大學(xué)物理03剛體力學(xué)基礎(chǔ)

第

3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)第

3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)§3.1

剛體運(yùn)動的描述§3.2

剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理§3.3

剛體的轉(zhuǎn)動慣量§3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律§3.5

剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理§3.6

回轉(zhuǎn)儀進(jìn)動§3.7

剛體的平面運(yùn)動剛體：

既考慮物體的質(zhì)量,又考慮形狀和大小，但忽略其形變的物體模型?！?.1

剛體運(yùn)動的描述剛體可看作是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之間相對距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。一、剛體運(yùn)動的基本形式

可以用質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的方法來處理剛體的平動問題。剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在任一時刻具有相同的速度和加速度。1.平動剛體內(nèi)任一直線在運(yùn)動過程中始終保持平行。a.定軸轉(zhuǎn)動b.定點(diǎn)轉(zhuǎn)動如：門、窗的轉(zhuǎn)動等。如：陀螺的轉(zhuǎn)動。3.

平面運(yùn)動可以分解為剛體隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心垂直于運(yùn)動平面的定軸轉(zhuǎn)動。剛體上每一質(zhì)元的運(yùn)動都平行于某一固定平面。如：車輪滾動。可以分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。4.

剛體的一般運(yùn)動

剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(即轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動。2.轉(zhuǎn)動研究方法：作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)平行于轉(zhuǎn)軸的直線上各點(diǎn)具有相同的運(yùn)動狀態(tài)(速度和加速度)，因此，只要研究剛體內(nèi)某一垂直于轉(zhuǎn)軸的平面(轉(zhuǎn)動平面)上各點(diǎn)的運(yùn)動，就可了解整個剛體的運(yùn)動。轉(zhuǎn)動平面內(nèi)：取轉(zhuǎn)心O，參考軸x，1.剛體的角位置與角位移2.剛體的角速度角加速度二、定軸轉(zhuǎn)動的描述角量xOP轉(zhuǎn)動平面P點(diǎn)：角位置角位移3.線量與角量的關(guān)系：角速度的方向：rj角加速度的方向：加速轉(zhuǎn)動時，兩者同方向，減速轉(zhuǎn)動時，兩者反方向。對于勻角加速轉(zhuǎn)動，則有：式中：是t=0時刻的角速度和角位置。說明：作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)各點(diǎn)具有相同的角量，但不同位置的質(zhì)點(diǎn)具有不同的線量。勻加速直線運(yùn)動：

剛體是一個質(zhì)點(diǎn)系，描述質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程：1.剛體是質(zhì)點(diǎn)系，剛體所受關(guān)于原點(diǎn)O

的力矩等于合外力矩。2.只有垂直轉(zhuǎn)軸的外力分量才產(chǎn)生沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩Mz，而平行于轉(zhuǎn)軸的外力分量產(chǎn)生的力矩Mxy則被軸承上支承力的力矩所抵消。§3.2

剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理一、剛體所受的力矩說明取慣性坐標(biāo)系，設(shè)第i

個質(zhì)元受外力，并假定垂直于轉(zhuǎn)軸。xyz也被抵消所受關(guān)于O點(diǎn)的外力矩為：剛體所受的關(guān)于定軸的合力矩：剛體所受的關(guān)于O

的角動量：共面二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量xzy對整個剛體：稱為剛體對轉(zhuǎn)軸z

的轉(zhuǎn)動慣量。為剛體關(guān)于轉(zhuǎn)軸z

的角動量。關(guān)于剛體角動量的補(bǔ)充說明mmbbaRJ結(jié)論：1、角動量和角速度一般并不在同一個方向上2、角動量與角速度在數(shù)值上也并不是以轉(zhuǎn)動慣量為比例系數(shù)的正比關(guān)系得到：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：設(shè)轉(zhuǎn)動過程中J不變，則有：由質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理：對剛體的定軸轉(zhuǎn)動，有：而且

