大物小測(cè)復(fù)習(xí)大綱

小測(cè)復(fù)習(xí)大綱大學(xué)物理課后題１.電場(chǎng)強(qiáng)度與場(chǎng)強(qiáng)疊加原理２.靜電場(chǎng)的高斯定理３.靜電場(chǎng)環(huán)路定理電勢(shì)能電勢(shì)４.靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體與電介質(zhì)５.電容器電場(chǎng)能量６.直流電流和圓電流的磁場(chǎng)磁場(chǎng)的高斯定理課后題７.安培環(huán)路定理８.電磁感應(yīng)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)９.自感互感磁場(chǎng)能量46.3

在坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)

分別放置電荷Q1＝-2.010-6C及Q2＝1.010-6C的點(diǎn)電荷，求點(diǎn)P

處的場(chǎng)強(qiáng)（坐標(biāo)單位為m）。解：6.4

如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻帶電細(xì)棒AB。設(shè)電荷的線密度為l。求：（1）AB棒延長(zhǎng)線上P1點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)（P1點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為a）。解：

取P1點(diǎn)為原點(diǎn)、P1A向?yàn)閤軸正向建立坐標(biāo)系。在AB上距P1為x處取電荷元dq=ldx，其在P1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)：即P1點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為方向沿AP1方向。6.5一根玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形，其上電荷均勻分布，總電荷為q，求半圓中心O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解：以半圓圓心為原點(diǎn)、對(duì)稱軸為x軸建立坐標(biāo)系，如圖，根據(jù)對(duì)稱性EOy=0在棒上取電荷元dq。寫(xiě)成矢量式：6-11兩個(gè)均勻的帶電同心球面，內(nèi)球面帶有電荷q1，外球面帶有電荷q2，兩球面之間區(qū)域中距球心為r的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為，方向沿球面半徑指向球心；外球面之外距球心為r的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為，方向沿球面半徑向外。試求q1和q2各等于多少？

解：設(shè)A、B分別為兩球面之間區(qū)域和外球面之外區(qū)域中的點(diǎn)，過(guò)A、B分別作兩球面SA、SB為高斯面，并取高斯面法線單位矢量沿徑向背離球心。根據(jù)高斯定理A點(diǎn)(兩球面之間區(qū)域)：B點(diǎn)(外球面之外區(qū)域)：6-13.兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為R1和R2(R2>R1)，分別帶有等量異號(hào)電荷（內(nèi)圓柱面帶正電），且兩圓柱面沿軸線每單位長(zhǎng)度所帶電荷的數(shù)值都為l。試分別求出以下三區(qū)域中離圓柱面軸線為r處的場(chǎng)強(qiáng)：求距離軸線r遠(yuǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)：⑴

r<R1；⑵

R1<r<R2；⑶r>R2。解：分別在三個(gè)區(qū)域作半徑為r高為h的同軸柱面為高斯面。根據(jù)高斯定理⑴r<R1

⑵R1<r<R2

⑶r>R2

場(chǎng)強(qiáng)方向：沿矢徑方向背離球心6-14.一半徑為R的帶電球，其上電荷分布的體密度r為一常數(shù)。試求此帶電球體內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布。解：在帶電球體內(nèi)、外分別作半徑為r的同心球面為高斯面。根據(jù)高斯定理當(dāng)r<R時(shí)，當(dāng)r>R時(shí)，6-17 如圖所示，A點(diǎn)有電荷+q，B點(diǎn)有電荷-q，AB=2l，OCD是以B為中心、l為半徑的半圓。（1） 將單位正電荷從O點(diǎn)沿OCD移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力做功多少？（2） 將單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB移到無(wú)窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)力做功多少？解：（1）選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)D點(diǎn)電勢(shì)：O點(diǎn)電勢(shì)：?jiǎn)挝徽姾蓮腛點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為：（2）單位負(fù)電荷從D點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)力做功為：6-19 在半徑分別為R1和R2的兩個(gè)同心球面上，分別均勻帶電，電荷量各為Q1和Q2，且R1<R2。求下列區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3）r>R2。解：半徑為R均勻帶電Q的球面在空間產(chǎn)生的電勢(shì)為：因此，根據(jù)球面電勢(shì)的疊加原理6-20 電荷q均勻分布在長(zhǎng)為2a的細(xì)棒上。求棒的延長(zhǎng)線上離棒的中點(diǎn)O點(diǎn)為x的點(diǎn)P的電勢(shì)。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：6-23兩個(gè)均勻帶電的金屬同心球殼，內(nèi)球殼（厚度不計(jì)）半徑為R1=5.0cm

