第11章 塑性成形力學(xué)的工程應(yīng)用

第十一章塑性成形力學(xué)的工程應(yīng)用第一節(jié)金屬塑性成形問(wèn)題的求解方法概述

對(duì)于一般空間問(wèn)題，在三個(gè)平衡微分方程和一個(gè)屈服準(zhǔn)則中，共包含六個(gè)未知數(shù)，屬靜不定問(wèn)題。再利用六個(gè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式（本構(gòu)方程）和三個(gè)變形連續(xù)性方程，共得十三個(gè)方程，包含十三個(gè)未知數(shù)（六個(gè)應(yīng)力分量，六個(gè)應(yīng)變或應(yīng)變速率分量，一個(gè)塑性模量），方程式和未知數(shù)相等。但是，這種數(shù)學(xué)解析法只有在某些特殊情況下才能解，而對(duì)一般的空間問(wèn)題，數(shù)學(xué)上的精確解極其困難。

塑性成形力學(xué)解析的最精確的方法，是聯(lián)解塑性應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)的基本方程。1．主應(yīng)力法（又稱(chēng)初等解析法）從塑性變形體的應(yīng)力邊界條件出發(fā)，建立簡(jiǎn)化的平衡方程和屈服條件，并聯(lián)立求解，得出邊界上的正應(yīng)力和變形的力能參數(shù)，但不考慮變形體內(nèi)的應(yīng)變狀態(tài)。2．滑移線(xiàn)法假設(shè)材料為剛塑性體，在平面變形狀態(tài)下，塑變區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)存在兩族正交的滑移線(xiàn)族。根據(jù)這一原理結(jié)合邊界條件可解出滑移線(xiàn)場(chǎng)和速度場(chǎng)，從而求出塑變區(qū)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)和瞬時(shí)流動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算出力能參數(shù)。3．上限法從變形體的速度邊界條件出發(fā)，對(duì)塑變區(qū)取較大的單元，根據(jù)極值原理，求出塑變能為極小值時(shí)滿(mǎn)足變形連續(xù)條件和體積不變條件時(shí)的動(dòng)可容速度場(chǎng)，計(jì)算出力能參數(shù)，但不考慮塑變區(qū)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)是否滿(mǎn)足平衡方程。4．有限元法5.板料成形理論

對(duì)大量實(shí)際問(wèn)題，則是進(jìn)行一些簡(jiǎn)化和假設(shè)來(lái)求解。根據(jù)簡(jiǎn)化方法的不同，求解方法有下列幾種。

主應(yīng)力法是金屬塑性成形中求解變形力的一種近似解法。它通過(guò)對(duì)應(yīng)力狀態(tài)作一些近似假設(shè)，建立以主應(yīng)力表示的簡(jiǎn)化平衡方程和塑性條件，使求解過(guò)程大大簡(jiǎn)化。其基本要點(diǎn)如下：第二節(jié)主應(yīng)力法及其求解要點(diǎn)（1）把變形體的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)簡(jiǎn)化成平面問(wèn)題（包括平面應(yīng)變狀態(tài)和平面應(yīng)力狀態(tài)）或軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，以便利用比較簡(jiǎn)單的塑性條件，即:（2）根據(jù)金屬流動(dòng)的方向，沿變形體整個(gè)（或部分）截面（一般為縱截面）切取包含接觸面在內(nèi)的基元體，且設(shè)作用于該基元體上的正應(yīng)力都是均布的主應(yīng)力。

（4）將經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的平衡微分方程和塑性條件聯(lián)立求解，并利用邊界條件確定積分常數(shù)，求得接觸面上的應(yīng)力分布，進(jìn)而求得變形力。

（3）在對(duì)基元體列塑性條件時(shí)，假定接觸面上的正應(yīng)力為主應(yīng)力，即忽略摩擦力對(duì)塑性條件的影響(忽略切應(yīng)力)，從而使塑性條件大大簡(jiǎn)化。即有：（當(dāng)>）。

由于經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的平衡方程和屈服方程實(shí)質(zhì)上都是以主應(yīng)力表示的，故此得名“主應(yīng)力法”。又因這種解法是從切取基元體或基元板塊著手的，故也形象地稱(chēng)為“切塊法”（Slabmethod）。