剛體在作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律推廣到J

可變情形：稱為在t0到t

時間內(nèi)作用在剛體上的角沖量?！獎傮w定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理

是關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程。(與F=ma

比較)[例3-1]定滑輪：m，

r，J

，物體：m1，m2，

輕繩不能伸長，無相對滑動。求滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩的張力。解：由于考慮滑輪的質(zhì)量，問題中包括平動和轉(zhuǎn)動。輪不打滑：聯(lián)立方程，可解得T1

，T2，a，。

此裝置稱阿特伍德機(jī)——可用于測量重力加速度

g

r[例3-2]均質(zhì)細(xì)棒：m

，l

，對水平軸O：，鉛直位置時，一水平力F

作用于距O為l′

處，計(jì)算O

軸對棒的作用力(稱軸反力)。O解：得：設(shè)軸反力為Nx，Ny。由轉(zhuǎn)動定律：由質(zhì)心運(yùn)動定律：當(dāng)l=2l/3時，Nx=0，此時的打擊點(diǎn)稱打擊中心。l>2l/3時，Nx>0，l

<

2l/3時，Nx<0。c討論：[例3-3]

半徑為

R1

和R2、轉(zhuǎn)動慣量為J1

和J2

的兩個圓柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動，最初大圓柱體的角速度為0，現(xiàn)將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動，當(dāng)相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動。求小圓柱的最終角速度多大？設(shè)垂直于紙面向里為正向：無相對滑動：分別對o1

軸和o2

軸運(yùn)用角動量定理。解：o1o2定義：1.剛體由分立的質(zhì)點(diǎn)組成時：2.剛體為質(zhì)量連續(xù)體時：單位(SI)：

轉(zhuǎn)動慣量僅取決于剛體本身的性質(zhì)，即與剛體的形狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。一、剛體的轉(zhuǎn)動慣量及其計(jì)算§3.3

剛體的轉(zhuǎn)動慣量[例3-4]求均質(zhì)細(xì)棒(m

，l)的轉(zhuǎn)動慣量：

(1)轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直，

(2)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒垂直。解：(1)(2)

可見，轉(zhuǎn)動慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明是關(guān)于某軸的轉(zhuǎn)動慣量。OxOxdxdmdxdm[例3-5]求質(zhì)量m

半徑R

的(1)均質(zhì)圓環(huán)，(2)均質(zhì)圓盤對通過直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：(1)圓環(huán)：dmodm(2)圓盤：

可見，轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)。剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J

等于對通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量Jc加上剛體質(zhì)量m

乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離d

的平方。證明：二、平行軸定理coJcJd[例3-6]計(jì)算掛鐘擺錘對O軸的轉(zhuǎn)動慣量。O解：[例3-7]

設(shè)一薄板，已知對板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為Jx、Jy，計(jì)算板對z軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz。Oxyz解：稱垂直軸定理(適用于薄板)。如圓盤(m、R)對過圓心的垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量：[例3-8]

質(zhì)量為M=16kg的實(shí)心滑輪，半徑為R=0.15m。一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m的物體。求(1)由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離。(2)繩子的張力。解：Mm[例3-9]

一質(zhì)量為m

，長為l

的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)，距A端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時的角速度和角加速度。解：(1)方向：

cOBAcOBA(2)[例3-10]

一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度為0，繞中心o旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時間圓盤才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為）drr解：Ro為其轉(zhuǎn)過的角度。定軸轉(zhuǎn)動角動量定理：定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定律：剛體在定軸轉(zhuǎn)動中，當(dāng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。適用于剛體，非剛體和物體系?！?.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律當(dāng)時，有即(常量)一、剛體(J