，帶電荷q1=0.6010-8C

；外球殼內(nèi)半徑

R2=7.5cm，外半徑R3=9.0cm，所帶總電荷q2=-2.0010-8C

，（1）求：距離球心3.0cm，6.0cm，8.0cm，10.0cm各點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)；（2）如果用導(dǎo)線把兩個(gè)球殼連起來(lái)結(jié)果又怎樣？解：靜電平衡后q1=0.6010-8C

電荷分布在內(nèi)球殼表面。外球殼內(nèi)表面有電荷-q1，外表面有電荷q1+q2=-1.4010-8C

。(1)由高斯定理r=6.0cm(R1<r<R2)r=3.0cm(r<R1)r=8.0cm(R2<r<R3)r=10.0cm(r>R3)半徑為R的均勻帶電Q的球面電勢(shì)分布為根據(jù)球面電勢(shì)公式和電勢(shì)疊加原理，r=6.0cm(R1<r<R2)r=3.0cm(r<R1)r=8.0cm(R2<r<R3)r=10.0cm(r>R3)（2）如果用導(dǎo)線把兩個(gè)球殼連起來(lái)，內(nèi)球殼和外球殼內(nèi)表面不帶電，外球殼外表面帶電為q3’=-1.4×10-8C。導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，由于靜電屏蔽，外球殼的外表面電荷不影響導(dǎo)體空腔內(nèi)部。因此r<R3區(qū)域，E=0，即r=10.0cm(r>R3)由高斯定理

用導(dǎo)線把兩個(gè)球殼連起來(lái)后，導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體。r=10.0cm(r>R3)6-24在一半徑為a的長(zhǎng)直導(dǎo)線的外面,套有內(nèi)半徑為b的同軸導(dǎo)體薄圓筒,它們之間充以相對(duì)介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì),設(shè)導(dǎo)線和圓筒都均勻帶電,且沿軸線單位且沿軸線單位長(zhǎng)度所帶電荷分別為λ和-λ.（1）試求導(dǎo)線內(nèi)、導(dǎo)線和圓筒間、圓筒外三個(gè)空間區(qū)域中的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大??；（2）求導(dǎo)線和圓筒間電勢(shì)差。（1）根據(jù)高斯定理a<r<b時(shí)，r<a時(shí)，r>b時(shí)，(2)ab之間的電勢(shì)差解：在三個(gè)空間區(qū)域分別取半徑為r高度為h的高斯面6-25A、B、C是三塊平行金屬板，面積均為200cm2，A、B相距4.0mm,A、C相距2.0mm,B、C兩板都接地，如圖所示，設(shè)A板帶正電q=3.0×10-7C,不計(jì)邊緣效應(yīng)(即認(rèn)為電場(chǎng)集中在平板之間是均勻的)。(1)若平板之間為空氣(εr≈1.00),求B板和C板上的感應(yīng)電荷，以及A板上的電勢(shì)；（2）若在A、B間另充以εr=5的均勻電介質(zhì)，再求B板和C板上的感應(yīng)電荷，以及A板的電勢(shì)。由靜電感應(yīng)可知,A、C相向兩面帶等量異號(hào)電荷，A、B相向兩面也帶等量異號(hào)電荷。解：B、C兩板都接地，解以上兩式：(2)由靜電感應(yīng)可知,A、C相向兩面帶等量異號(hào)電荷，A、B相向兩面也帶等量異號(hào)電荷。B、C兩板都接地，解以上兩式：電場(chǎng)能量：6-28一空氣平板電容器的電容C=1.0pF，充電到電荷為Q=1.0×10-6C后，將電源切斷。（1）求極板間的電勢(shì)差和電場(chǎng)能量：（2）將兩極板拉開(kāi)，使距離增到原距離的2倍，試計(jì)算拉開(kāi)前后電場(chǎng)能的改變，并解釋其原因。