第三節(jié)主應(yīng)力法的應(yīng)用

（1）切取基體。一、長(zhǎng)矩形板坯變形力

設(shè)長(zhǎng)矩形板坯在變形某瞬時(shí)的寬度為a，高度為h，長(zhǎng)度為l(la)，故可近似地認(rèn)為坯料沿l向無(wú)變形，屬于平面變形問(wèn)題。用主應(yīng)力法計(jì)算變形力的步驟如下：可忽略長(zhǎng)矩形板坯長(zhǎng)度方向的變形!（2）列出基元體沿x軸方向的平衡微分方程。

（3）采用常摩擦條件。（m為摩擦因子，）(19-1)

（5）聯(lián)解平衡微分方程和簡(jiǎn)化屈服方程(19-1)、（19-2）

，并將摩擦條件代入得：圖19-2平行砧板間平面應(yīng)變鍛粗及垂直應(yīng)力的分布圖形（4）列出的簡(jiǎn)化屈服方程。因?yàn)槭剑?9-1）中的應(yīng)力代表其絕對(duì)值，對(duì)于鐓粗變形，可判斷出的絕對(duì)值必大于的絕對(duì)值，所以有（19-2）（7）將應(yīng)力沿接觸面積分可求出鐓粗力和單位壓力。

（6）利用應(yīng)力邊界條件求積分常數(shù)C：當(dāng)，時(shí)有所以得（19-3）的分布圖形見(jiàn)圖19-2b)所示。（19-4）（19-4a）式中的表示工件外端（）處的垂直壓應(yīng)力（絕對(duì)值），若該處為自由表面有，則由式（19-2）得；由式（19-3）和式（19-4a），可方便求出寬度為a、高度為h的工件平面應(yīng)變自由鐓粗時(shí)接觸面上的壓應(yīng)力和單位變形力p

（均為絕對(duì)值）（把和代入（19-3）式即可）（19-5）（19-6）圖19-3表示平行砧板間的軸對(duì)稱(chēng)鐓粗。圖中基元板塊的平衡方程式為二、軸對(duì)稱(chēng)鐓粗的變形力圖19-3軸對(duì)稱(chēng)鐓粗變形及基元板塊受力分析以下不講!因是一極小微量，故，同時(shí)略去二階微量，

則上式化簡(jiǎn)為假定為均勻鐓粗變形，有得（19-7）所以按絕對(duì)值的簡(jiǎn)化屈服方程，因，故有:聯(lián)解得（19-8）接觸面滿(mǎn)足常摩擦條件，對(duì)上式進(jìn)行積分得當(dāng)（19-9）（19-10）時(shí)得

為工件外端（）處的垂直壓應(yīng)力。若該處為自由表面，則可由上述公式求出高度為h、直徑為d的圓柱體自由鐓粗時(shí)接觸面上的壓應(yīng)力和單位變形力p：（19-11）否則由相鄰變形區(qū)提供的邊界條件確定。則；若（19-12）

圓柱體從錐形凹模擠出或鍛件充填圓錐形?？祝ㄇ唬┬纬赏古_(tái)屬于這種類(lèi)型。

三、通過(guò)圓錐孔型擠壓的變形力第四節(jié)滑移線(xiàn)的基本理論(不講)

因?yàn)樽畲笄袘?yīng)力成對(duì)出現(xiàn)，相互正交，因此，滑移線(xiàn)在變形體內(nèi)呈兩族互相正交的網(wǎng)絡(luò)，即所謂的滑移線(xiàn)場(chǎng)。

滑移線(xiàn)就是塑性變形體內(nèi)最大切應(yīng)力的軌跡線(xiàn)?；凭€(xiàn)法就是針對(duì)具體的變形過(guò)程，建立滑移線(xiàn)場(chǎng)，然后利用滑移線(xiàn)的特性求解塑性成形問(wèn)題，確定變形體內(nèi)的應(yīng)力分布和速度分布，進(jìn)而計(jì)算變形力，分析變形和決定毛坯的合理外形、尺寸等。嚴(yán)格地說(shuō)，滑移線(xiàn)法只適用于求解理想剛塑性材料的平面變形問(wèn)題，但對(duì)于主應(yīng)力互為異號(hào)的平面應(yīng)力問(wèn)題，某些軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題以及有硬化的材料，也可推廣應(yīng)用。

一、平面變形應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)

