數(shù)字信號處理教程 (第三版)程佩青 清華大學(xué)出版社dsp-ch2-1

第二章Z變換與離散時間傅里葉變換（DTFT）第二章學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握z變換及其收斂域，掌握因果序列的概念及判斷方法會運用任意方法求z反變換理解z變換的主要性質(zhì)理解z變換與Laplace/Fourier變換的關(guān)系掌握序列的Fourier變換并理解其對稱性質(zhì)掌握離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)，系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的互求，因果/穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域時域分析方法變換域分析方法： 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)

Laplace變換

Fourier變換 離散時間信號與系統(tǒng)

z變換

Fourier變換一、z變換的定義序列x(n)的z變換定義為：

z是復(fù)變量，所在的復(fù)平面稱為z平面2.2Z變換的定義及收斂域二、z變換的收斂域與零極點對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。

級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和1）有限長序列2）右邊序列因果序列n1=0的右邊序列，Roc:因果序列的z變換必在處收斂在處收斂的z變換，其序列必為因果序列3）左邊序列4）雙邊序列1、X(z)的收斂域為Ｚ平面內(nèi)以原點為中心的一個環(huán)，內(nèi)邊界可以是原點，外邊界可以是無窮遠(yuǎn)點。2、ROC內(nèi)不包含任何極點。3、有限序列的ROC為全平面。（可能除了z=0and/orz=∞）。4、右邊序列的ROC：當(dāng)│ｚ│=r0

的圓位于ROC內(nèi)，那么│ｚ│>r0的全部Z值都一定在這個ROC內(nèi)。5、左邊序列的ROC：當(dāng)│ｚ│=r0

的圓位于ROC內(nèi)，那么0<│ｚ│<r0的全部Z值都一定在這個ROC內(nèi)。6、雙邊序列的ROC：如果│ｚ│＝

r0在ＲＯＣ內(nèi)，則ＲＯＣ為Ｚ平面上包含│ｚ│＝

r0

的一個環(huán)。7、如果序列x(n)的z變換X(z)是有理的，那么它的ROC就被極點所界定，或者延伸至無限遠(yuǎn)。計算下述序列的Z變換，并給出它的收斂域。課堂練習(xí)給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點，故：右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi)計算下述序列的Z變換，并給出它的收斂域。

作業(yè)實質(zhì)：求X(z)冪級數(shù)展開式Z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法z反變換:從X(z)中還原出原序列x(n)2.3Z反變換一、圍線積分法（留數(shù)法）根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即 而其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針方向的閉合單圍線。x(n)是沿圍線逆時針方向的積分，留數(shù)定理2是沿圍線順時針方向的積分，因此在用留數(shù)定理2求x(n)時，需要在前面加負(fù)號，即：一般地：求因果序列的逆變換時用留數(shù)定理1求反因果序列的逆變換時用留數(shù)定理2（注意需滿足的條件：分母次數(shù)比分子次數(shù)大二或以上）二、部分分式展開法三、冪級數(shù)展開法（長除法）把X(z)展開成冪級數(shù)級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)解：由Roc判定x(n)是因果序列，用長除法展成z的負(fù)冪級數(shù)，分子分母按降冪排列解：由Roc判定x(n)是左邊序列，用長除法展成z的正冪級數(shù)，分子分母按升冪排列解：X