(2)距離拉長(zhǎng)2倍后，電容變?yōu)榻?(1)由得電場(chǎng)能量：電場(chǎng)能量增量：原因：將兩極板拉開(kāi)時(shí)，電場(chǎng)力做負(fù)功，電場(chǎng)能量增加。6.29平板電容器兩板間的空間（體積為V）被相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)填滿。極板上電荷的面密度為。試計(jì)算將電介質(zhì)從電容器中取出過(guò)程中外力所作的功。解：外力做功等于電容器電場(chǎng)能的增加：將代入，得解：在球形電容器兩極板間作半徑為r的同心高斯球面S

6.30若球形電容器兩同心金屬球面半徑分別為RA和RB（RA<RB）,帶電荷分別為+Q和-Q，兩球面間充滿介電常量為的均勻電介質(zhì)，設(shè)其電容量為C，試證明次電容器電場(chǎng)的能量為

由高斯定理得得則則半徑為r處的能量密度為

則球形電容器的電場(chǎng)能量為

又因?yàn)榍蛐坞娙萜鞯碾娙菁?-11一條無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線在一處彎折成半徑為R的圓弧，如圖所示，若已知導(dǎo)線中電流強(qiáng)度為I。試?yán)卯厞W－薩伐爾定理求：（1）當(dāng)圓弧為半圓周時(shí)，圓心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；（2）當(dāng)圓弧為1/4圓周時(shí)，圓心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：（1）因左右兩邊的半無(wú)限長(zhǎng)的延遲線經(jīng)過(guò)圓心，因而在圓心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，因此圓心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度僅由半圓形電流產(chǎn)生。（2）同理，圓心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度僅由1/4圓弧電流產(chǎn)生。（2）

(1)方向：垂直紙面向里方向：垂直紙面向里7-13一長(zhǎng)直導(dǎo)線ab,通過(guò)電流I1=20A，旁放置一段導(dǎo)線cd，通過(guò)電流I2=10A，且ab和cd在同一平面上，c端距ab為1cm,d端距ab為10cm,求導(dǎo)線cd所受的作用力。解：如圖建立坐標(biāo)系，長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為在cd段上的感應(yīng)強(qiáng)度分布隨x的增大而減小，因而可取cd段上一小段導(dǎo)線dl，所受的ab段對(duì)其作用力為：7-17如圖所示，載流長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為I，求通過(guò)矩形CDEF的磁通量解：如圖建立坐標(biāo)系，長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為如圖對(duì)矩形CDEF進(jìn)行分割，得到高度為l,寬度為dx的小矩形，該面積的磁通量為總磁通量為7-20一根長(zhǎng)直導(dǎo)體直圓筒，內(nèi)外半徑分別為a，b，電流I沿管軸方向，并且均勻的分布在管壁的橫截面上?？臻g某點(diǎn)P到管軸的距離為r，求下列三種情況下p點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

解：根據(jù)安培環(huán)路定理：7.21一根很長(zhǎng)的同軸電纜，由一導(dǎo)體圓柱（半徑為a)和一同軸的導(dǎo)體圓管（內(nèi)外半徑分別為b,c)構(gòu)成，使用時(shí)，電流I從一導(dǎo)體流去，從一導(dǎo)體流回，設(shè)電流都是均勻地分布在導(dǎo)體的截面上，求（1）導(dǎo)體圓柱內(nèi)r<a,（2）兩導(dǎo)體之間a<r<b（3）導(dǎo)體圓筒內(nèi)b<r<c，（4）電纜外r>c，各點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。解：根據(jù)安培環(huán)路定理：7.23矩形截面的螺繞環(huán)，繞有N匝線圈，通有電流I，尺寸如圖所示：（1）求環(huán)內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度分布；（2）證明通過(guò)螺繞環(huán)截面的磁通量