鏈接一、平面變形應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)

（19-21）最大切應(yīng)力為：而作用在最大切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力恰好等于中間主應(yīng)力或平均應(yīng)力，即由應(yīng)力莫爾圓的幾何關(guān)系可知有如下關(guān)系：式中，ω是最大切應(yīng)力平面與x軸的夾角。鏈接過(guò)點(diǎn)P并標(biāo)注其應(yīng)力分量的微分面為物理平面，如圖19-6d所示。顯然，應(yīng)力莫爾圓上一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)物理平面，應(yīng)力莫爾圓上兩點(diǎn)之間的夾角為相應(yīng)物理平面間夾角的兩倍。

對(duì)于理想剛塑性材料，K為常數(shù)平面塑性應(yīng)變狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力也可以用平均應(yīng)力與最大切應(yīng)力K來(lái)表示，將一點(diǎn)的代數(shù)值最大的主應(yīng)力的指向稱(chēng)為第一主方向（的作用線(xiàn)）。由第一主方向順時(shí)針轉(zhuǎn)所確定的最大切應(yīng)力，符號(hào)為正，其指向稱(chēng)為第一剪切方向。另一最大切應(yīng)力方向稱(chēng)為第二剪切方向。第一、第二兩剪切方向相互正交。

二、最大切應(yīng)力跡線(xiàn)——滑移線(xiàn)的形成

圖19-7滑移線(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的形成一族稱(chēng)α為滑移線(xiàn)，另一族稱(chēng)為β滑移線(xiàn)?；凭€(xiàn)場(chǎng)中，兩條滑移線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。

滑移線(xiàn)場(chǎng)與主應(yīng)力跡線(xiàn)場(chǎng)相交成45°角。已知滑移線(xiàn)場(chǎng)便可作出主應(yīng)力跡線(xiàn)場(chǎng)，反之，已知主應(yīng)力跡線(xiàn)場(chǎng)也可作出滑移線(xiàn)場(chǎng)。

三、關(guān)于α、β滑移線(xiàn)和ω角的規(guī)定（2）滑移線(xiàn)兩側(cè)的最大切應(yīng)力組成順時(shí)針?lè)较虻臑棣磷寰€(xiàn)，組成逆時(shí)針?lè)较虻臑棣伦寰€(xiàn)；（3）當(dāng)已知主應(yīng)力σ1和σ3方向時(shí)，將它們沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450角，即得α、β族線(xiàn)。（1）當(dāng)α、β族線(xiàn)構(gòu)成右手坐標(biāo)系時(shí)，代數(shù)值最大的主應(yīng)力σ1的作用方向位于第一與第三象限（4）α線(xiàn)的切線(xiàn)方向與ox軸的夾角以ω表示，并規(guī)定ox軸的正向?yàn)棣亟堑牧慷绕鹗季€(xiàn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成的ω角為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成的ω角為負(fù)。

由圖可知四、滑移線(xiàn)的微分方程（19-23）滑移線(xiàn)的微分方程為五、滑移線(xiàn)的主要特性（一）漢基（H．Hencky）應(yīng)力方程

(19-24)

（二）

滑移線(xiàn)的沿線(xiàn)特性

漢基應(yīng)力方程是滑移線(xiàn)場(chǎng)理論中很重要的公式，根據(jù)漢基應(yīng)力方程可推導(dǎo)出滑移線(xiàn)場(chǎng)的一些主要特性。（19-25）（1）若滑移線(xiàn)場(chǎng)已經(jīng)確定，且已知一條滑移線(xiàn)上任一點(diǎn)的平均應(yīng)力，則可確定該滑移線(xiàn)場(chǎng)中各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（2）若滑移線(xiàn)為直線(xiàn)，則此直線(xiàn)上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同。（3）如果在滑移線(xiàn)場(chǎng)的某一區(qū)域內(nèi)，兩族滑移線(xiàn)皆為直線(xiàn)，則此區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同，稱(chēng)為均勻應(yīng)力場(chǎng)。

幾點(diǎn)結(jié)論：（三）漢基第一定理（跨線(xiàn)特性）及其推論

同一族的一條滑移線(xiàn)轉(zhuǎn)到另一條滑移線(xiàn)時(shí)，則沿另一族的任一條滑移線(xiàn)方向角的變化及平均應(yīng)力的變化均為常數(shù)。