不變)的角動量守恒若

M=0，則J=常量，而剛體的J

不變，故的大小，方向保持不變。此時，即使撤去軸承的支撐作用，剛體仍將作定軸轉(zhuǎn)動——定向回轉(zhuǎn)儀——

可以作定向裝置。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。o

二、非剛體(J可變)的角動量守恒當(dāng)J增大，w就減小，當(dāng)J減小，w就增大。如：芭蕾舞，花樣滑冰中的轉(zhuǎn)動，恒星塌縮(R0，0)(R，)中子星的形成等。人與轉(zhuǎn)臺組成的系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒：[例3-11]

水平轉(zhuǎn)臺(m1、

R)可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動，初角速度w0，一人(m2)立在臺中心，相對轉(zhuǎn)臺以恒定速度u沿半徑向邊緣走去，計(jì)算經(jīng)時間

t，臺轉(zhuǎn)過了多少角度。解：臺轉(zhuǎn)過的角度：三、物體系的角動量守恒

若系統(tǒng)由幾個物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動量守恒：如：直升機(jī)機(jī)尾加側(cè)向旋葉，是為防止機(jī)身的反轉(zhuǎn)。角動量守恒條件[例3-12]摩擦離合器飛輪1：J1、

w1摩擦輪2：

J2

靜止，兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達(dá)到的共同角速度。兩輪對共同轉(zhuǎn)軸的角動量守恒解：試與下例的齒輪嚙合過程比較。21[例3-13]

兩圓盤形齒輪半徑r1、

r2，對通過盤心垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1、

J2，開始

1輪以w0轉(zhuǎn)動，然后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動，故對兩軸分別用角動量定理：得：解：12[例3-14]

均質(zhì)細(xì)棒：m1、l

，水平軸O，小球：m2與棒相碰，碰前碰后如圖，設(shè)碰撞時間很短，棒保持豎直，求碰后棒的角速度。系統(tǒng)對O軸角動量守恒注意：系統(tǒng)總動量一般不守恒，因?yàn)檩S承處的外力不能忽略。只當(dāng)碰撞在打擊中心時，Nx=0，系統(tǒng)的水平動量守恒：解：O一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能

定軸轉(zhuǎn)動可分解為剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動和隨質(zhì)心（繞定軸作圓周運(yùn)動）的平動?！?.5

剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理oc由平行軸定理：二、力矩的功1.平行于定軸的外力對質(zhì)元不做功。2.由于剛體內(nèi)兩質(zhì)元的相對距離不變，一對內(nèi)力做功之和為零。

說明ij合外力對剛體做的元功：力矩的功：功率：zP設(shè)作用在質(zhì)元Dmi上的外力

位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。四、剛體的重力勢能以地面為勢能零點(diǎn)，剛體和地球系統(tǒng)的重力勢能：zOi五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理將重力矩作的功用重力勢能差表示：得其中，M是除重力以外的其它外力矩?！獎傮w的機(jī)械能守恒定律——剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理若M=0，則[例3-15]均質(zhì)細(xì)棒m，l

，水平軸O，開始棒處于水平狀態(tài)，由靜止釋放，求棒擺到豎直位置時：(1)棒的角速度，(2)棒的轉(zhuǎn)動動能，(3)質(zhì)心的加速度，(4)軸的支反力。解：(2)(3)(4)(1)[例3-16]細(xì)桿A

：(m,L)可繞軸轉(zhuǎn)動，水平處靜止釋放，在豎直位置與靜止物塊B；(m)

發(fā)生彈性碰撞，求碰后：(1)

vB

，(2)2，(3)θmax。解：碰后反方向轉(zhuǎn)動。BABA[例3-17]圓錐體R，h，J，表面有淺槽，令以ω0轉(zhuǎn)動，小滑塊m由靜止從頂端下滑，不計(jì)摩擦，求滑到底部滑塊速度、圓錐體角速度。解：系統(tǒng)機(jī)械能守恒：hRu對豎直軸的角動量守恒：討論剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。