解（1）螺繞環(huán)內(nèi)B線為圓心在環(huán)軸的系列同心圓，且同一B線各點(diǎn)B的大小應(yīng)相等，在管內(nèi)作環(huán)路半徑為r的圓環(huán)，環(huán)路內(nèi)電流代數(shù)和：（2）在螺繞環(huán)截面上取距環(huán)軸r，寬dr的窄條做面元，面法線與B同向，則8-5有一無(wú)限長(zhǎng)直螺線管，單位長(zhǎng)度上線圈的匝數(shù)為n，在管的中心放置一繞了N圈，半徑為r的圓形小線圈，其軸線與螺線管的軸線平行，設(shè)螺線管內(nèi)電流變化率為dI/dt，求小線圈中感應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)。解：無(wú)限長(zhǎng)直螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)為：B=0nI通過(guò)N匝圓形小線圈的磁通量為m=NBS=Nμ0nIπr2由法拉第電磁感應(yīng)定律得：8-8一長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有電流I=40A。在其旁邊放置一金屬桿AB。A端與導(dǎo)線的距離為a=0.1m，B端與導(dǎo)線的距離為b=1.0m。如圖所示。設(shè)金屬桿AB以勻速v=2m/s向上移動(dòng)，試求此金屬桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，并問(wèn)哪一端電勢(shì)較高。解：分割導(dǎo)體元dx。導(dǎo)體元處的磁場(chǎng)為：電動(dòng)勢(shì)方向：B→AA端電勢(shì)高。8-9長(zhǎng)為l的一金屬棒ab，水平放置在均勻磁場(chǎng)B中，如圖所示。金屬棒可繞O點(diǎn)在水平面內(nèi)以角速度旋轉(zhuǎn)，O點(diǎn)離a端的距離為l/k（設(shè)k>2）。試求a、b兩端的電勢(shì)差，并指出那端電勢(shì)高。解：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。距離原點(diǎn)x位置取微元dx，axBdxbl/klω則dx產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為對(duì)整根導(dǎo)體棒進(jìn)行積分：axBdxbl/klω電動(dòng)勢(shì)方向：b→a，a端電勢(shì)高。8-15一紙筒長(zhǎng),截面直徑為，筒上繞有匝線圈，求這線圈的自感。解：8-17一由兩薄圓筒構(gòu)成的同軸長(zhǎng)電纜，內(nèi)筒半徑為R1，外筒半徑為R2，兩筒間的介質(zhì)ur=1，設(shè)內(nèi)圓筒和外圓筒中的電流方向相反，而電流強(qiáng)度I相等，求長(zhǎng)度為l的一段同軸電纜所貯磁能為若干？解：根據(jù)對(duì)稱性和安培環(huán)路定理，在內(nèi)圓筒和外圓筒外的空間磁場(chǎng)為零。兩圓筒(如右圖所示)間磁場(chǎng)為因磁場(chǎng)是非均勻的，則體積元中的磁場(chǎng)能量為l所以磁場(chǎng)能為8-18兩個(gè)共軸圓線圈，半徑分別為R及r（R>>r

），匝數(shù)分別為N1，N2，兩線圈的中心相距為l，設(shè)r很小，則小線圈所在處的磁場(chǎng)可以視為均勻的。求兩線圈的互感系數(shù)。解：因?yàn)镽>>r，且小線圈所在處的磁場(chǎng)可以視為均勻（如圖所示），則由載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)表達(dá)式可知L1在L2處產(chǎn)生的磁感應(yīng)大小為方向沿兩線圈的軸線方向，其中表示線圈L1激發(fā)的磁場(chǎng)通過(guò)L2的磁通量課文第四章氣體動(dòng)理論第六章靜電場(chǎng)第七章恒定磁場(chǎng)第八章電磁感應(yīng)電磁場(chǎng)例：如圖，兩容積不變、導(dǎo)熱的容器A和B，容積分別為VA=3.73升、VB=2.73升，用絕熱細(xì)管連通，在27℃時(shí)兩容器內(nèi)氣壓均為1大氣壓。今把A置于沸水中，B置于0℃的冰中，則達(dá)到熱平衡后，求容器A中的氣壓和A中氣體的分子數(shù)。