（19-26）由式（19-26）可知，若單元網(wǎng)絡(luò)三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的值為已知，則第四個(gè)節(jié)點(diǎn)上的值即可求出。

圖19-11推論示意圖從漢基第一定理可得出如下推論：若一族的一條滑移線(xiàn)的某一區(qū)段為直線(xiàn)段，則被另一族滑移線(xiàn)所截得的該族滑移線(xiàn)的所有相應(yīng)線(xiàn)段皆為直線(xiàn)（見(jiàn)圖19-11）。

滑移線(xiàn)場(chǎng)的建立概括起來(lái)有兩種方法，即分析推理法（也稱(chēng)簡(jiǎn)化圖解法）和數(shù)值解析法。分析推理法是根據(jù)塑性區(qū)內(nèi)金屬流動(dòng)情況，將塑性變形區(qū)分成若干小區(qū)，各小區(qū)中滑移線(xiàn)場(chǎng)為已知的簡(jiǎn)單的滑移線(xiàn)場(chǎng)，各小區(qū)拼接處和整個(gè)滑移線(xiàn)場(chǎng)邊界都應(yīng)滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件。六、滑移線(xiàn)場(chǎng)的建立1．不受力的自由表面自由表面上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可分為兩種情形：（一）塑性區(qū)的應(yīng)力邊界條件自由表面上有，所以，即兩族滑移線(xiàn)與自由表面相交成。(a)（圖19-12a）(b)（圖19-12b）由于接觸表面上無(wú)摩擦，即，則與不受力的自由表面情況一樣，，兩族滑移線(xiàn)與接觸表面相交成，如圖19-13所示。

2．無(wú)摩擦的接觸表面圖19-13無(wú)摩擦接觸表面處的滑移線(xiàn)3．

摩擦切應(yīng)力達(dá)到最大值K的接觸面

由于接觸表面上，則，或，即一族滑移線(xiàn)與接觸表面相切，另一族滑移線(xiàn)與之正交。

4．摩擦切應(yīng)力為某一中間值的接觸表面此時(shí)，接觸面上的摩擦切應(yīng)力為0<<K。根據(jù)式（19-21）有（19-27）將的數(shù)值代人式（19-27）可求得的兩個(gè)解。但它的正確解應(yīng)根據(jù)、的代數(shù)值并利用應(yīng)力莫爾圓來(lái)確定。確定后，即可確定線(xiàn)和線(xiàn)，如圖19-15所示。

圖19-15摩擦切應(yīng)力為某一中間值的接觸表面處的滑移線(xiàn)（二）常見(jiàn)的滑移線(xiàn)場(chǎng)類(lèi)型1．直線(xiàn)滑移線(xiàn)場(chǎng)2．簡(jiǎn)單滑移線(xiàn)場(chǎng)(1)有心扇形場(chǎng)(2)無(wú)心扇形場(chǎng)

3．直線(xiàn)滑移線(xiàn)場(chǎng)與簡(jiǎn)單滑移線(xiàn)場(chǎng)的組合

4．由兩族相互正交的光滑曲線(xiàn)所構(gòu)成的滑移線(xiàn)場(chǎng)(1)當(dāng)圓弧邊界面為自由表面或其上作用有均布的法向應(yīng)力時(shí)，其滑移線(xiàn)場(chǎng)由正交的對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)所構(gòu)成，如圖19-19a所示。(2)粗糙平行剛性板間壓縮時(shí)，相應(yīng)于接觸面上摩擦力達(dá)到最大值的那一段，其滑移線(xiàn)場(chǎng)為正交的圓擺線(xiàn)，如圖19-19b所示。(3)兩個(gè)等半徑圓弧所構(gòu)成的滑移線(xiàn)場(chǎng)，也稱(chēng)擴(kuò)展的有心扇形場(chǎng)，如圖19-19c所示。

圖19-19兩族正交曲線(xiàn)構(gòu)成的滑移線(xiàn)場(chǎng)第五節(jié)滑移線(xiàn)法的應(yīng)用

(不講)

