大學(xué)理論力學(xué) 動能定理

理論力學(xué)第十三章

動能定理第十三章動能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能§13-3動能定理§13-4功率功率方程機械效率§13-5勢力場勢能機械能守恒定律§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例§13-1力的功一、常力在直線運動中的功功是代數(shù)量，在國際單位制中，功的單位為J（焦耳）。上式也可以寫成力在全路程上作的功等于元功之和：力在無限小位移dr中作的功稱為元功：力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標(biāo)系中，i，j，k為三坐標(biāo)軸的單位矢量，則上兩式也可寫成以下矢量點乘形式：二、變力在曲線運動中的功§13-1力的功根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有三、幾種常見力的功1．重力的功重力重力作功為對于質(zhì)點系，設(shè)質(zhì)點i

的質(zhì)量為mi，運動始末的高度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：在直角坐標(biāo)軸上的投影為所以§13-1力的功質(zhì)點M

由M1運動到

M2時，彈性力作功為2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為k——彈性剛度系數(shù)（或剛性系數(shù)）。彈性力§13-1力的功當(dāng)質(zhì)點從M1運動到M2時，引力F作的功為3．萬有引力的功萬有引力所作的功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。質(zhì)量為m2的質(zhì)點M受到另一質(zhì)量為m1的固定點O的引力F的作用。由牛頓萬有引力定律知式中f為萬有引力常數(shù)

f=6.667×10-11m3/（kg·s2）r0r1r2M1M2MFo§13-1力的功如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計算，其中Mz為力偶對轉(zhuǎn)軸z的矩，也等于力偶矩矢M在軸上的投影。4．轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功力F在切線上的投影為剛體轉(zhuǎn)動時力F的元功為因為Ft

R等于F對于轉(zhuǎn)軸z的力矩Mz，于是§13-1力的功

一、質(zhì)點和質(zhì)點系的動能設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點的動能為動能是標(biāo)量，恒取正值。在國際單位制中動能的單位也為J（焦耳）。2.質(zhì)點系的動能質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能之和稱為質(zhì)點系的動能，即§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1.質(zhì)點的動能轉(zhuǎn)動剛體的動能平動剛體的動能§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能平面運動剛體的動能點C——質(zhì)心，點P——某瞬時的瞬心，ω——角速度§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能定理取質(zhì)點運動微分方程的矢量形式因得上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式:即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。上式稱為質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功?！?3-3動能定理上式稱為質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。二、質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點，質(zhì)量為mi，速度為vi，有式中δWi

為作用于這個質(zhì)點上的力Fi作的元功。設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，將n個方程相加，得：上式稱為質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增量等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。上式積分，得：§13-3動能定理質(zhì)點系內(nèi)力的功只要A、B兩點間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力的功之和等于零。rBA§13-3動能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。2．活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承§13-3動能定理5．柔性約束（不可伸長的繩索）4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）3．剛體沿固定面作純滾動§13-3動能定理例．圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA’，在鉛直位置時的角速度至少應(yīng)為多大？解：取OA桿研究對象得由mgF§13-3動能定理

例:

均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：取整體為研究對象運動學(xué)關(guān)系：由動能定理:對ｔ求導(dǎo)，得mgmgFNAFAFNBFBvw§13-3動能定理

例:

圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)QPP§13-3動能定理解：取系統(tǒng)為研究對象QPPavwAwBC1vB由運動分析知：h§13-3動能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)§13-3動能定理一、功率單位時間內(nèi)力所做的功稱為功率，以P表示。因為所以功率等于切向力與力作用點速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為式中Mz是力對轉(zhuǎn)軸z的矩，ω是角速度。即：作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積?！?3.4功率·功率方程·機械效率取質(zhì)點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。每部機器的功率可分為三部分：輸入功率、無用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：或二、功率方程§13-4功率·功率方程·機械效率，如一部機器有n級傳動，設(shè)各級的效率分別為η1、η2

、…、ηn,則總效率為有效功率=機械效率η表示機器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。顯然，，機械效率用η表示，即三、機械效率

§13-4功率·功率方程·機械效率例：車床的電動機功率為5.4kW。由于傳動零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n=42r/min，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉(zhuǎn)速改為n′=112r/min，問允許切削力的最大值為多少？解：由題意知：當(dāng)工件勻速轉(zhuǎn)動時，動能不變，有用功率為設(shè)切削力為F，切削速度為v，則即§13-4功率·功率方程·機械效率當(dāng)n′=112r/min

時，允許的最大切削力為當(dāng)n=42r/min

時，允許的最大切削力為§13-4功率·功率方程·機械效率例：電動機車質(zhì)量為m，由靜止以勻加速度a沿水平直線軌道行駛，如電動機車所受的運動阻力等于kmg

(其中k是常數(shù))。求電動機車的功率。解：設(shè)電動機車行駛距離s時的速度為v，發(fā)動機所做的功為W，由動能定理得：將上式對時間求導(dǎo)，并注意及得電機車的功率將代入上式，得：§13-4功率·功率方程·機械效率