解：設(shè)兩容器中的分子總數(shù)為N，初態(tài)時(shí)末態(tài)時(shí)聯(lián)立解得

理想氣體在常溫下，分子內(nèi)各原子間的距離認(rèn)為不變，可不考慮分子內(nèi)部的振動(dòng)，而認(rèn)為分子是剛性的。此時(shí)氣體分子只有平動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。單原子分子氣體例：He、Ne、Ar等。其模型可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)代替。平動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度總自由度

將理想氣體模型稍作修改，將氣體分為單原子分子氣體，雙原子分子氣體，多原子分子氣體。剛性雙原子分子氣體如：H2、O2等。其模型可用兩個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn)來(lái)代替。平動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度總自由度軸剛性多原子分子氣體如：CO2、CH4等。其模型可用多個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn)來(lái)代替。平動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度總自由度軸例：處于平衡態(tài)的理想氣體，壓強(qiáng)p＝5×102Pa，容積V＝4.0×10-3m3，則氣體分子總平動(dòng)動(dòng)能為【】。B（A）2J（D）9J（C）5J（B）3J解：例：用總分子數(shù)N、氣體分子速率v和速率分布函數(shù)f(v)表示下列各量：(1)速率大于100m/s的分子數(shù)；(2)速率大于100m/s的那些分子速率之和。由速率分布函數(shù)的物理意義出發(fā)解:vv+dv區(qū)間的分子數(shù)速率大于100m/s的分子數(shù)vv+dv區(qū)間的分子速率和速率大于100m/s的那些分子速率之和例：經(jīng)典的氫原子中電子繞核旋轉(zhuǎn)，質(zhì)子質(zhì)量Mp=1.6710-27kg,電子質(zhì)量me=9.1110-31kg,求電子與質(zhì)子間的庫(kù)侖力Fe與萬(wàn)有引力F引之比。解：庫(kù)侖力大小萬(wàn)有引力大小庫(kù)侖定律：例：求點(diǎn)電荷q所激發(fā)的電場(chǎng)中各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。場(chǎng)點(diǎn)O場(chǎng)源r0時(shí)，E，此結(jié)論正確嗎？解：要求出電場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，只要求出其中任意一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)即可。在P點(diǎn)放置試探電荷q0。的方向：從源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。例：正電荷均勻分布在一根長(zhǎng)直細(xì)棒上，此棒電荷線密度為。試計(jì)算距細(xì)棒垂直距離為a的P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。已知細(xì)棒兩端和P點(diǎn)連線的夾角分別為1和2

。解:同理可得：例：如圖所示，均勻帶正電細(xì)圓環(huán)半徑為R，帶電量為q，求圓環(huán)軸線上與環(huán)心O距離為x的P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解:由場(chǎng)對(duì)稱性r與x都為常量電荷元dq的場(chǎng)強(qiáng)例：用細(xì)的塑料棒彎成半徑為R=50cm的圓環(huán)，兩端間空隙為l=2cm，電量為Q=3.12×10—9C的正電荷均勻分布在棒上，求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向。解：電荷的線密度：帶電為l的電荷可以看成點(diǎn)電荷，場(chǎng)強(qiáng)方向由圓心指向缺口的中心。

根據(jù)對(duì)稱性，圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度可看成是與缺口對(duì)稱的長(zhǎng)度為l、電荷線密度為的電荷產(chǎn)生的。例：求電偶極子中垂線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。電偶極子：一對(duì)等量異號(hào)的點(diǎn)電荷系。電偶極矩:解：由對(duì)稱性分析Ey=0寫(xiě)成矢量式：4.帶電體在電場(chǎng)中的受力點(diǎn)電荷所受的電場(chǎng)力：連續(xù)帶電體所受電場(chǎng)力：例：如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻帶電細(xì)桿，電荷線密度為+。如在P點(diǎn)處有一帶電量為q的正電荷，求該電荷所受的電場(chǎng)力。解：如圖建坐標(biāo)系,方向：水平向右長(zhǎng)度為dx的電荷元dx,在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：例：半徑R、帶電量為q的均勻帶電球體，計(jì)算球體內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度。1.球體外部r>R作半徑為r的球面；面內(nèi)電荷代數(shù)和：高斯面球面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向與法線同向。解：場(chǎng)強(qiáng)方向沿著徑向且在球面上的場(chǎng)強(qiáng)處處相等。根據(jù)高斯定理：有：2.球體內(nèi)部r<R作半徑為r的球面；面內(nèi)電荷代數(shù)和：與電荷q全部集中在中心的場(chǎng)的分布相同。同理例：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線，線電荷密度為，計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度分布