一、平?jīng)_頭壓入半無(wú)限體

大型自由鍛中剁刀切斷大鋼坯或用壓鐵在鍛件上局部壓入等工步的金屬變形狀態(tài)，可以看作是平?jīng)_頭壓入半無(wú)限體內(nèi)的塑性成形問(wèn)題。如鋼坯尺寸很大，變形可以認(rèn)為是平面變形。設(shè)沖頭的寬度為2b，沖頭表面光滑，與坯料的接觸面上無(wú)摩擦力作用，現(xiàn)用滑移線(xiàn)法求解。1．

建立滑移線(xiàn)場(chǎng)

沖頭壓入時(shí)，沖頭下的金屬受壓縮而產(chǎn)生塑性變形，靠近沖頭兩側(cè)附近自由表面的金屬因受擠后而產(chǎn)生凸起的塑性變形。在沖頭兩側(cè)的自由表面上，由于無(wú)外力作用，根據(jù)滑移線(xiàn)的特性和應(yīng)力邊界條件，推知是均勻應(yīng)力場(chǎng)，CD為線(xiàn),AC為線(xiàn)，均與自由表面AD成。2．

求平均單位壓力

由于對(duì)稱(chēng)，取右半部分分析。

在滑移線(xiàn)場(chǎng)中任取一條連接自由表面和沖頭接觸面的線(xiàn)EF，E、F點(diǎn)的應(yīng)力可作應(yīng)力莫爾圓求得。對(duì)F點(diǎn)，為壓應(yīng)力E點(diǎn)在接觸面上均為壓應(yīng)力，其絕對(duì)值大于平?jīng)_頭單位長(zhǎng)度上的壓力為在邊界AD上，在接觸面AO上EF為線(xiàn)由式（19-24）的第一式，有得或（19-28）（19-28a）（19-29）

按式（19-21）第二式，有所得結(jié)果與式（19-28）、（19-28a）相同。

對(duì)E、F點(diǎn)的應(yīng)力也可直接由式（19-21）求得，計(jì)算如下：F點(diǎn)所以E點(diǎn)，則因?yàn)閰^(qū)為均勻應(yīng)力場(chǎng)，所以單位流動(dòng)壓力為或第六節(jié)塑性極值原理和上限法

(不講)

對(duì)于復(fù)雜的塑性成形問(wèn)題，要求得一般的數(shù)學(xué)解是很困難的。通常采用近似方法求解塑性成形問(wèn)題，得到的解有兩種類(lèi)型：數(shù)值解和解析解。采用有限元法和有限差分法得到的是數(shù)值解。用主應(yīng)力法、滑移線(xiàn)法得出的是解析解，它們?cè)谇蠼鈺r(shí)對(duì)問(wèn)題本身和材料性質(zhì)都作了一些簡(jiǎn)化處理和假設(shè)，難以得到準(zhǔn)確解。而極限分析法則是另一種解析法，這種方法從力學(xué)理論基礎(chǔ)上根本改變了近似和簡(jiǎn)化途徑，使求解過(guò)程中不必解復(fù)雜的偏微分方程，并具有較可靠的解析結(jié)果。

一、概述如果在金屬塑性成形過(guò)程的力學(xué)問(wèn)題求解中通過(guò)近似的方法簡(jiǎn)化求解過(guò)程并排除復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而得出的載荷大于或小于這個(gè)真實(shí)的極限載荷，則所得出的解稱(chēng)為界限載荷。因此，極限分析的計(jì)算方法分為上限法與下限法，求解界限載荷的理論分為上限定理與下限定理。

在塑性成形理論中，對(duì)理想塑性材料的工件當(dāng)載荷增加到某一數(shù)值時(shí)，即使載荷不再繼續(xù)增加，塑性變形也會(huì)自然的發(fā)展，這時(shí)工件達(dá)到所謂極限狀態(tài)，這樣的載荷值稱(chēng)為極限載荷。極限載荷極限分析計(jì)算的界限載荷與實(shí)測(cè)載荷的誤差一般約在（10～15）%，在工程應(yīng)用的許可范圍之內(nèi)，因其計(jì)算簡(jiǎn)單，在工藝分析計(jì)算中得到廣泛的應(yīng)用。特別是上限法得出的結(jié)果略大于真實(shí)載荷，正符合于鍛壓設(shè)備選擇與模具設(shè)計(jì)的安全要求。此外，上限法所依據(jù)的近似方法（虛擬的動(dòng)可容速度場(chǎng)）能夠用實(shí)驗(yàn)觀(guān)察或用滑移線(xiàn)場(chǎng)找到參考依據(jù)，因此，這種方法在工程中得到廣泛的應(yīng)用，它除了用來(lái)估算成形過(guò)程的力能參數(shù)外，還可用于金屬流動(dòng)和變形分析、工藝參數(shù)和模具的優(yōu)化設(shè)計(jì)，以及工件內(nèi)部溫度場(chǎng)和缺陷的預(yù)測(cè)等。故此，下面將著重介紹界限法中的上限法及其應(yīng)用。