例：均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C的運動規(guī)律。

解：取輪為研究對象，均質(zhì)圓輪作平面運動，其動能為只有重力作功,重力的功率為§13-4功率·功率方程·機械效率應(yīng)用功率方程：得當(dāng)θ很小時sinθ≈q,于是得質(zhì)心C的運動微分方程為§13-4功率·功率方程·機械效率一、勢力場如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場。例：重力場，太陽引力場等等。如果物體在力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為勢力場（或保守力場）。在勢力場中，物體受到的力稱為有勢力（或保守力）。例：重力場、彈性力場都是勢力場，重力、彈性力、萬有引力都是有勢力?！?3-5勢力場.勢能.機械能守恒定律在勢力場中，質(zhì)點由點M運動到任選的點M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點M相對于點M0的勢能。以V表示為點M0稱為零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對零勢能點而言的。零勢能點M0可以任意選取，對于不同的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數(shù)值。

二、勢能§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律1．重力場中的勢能質(zhì)點重力mg在各軸上的投影為取Mo為零勢能點，則質(zhì)點在點M的勢能為質(zhì)點系重力勢能其中m為質(zhì)點系全部質(zhì)量，zc為質(zhì)心的z坐標(biāo)，zc0為零勢能位置質(zhì)心z坐標(biāo)。幾種常見勢能的計算§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律2．彈性力場中的勢能設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為k。取Mo為零勢能點，則物體在點M的勢能為如取彈簧的自然位置為零勢能點，則有δ0

=0，則§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律3．萬有引力場中的勢能設(shè)質(zhì)量為m1

的質(zhì)點受質(zhì)量為m2的物體的萬有引力F作用。取點M0為零勢能點，則質(zhì)點在點M的勢能為式中f為引力常數(shù)。因為所以如選取點M0

在無窮遠(yuǎn)處，即r1=∞，則§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律一質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)桿AB。A端鉸支，B端由無重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時彈簧已拉長δ0。如彈簧剛度系數(shù)為k，如質(zhì)點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點。質(zhì)點系中的各質(zhì)點都處于其零勢能點的一組位置，稱為質(zhì)點系的“零勢能位置”。質(zhì)點系從某位置到其“零勢能位置”的運動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點系在該位置的勢能?！?3-5勢力場.勢能.機械能守恒定律(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢能位置，桿于微小擺角j

處，勢能為

(1)如重力以桿的水平位置為零勢能位置，彈簧以自然位置為零勢能點，則桿于微小擺角j處勢能為注意可得§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律質(zhì)點系在勢能場中運動，有勢力的功可通過勢能計算。設(shè)某個有勢力的作用點在質(zhì)點系的運動過程中，從點M1

到點M2，該力所作的功為W12。取點M0為零勢能點，則因有勢力的功與軌跡形狀無關(guān)，從M1經(jīng)M2到M0即有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程中的初始和終了位置的勢能的差?！?3-5勢力場.勢能.機械能守恒定律質(zhì)點系在某瞬間的動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能。由質(zhì)點系動能定理如只有有勢力作功，則移項后即質(zhì)點系在運動的過程中，只有有勢力作功，其機械能保持不變。這種質(zhì)點系稱為保守系統(tǒng)?！?3-5勢力場.勢能.機械能守恒定律如質(zhì)點系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為W'12

，由動能定理有因則如W‘12為負(fù)功，質(zhì)點系在運動過程中機械能減小，稱為機械能耗散；如W‘12為正功，質(zhì)點系在運動過程中機械能增加，這時外界對系統(tǒng)輸入了能量?！?3-5勢力場.勢能.機械能守恒定律例:

長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達）。

解：取桿為研究對象，由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于只有重力作功,因此機械能守恒。取地面為零勢能面§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律由機械能守恒定律：將代入上式，化簡后得§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律例:兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度?！?3-5勢力場.勢能.機械能守恒定律解：取整體為研究對象：由于只有重力作功,因此機械能守恒。取地面為零勢能面分析AC桿運動，由機械能守恒定律：vAA點為其速度瞬心。§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律例：均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C的運動規(guī)律。解：取輪為研究對象，此系統(tǒng)的機械能守恒，取質(zhì)心的最低位置O為重力場零勢能點，圓輪在任一位置的勢能為同一瞬時的動能為由機械能守恒，有§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律把V和T的表達式代入，取導(dǎo)數(shù)后得于是得當(dāng)θ很小時，，于是得因§13-5勢力場.勢能.機械能守恒定律質(zhì)點和質(zhì)點系的普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標(biāo)量形式，他們都用于研究機械運動，而動能定理還可用于研究機械運動與其它運動形式有能量轉(zhuǎn)化的問題。應(yīng)用動量定理或動量矩定理時，質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩，只需考慮質(zhì)點系所受的外力。應(yīng)用動能定理時，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功。§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例解：取桿為研究對象由質(zhì)心運動定理：例：均質(zhì)桿OA，重P，長l，繩子突然剪斷。求該瞬時，桿的角加速度及O處反力。對O點應(yīng)用動量矩定理：aaCyxyaCx§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ll0AB例：圖示彈簧兩端各系以重物A和B，放在光滑的水平面上,重物A和B的質(zhì)量分別為m1、m2,彈簧的原長為l0，剛性系數(shù)為k。若將彈簧拉到l然后無初速地釋放，問當(dāng)彈簧回到原長時，重物A和B的速度各為多少？§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ll0AB解：取整體為研究對象。m1gm2gFAFBvAvBx因為，所以應(yīng)用動量定理應(yīng)用動能定理（2）（1）由(1)、(2)兩式解得：§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例例：圖示圓環(huán)以角速度ω繞鉛垂軸AC自由轉(zhuǎn)動。此圓環(huán)半經(jīng)為R,對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。在圓環(huán)中的點A放一質(zhì)量為m的小球。設(shè)由于微小的干擾小球離開點A，小球與圓環(huán)間的摩擦忽略不計。求當(dāng)小球到達點B和C時，圓環(huán)的角速度和小球的速度。ACB§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ACB解：取整體為研究對象。zmgPFyF1zF1xF1yFx1.小球A→B應(yīng)用動量矩定理因為，所以應(yīng)用動能定理§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx2.小球A→C應(yīng)用動量矩定理因為，所以應(yīng)用動能定理解得解得§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例例：如圖所示兩均質(zhì)圓輪質(zhì)量均為m，半徑為R，A輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動，B輪在傾角為θ的斜面上作純滾動，B輪中心的繩繞到A輪上。若A輪上作用一力偶矩為M的力偶，忽略繩子的質(zhì)量和軸承的摩擦，求B輪中心C點的加速度、繩子的張力、軸承O的約束反力和斜面的摩擦力?！?3-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例解：取整體為研究對象。假設(shè)輪B的中心C由靜止開始沿斜面向上運動一段距離s，則各力所作功的和為由動能定理，得將上式對時間求導(dǎo)，得§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

(2)取輪A為研究對象。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程其中得應(yīng)用質(zhì)心運動定理，得因aox=aoy=0，得§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

(3)取輪B為研究對象，代入已量，得本問題也可應(yīng)用相對質(zhì)心的動量矩定理來求解。應(yīng)用質(zhì)心運動定理，得§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例例:均質(zhì)細(xì)長桿為l、質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和地面約束力。CA§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例CA解：取桿為研究對象。由于水平方向不受力，倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落。由動能定理，得當(dāng)

時解出mgFNvAvCP設(shè)任一瞬時桿與水平線的夾角為θ，如圖所示，P為桿的瞬心。由運動學(xué)知,桿的角速度§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例aA桿剛到達地面時。由于質(zhì)心運動在水平方向守恒，aC

應(yīng)為鉛垂,以點A為基點沿鉛垂方向投影，得mgFNaCAC由剛體平面運動微分方程，得aA由運動學(xué)知§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例例：兩個相同的滑輪A和B，半徑各為R，重量各為P，用繩纏繞連接。兩滑輪可視為均質(zhì)圓輪。系統(tǒng)從靜止開始運動。求輪B質(zhì)心C的速度v及加速度a與下落距離h的關(guān)系。ACBh§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ACBh解：取整體為研究對象。FxFyPPv由運動學(xué)知：ACBFxFyPPvFF'取輪A為研究對象取輪B為研究對象由動能定理：應(yīng)用動量矩定理§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例由于F=F'，開始時系統(tǒng)靜止，所以代入上面的方程，得上式兩邊求導(dǎo)，得§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例例：圖示三棱柱體ABC的質(zhì)量為m1,放在光滑的水平面上，可以無摩擦地滑動。質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿斜面AB向下滾動而不滑動。如斜面的傾角為θ,求三棱柱的加速度。ABCO§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ABCOm1gm2gFNvrv1v1解：取整體為研究對象。應(yīng)用動量定理x因為，所以應(yīng)用動能定理s其中v2§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例兩邊求導(dǎo)（注意：），得所以§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例例：重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B'點時的速度及支座A的約束反力。解：（1）由動量矩定理求盤的角加速度取圓盤為研究對象，圓盤平動。由相對于質(zhì)心的動量矩定理§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例（2）用動能定理求速度。取系統(tǒng)研究。初始時T1=0，