。解：作半徑為r高為h的閉合圓柱面，側(cè)面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向與法線相同。面內(nèi)電荷代數(shù)和為根據(jù)高斯定理有：例：一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體，體電荷密度為，截面半徑為R。（1）求柱內(nèi)外電場(chǎng)強(qiáng)度分布；解：柱內(nèi)(r<R)作半徑為r高為h的閉合圓柱面，有：根據(jù)高斯定理，柱外(r>R)作半徑為r高為h的閉合圓柱面，同理：例：無(wú)限大均勻帶電平面，面電荷密度為，求平面附近某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：作如圖所示閉合圓柱面為高斯面。面內(nèi)電荷代數(shù)和：根據(jù)高斯定理有：例：求點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。負(fù)點(diǎn)電荷周?chē)膱?chǎng)電勢(shì)為離負(fù)電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越高。正點(diǎn)電荷周?chē)膱?chǎng)電勢(shì)為離正電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越低。解：以無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)。例：均勻帶電圓環(huán)，半徑為R，帶電為q，求圓環(huán)軸線上與環(huán)心O距離為x的P點(diǎn)的電勢(shì)U。解：以無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，環(huán)上各點(diǎn)到軸線等距。將圓環(huán)分割成無(wú)限多個(gè)電荷元，例：均勻帶電球面半徑為R，電量為q，求：球面內(nèi)、外的電勢(shì)分布。高斯面解：球面內(nèi)、外分別作半徑為r的高斯球面；IIII區(qū)：球面內(nèi)，r<R，II區(qū)：球面外，r>R，根據(jù)高斯定理，有：I區(qū)：球面內(nèi)(r<R)電勢(shì)選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，II區(qū)：球面外(r>R)電勢(shì)高斯面III例：無(wú)限長(zhǎng)帶電直線線電荷密度為，求電勢(shì)分布。解：無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)：若選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，選取距帶電直導(dǎo)線為R的Q點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，

當(dāng)電荷分布擴(kuò)展到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)零點(diǎn)不能選在無(wú)窮遠(yuǎn)處。已知電勢(shì)分布時(shí)電場(chǎng)力所做功的求解例：在正方形四個(gè)頂點(diǎn)上各放置帶電量為+q的四個(gè)電荷，各頂點(diǎn)到正方形中心O的距離為r。求：(1)O點(diǎn)的電勢(shì)；(2)把試探電荷q0從無(wú)窮遠(yuǎn)處移到O點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。解：(1)以無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，(2)解:以無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)將一單位正電荷從B點(diǎn)沿半圓弧軌道BCD移到D點(diǎn)，則電場(chǎng)力所做的功：例：圖示BCD是以O(shè)點(diǎn)為圓心、以R為半徑的半圓弧。在A點(diǎn)有一電量為q的點(diǎn)電荷，O點(diǎn)另有一電量為-q的點(diǎn)電荷，直線段AB=R。現(xiàn)將一單位正電荷從B點(diǎn)沿半圓弧軌道BCD移到D點(diǎn)，求電場(chǎng)力所做的功。例：在電量為+q的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，放入一不帶電金屬球，從球心O到點(diǎn)電荷所在處的矢徑為r，求金屬球上的感應(yīng)電荷凈電量以及這些感應(yīng)電荷在球心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。根據(jù)電荷守恒，金屬球上感應(yīng)電荷凈電量為零，在靜電平衡時(shí)，金屬球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，解：例：A、B、C是三塊平行金屬板，面積均為200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示，設(shè)A板帶正電q=3.0×10-7C,不計(jì)邊緣效應(yīng)(即認(rèn)為電場(chǎng)集中在平板之間是均勻的)。若平板之間為空氣，求B板和C板上的感應(yīng)電荷，以及A板上的電勢(shì)；由靜電感應(yīng)可知,A、C相向兩面帶等量異號(hào)電荷，A、B相向兩面也帶等量異號(hào)電荷。解：B、C兩板都接地，解以上兩式：例：將電荷q放置于半徑為R相對(duì)介電常數(shù)為r的介質(zhì)球中心，求：I區(qū)、II區(qū)的D、E、

