ．相交但直線但是圓心Ｂ.相切C.相離D.相交且直線過圓心2.與圓同圓心,且面積為圓面積的一半的圓的方程為(）Ａ． ?B.C. D.３.圓心為的圓與直線交于、兩點,為坐標(biāo)原點，且滿足，則圓的方程為()A.Ｂ．C．Ｄ．4．是曲線上任意一點,則的最大值為()A.B.Ｃ.Ｄ.５．兩個圓:與：的公切線有且僅有(）A.條B.條C.條D.條解析:由于，所以,所以兩圓相交，故兩圓公切線有條。６.從圓外一點向這個圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦值為（)A.Ｂ．Ｃ.D．解析:圓的圓心為M(１,1),半徑為1，從外一點向這個圓作兩條切線，則點P到圓心Ｍ的距離等于，每條切線與PM的夾角的正切值等于，所以兩切線夾角的正切值為,該角的余弦值等于。7.若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的斜率的取值范圍是（)A.［］B.［]C.[D．解析:圓整理為,∴圓心坐標(biāo)為(２，２），半徑為3,規(guī)定圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，∴,∴，∴，，∴,選B.８．若直線按向量平移后與圓相切，則的值為（)A．或B.或C．或D.或解:將直線按向量平移得，即,由于與圓相切，所以,,或。二、填空題9.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是，則實數(shù)的值是

2

.10．若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則這個圓的方程為.解析：若半徑為１的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則圓心在直線上，且圓心的橫坐標(biāo)為１，所以縱坐標(biāo)為，這個圓的方程為。１１．已知圓：,直線:，下面四個命題:①對任意實數(shù)與,直線和圓相切；②對任意實數(shù)與,直線和圓有公共點；③對任意實數(shù),必存在實數(shù),使得直線與和圓相切④對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線與和圓相切．其中真命題的序號是＿＿_(dá)＿_(dá)__＿_(dá)_____(寫出所有真命題的序號)解：②④,圓心坐標(biāo)為，。12.函數(shù)的最小值為．13.從原點向圓作兩條切線,則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為.解析：運用數(shù)形結(jié)合解此題有優(yōu)勢。由于,所以,圓心在，半徑為3，設(shè)圓心為，切點為，則在中，,，所以,所以兩切線的夾角為,劣弧所對的圓心角為，故劣弧的弧長為。三、解答題14．求過直線和圓的交點,且滿足下列條件之一的圓的方程．（１）過原點；(2）有最小面積.15．假如實數(shù)滿足,求①的最大值；②的最小值;③的最值.分析：表達(dá)以點為圓心,半徑為的圓,為圓上的點與原點連線的斜率；設(shè)，則,可知是斜率為1的直線在軸上的截距，于是問題①實質(zhì)上是求圓上的點與原點連線的斜率的最大值；②實質(zhì)上是求斜率為1的直線與已知圓有公共點時直線的縱截距的最小值;③實質(zhì)上是求圓上一點到原點距離平方的最大值與最小值。16.已知點及圓：.（Ⅰ）若直線過點且與圓心的距離為１，求直線的方程；（Ⅱ）設(shè)過點P的直線與圓交于、兩點，當(dāng)時,求以線段為直徑的圓的方程;（Ⅲ）設(shè)直線與圓交于，兩點,是否存在實數(shù)，使得過點的