回轉(zhuǎn)儀：由厚而重，形狀對稱的剛體繞對稱軸高速自轉(zhuǎn)的裝置。當(dāng)M=0時，角動量及角速度矢量保持恒定

——定向回轉(zhuǎn)儀。當(dāng)回轉(zhuǎn)儀受到外力矩作用時，如：陀螺傾斜——？——進(jìn)動

——回轉(zhuǎn)效應(yīng)?！?.6

回轉(zhuǎn)儀進(jìn)動設(shè)陀螺質(zhì)量為m，以角速度自轉(zhuǎn)。重力對固定點(diǎn)o的力矩：繞自身軸轉(zhuǎn)動的角動量：由角動量定理的微分式：顯然，時刻改變方向而大小不變——進(jìn)動。1.陀螺

mgo進(jìn)動角速度：2.進(jìn)動軸通過定點(diǎn)且與外力平行。1.Ω(或ωp)與ω

有關(guān)，與θ無關(guān)。3.進(jìn)動方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。4.較小時，

有周期性變化，稱為章動。do說明改變方向，情況如何？

mgo2.杠桿回轉(zhuǎn)儀當(dāng)重物移近時，受力矩作用，出現(xiàn)回轉(zhuǎn)現(xiàn)象。平衡時，保持大小方向不變。o俯視圖回轉(zhuǎn)效應(yīng)的應(yīng)用：飛機(jī)，輪船，導(dǎo)彈中的指向儀，炮筒內(nèi)的旋轉(zhuǎn)式來復(fù)線。改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？o俯視圖§3.7剛體的平面平行運(yùn)動基本方程：平面平行運(yùn)動自由度：3平動（2）+轉(zhuǎn)動（1）質(zhì)心運(yùn)動定律：相對質(zhì)心的角動量定理：若外力為保守力，則機(jī)械能守恒：不是獨(dú)立方程！

若運(yùn)動受到約束，則所受外力中除主動力外還存在著約束力，而約束力在解出運(yùn)動前是未知的，因此除基本方程外還需列出相應(yīng)的約束方程，才能構(gòu)成完整的方程組。解：

d=0時，=0，剛體只有平動沒有轉(zhuǎn)動。[例3-18]長

l

質(zhì)量m

的勻質(zhì)細(xì)桿放在光滑的水平面上，以水平力

垂直作用在細(xì)桿上，作用點(diǎn)距質(zhì)心為d

，計(jì)算

作用瞬間細(xì)桿的角加速度和質(zhì)心的加速度。c.d[例3-19]一勻質(zhì)圓球(r)從靜止開始沿一粗糙斜面純滾動而下，斜面傾角為，球從上端滾到下端球心高度相差為h，計(jì)算小球滾到下端時質(zhì)心的速度和轉(zhuǎn)動角速度。c解：純滾動條件：也可由機(jī)械能守恒計(jì)算：mgNf上式即相對瞬心的轉(zhuǎn)動定律

剛體作平面平行運(yùn)動時，在一定條件下還可選瞬時轉(zhuǎn)動中心作為角動量定理的參考點(diǎn)。瞬時轉(zhuǎn)動中心（瞬心）剛體的平面平行運(yùn)動可看作每一時刻都繞平面上或平面外某點(diǎn)的一個轉(zhuǎn)動，一般而言，此點(diǎn)在不同時刻在不同的位置上。即轉(zhuǎn)動中心是隨時間改變的，故稱瞬時轉(zhuǎn)動中心。ABA’B’ABA’B’pABvAvBABvAvBvBvAAB長2l，質(zhì)量m，均勻剛性棒，放在光滑水平面上，下端與水平面接觸。棒的運(yùn)動方程？qxyCOp基本方法：mgN約束方程最后得利用相對瞬心的角動量定理：相對瞬心的轉(zhuǎn)動定律Opirpriri’0MvcFi在剛體作平面運(yùn)動情況下OpCrprcrOpCrprcr相對瞬心的角動量定理若轉(zhuǎn)動過程中質(zhì)心到瞬心距離保持不變，即qxyCOp利用相對瞬心的角動量