及U。解：在介質(zhì)球內(nèi)、外各作半徑為r的高斯球面。I區(qū)：II區(qū)：

球面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)D大小相等，方向與法線同向。根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理：有：I區(qū)：II區(qū)：由I區(qū)：II區(qū)：由I區(qū)：II區(qū)：例：A、B、C是三塊平行金屬板，面積均為200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示，設(shè)A板帶正電q=3.0×10-7C,不計(jì)邊緣效應(yīng)(即認(rèn)為電場(chǎng)集中在平板之間是均勻的)。若在A、B間充以εr=5的均勻電介質(zhì)，求B板和C板上的感應(yīng)電荷以及A板的電勢(shì)。由靜電感應(yīng)可知,A、C相向兩面帶等量異號(hào)電荷，A、B相向兩面也帶等量異號(hào)電荷。解：B、C兩板都接地，解以上兩式：例：平行板電容器極板間距為d,極板面積為S，面電荷密度為0,其間插有厚度為d′、相對(duì)介電常數(shù)為r的電介質(zhì)。求：(1)P1、P2點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；(2)

電容器的電容。解：（1）過(guò)P1點(diǎn)作高斯柱面,左右底面分別經(jīng)過(guò)導(dǎo)體和P1點(diǎn)。導(dǎo)體內(nèi)D=0，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理：有：過(guò)P2點(diǎn)作高斯柱面,左右底面分別經(jīng)過(guò)導(dǎo)體和P2點(diǎn)。同理，可求得：（2）電容C例：同軸電纜由內(nèi)徑為R1、外徑為R2的兩無(wú)限長(zhǎng)金屬圓柱面構(gòu)成，單位長(zhǎng)度帶電量分別為+、-，其間充有相對(duì)介電常數(shù)為r的電介質(zhì)。求：(1)兩柱面間電勢(shì)差U；(2)單位長(zhǎng)度電容；(3)單位長(zhǎng)度貯存能量。解：（1）兩柱面間作高為h半徑為r的高斯柱面，場(chǎng)強(qiáng)由介質(zhì)中高斯定理：有：（2）單位長(zhǎng)度電容（3）單位長(zhǎng)度貯存能量或例：球形電容器內(nèi)外半徑分別為R1和R2，兩極板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為r的各向同性均勻電介質(zhì)，兩極板帶有等量異號(hào)電荷Q。

(1)用電場(chǎng)能量密度積分的方法求電容器內(nèi)所儲(chǔ)電場(chǎng)能量；(2)證明此結(jié)果與按電容器儲(chǔ)能公式計(jì)算的結(jié)果相等。

解：（1）依據(jù)高斯定理，易得：(2)或兩種方法結(jié)果相等。例：一平板電容器面積為S，間距d，用電源充電后，兩極板分別帶電為+q和-q，斷開(kāi)電源，再把兩極板緩慢地拉至2d，試求外力克服電力所做的功。解：初態(tài)末態(tài)

電容器兩個(gè)狀態(tài)下所存貯的能量差等于外力的功。初態(tài)末態(tài)