界限法的力學(xué)基礎(chǔ)是虛功原理。變形體的虛功原理可表述如下：如對(duì)載荷系（力系）作用下處于平衡狀態(tài)的變形體給予一符合約束條件的微小虛位移時(shí)，則外力在虛位移上所作的虛功，必等于變形體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功（虛應(yīng)變能）。為了方便起見(jiàn)，也可用功增量表示。

二、虛功原理與基本能量方程式（19-35）圖19-28變形體邊界的劃分及其上的表面力Ti和位移增量dui在討論虛功方程時(shí)，變形體內(nèi)的位移（增量）場(chǎng)或速度場(chǎng)是處處連續(xù)的。而實(shí)際上，在剛塑性變形體內(nèi)可能存在位移（增量）或速度不連續(xù)的情形，這點(diǎn)必須加以考慮。

三、速度間斷現(xiàn)設(shè)變形體被速度間斷面SD分成①和②兩個(gè)區(qū)域；在微段dSD上的速度間斷情況如圖所示。根據(jù)塑性變形體積不變條件可知，垂直于dSD上的速度分量必須相等，否則材料將發(fā)生重疊或拉開(kāi)。而切向速度分量可以不等，造成①、②區(qū)的相對(duì)滑動(dòng)。其速度間斷值為

速度間斷面就是沿SD的一個(gè)速度急劇而連續(xù)變化的薄層區(qū)，如圖所示。變形體由于存在速度間斷，要消耗一定的剪切功率，其值為

(19-38）

圖19-30速度間斷薄層區(qū)如果變形體內(nèi)存在若干個(gè)速度間斷面，則所消耗的功率等于各個(gè)面所消耗功率的總和。

對(duì)于變形體存在速度間斷時(shí)的虛功（率）方程應(yīng)為

（19-39）當(dāng)變形體處于塑性屈服狀態(tài)，對(duì)剛塑性體而言，若應(yīng)變?cè)隽繄?chǎng)一定,在所有滿(mǎn)足屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場(chǎng)中，與該應(yīng)變?cè)隽繄?chǎng)符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場(chǎng)所做的塑性功增量為最大，其表達(dá)式為四、最大散逸功原理-----是滿(mǎn)足同一屈服準(zhǔn)則的任意應(yīng)力偏量（場(chǎng)）。≥0（19-40）式中，d-----是符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力偏量（場(chǎng)）和應(yīng)變?cè)隽浚▓?chǎng)）；五、上限法原理（2）變形體在變形時(shí)保持連續(xù)性，不發(fā)生重疊和開(kāi)裂。（3）滿(mǎn)足體積不變條件。即用上限法計(jì)算極限載荷時(shí)，只假設(shè)塑變區(qū)的位移狀態(tài)為動(dòng)可容速度場(chǎng)（或位移場(chǎng)），它滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：.（1）滿(mǎn)足速度（或位移）的邊界條件，即在位移面Su上，=或=，或.為給定的真實(shí)速度或真實(shí)位移。..而不考慮應(yīng)力方面的條件，因此該速度（位移）場(chǎng)不一定是（一般不是）真實(shí)的速度（位移）場(chǎng)。依據(jù)此速度（位移）場(chǎng)所求得的極限載荷總是大于（最小等于）真實(shí)載荷，故稱(chēng)上限法。

由于所假設(shè)的速度（位移）場(chǎng)只要求滿(mǎn)足動(dòng)可容條件，現(xiàn)設(shè)有一動(dòng)可容位移增量場(chǎng)，且變形體內(nèi)存在速度間斷面，其上的位移增量間斷值為，如圖19-33所示。將虛功方程用于動(dòng)可容位移增量場(chǎng)和真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)，參照式（19-39）有

（19-45）式中，表示真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)