若把電容器極板緩慢拉開(kāi)一倍的距離，所需外力的功等于電容器原來(lái)具有的能量。例：如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，放置一半圓形半徑為R通有電流為I的閉合載流導(dǎo)線，求：（1）圓弧abc所受的安培力；（2）閉合載流導(dǎo)線所受的合力。解：（1）以直代彎：（2）⊙閉合載流導(dǎo)線所受的合力：例：如圖所示，一段有限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線，通電流為I，求距導(dǎo)線為a的P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度。已知細(xì)棒兩端和P點(diǎn)連線的夾角分別為1和2。解:分割電流元討論:1.無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)：2.半無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)：注意：載流導(dǎo)線延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)的磁場(chǎng)任意點(diǎn)的磁場(chǎng)：例：一載流圓環(huán)半徑為R，通有電流為I。求圓環(huán)軸線上與環(huán)心O距離為x的P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：將圓環(huán)分割為無(wú)限多個(gè)電流元；

由對(duì)稱性可知，例：計(jì)算組合載流導(dǎo)體在O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：規(guī)定垂直紙面向里為正向，例：一正方形載流線圈邊長(zhǎng)為b，通有電流為I。求正方形中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：例：如圖所示，在通有電流為I的長(zhǎng)直載流導(dǎo)線旁，共面放置一矩形回路。求通過(guò)矩形回路的磁通量。解：建立坐標(biāo)系，如圖所示取一窄帶dx，電流I產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：例：在無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線I1旁，垂直放置另一長(zhǎng)為L(zhǎng)的載流直導(dǎo)線I2

,I2

導(dǎo)線左端距I1為a，求導(dǎo)線I2

所受到的安培力。解：建立坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)選在I1上，分割電流元，長(zhǎng)度為dx,例：一矩形截面的空心環(huán)形螺線管，尺寸如圖所示，其上均勻繞有N匝線圈，線圈中通有電流I。試求：（1）環(huán)內(nèi)距軸線為r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；（2）通過(guò)螺線管截面的磁通量。解：（1）在管內(nèi)作環(huán)路半徑為r的圓環(huán)，環(huán)路內(nèi)電流代數(shù)和：（2）環(huán)路內(nèi)電流代數(shù)和：r<R區(qū)域選取半徑為r的環(huán)路，解：導(dǎo)體內(nèi)外的磁場(chǎng)是以中心軸線為對(duì)稱分布的。例：無(wú)限長(zhǎng)直載流圓柱形導(dǎo)體半徑為R，通有電流為I，電流在導(dǎo)體橫載面上均勻分布，求圓柱體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。1.圓柱體內(nèi)部根據(jù)安培環(huán)路定理，環(huán)路內(nèi)電流代數(shù)和：2.圓柱體外一點(diǎn)r>R區(qū)域在圓柱體外作一環(huán)路，同理：分布曲線：與電流全部集中在軸線上的場(chǎng)的分布相同。例：半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)金屬圓柱上，通過(guò)的電流為I，電流沿軸線均勻分布，則通過(guò)圖示長(zhǎng)方形陰影面積的磁通量m。解：如圖，r<R區(qū)域選取半徑為r的環(huán)路，由安培環(huán)路定理陰影面積的磁通量m

：例：長(zhǎng)直螺線管半徑為R，通有電流I，線圈密度為n,管內(nèi)插有半徑為r,相對(duì)磁導(dǎo)率為r

磁介質(zhì)，求介質(zhì)內(nèi)和管內(nèi)真空部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解：

管內(nèi)的場(chǎng)各處均勻一致，管外的場(chǎng)為零；1.介質(zhì)內(nèi)部，作abcda矩形回路。在環(huán)路上應(yīng)用介質(zhì)中的環(huán)路定理：回路內(nèi)的傳導(dǎo)電流代數(shù)和為：2.管內(nèi)真空中

作環(huán)路abcda;在環(huán)路上應(yīng)用介質(zhì)中的安培環(huán)路定理，同理有：例：如圖所示，在通有電流為I的長(zhǎng)直載流導(dǎo)線旁，共面放置一矩形回路?；芈芬运俣葀

水平向右運(yùn)動(dòng)，求回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：建立坐標(biāo)系，如圖所示取一窄帶dx，電流I產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：方向：順時(shí)針?lè)较蚶涸诖鸥袘?yīng)強(qiáng)度大小為B的均勻磁場(chǎng)中，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒繞端點(diǎn)o以角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)，